高考数学：数列求和问题(复习学案).pdf

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1、 1 专题 12 数列求和问题 解析版 一、数列求和的常用方法知识框架 二、数列求和方法 【一】公式求和法 1.例题【例 1】求 12222n的和.【例 2】已知等比数列an中，a34，S312，求数列an的通项公式.1.等差数列前 n 项和 2.等比数列前 n 项和 公比含字母时一定要讨论 3.其他常用求和公式 2)1(321nnn；2)12(531nn 6)12)(1(3212222nnnn；233332)1(321nnn dnnnaaanSnn2)1(2)(11)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn 2【例 3】在公差为d的等差数列na中，已知1a10，且1a，22a2，53a成等

2、比数列(1)求d，na；(2)若d0，求|1a|2a|3a|na|.2.巩固提升综合练习【练习 1】在中插入个数，使它们和组成等差数列，则（）A B C D【练习 2】记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 a17，S315.(1)求an的通项公式；(2)求 Sn，并求 Sn的最小值【练习 3】在平面直角坐标系中，已知1,2A a，121,2nnnA AnnN.（1）若123/OAA A，求a的值；（2）若1a，求nOA的坐标；【练习 4】公差不为 0 的等差数列 na的前n项和为3,6nSS，且347,a a a成等比数列.（1）求数列 na的通项公式na；（2）求 na的前 10 项和

3、10T 【二】分组求和法 1.例题【例 1】求和：11221223123n12n.,a bn,a b12,na a aa b12naaa()n ab()2n ab(1)()2nab(2)()2nab分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和.3 【例 2】求数列 1,1a,1aa2，1aa2an1，的前 n 项和 Sn.(其中 a0，nN*)【例 3】求和)2)(1(432321nnnTn 2.巩固提升综合练习 【练习 1】已知数列an是各项均为正数的等比数列，且 a1a22)11(21aa，a3a432)11(43aa.(1)求数列an的通项公式；(2)设

4、bna2nlog2an，求数列bn的前 n 项和 Tn.【练习 2】已知数列na是等差数列，满足11a ，53a，数列nnba是公比为2等比数列，且2222ba（1）求数列na和 nb的通项公式；（2）求数列 nb的前n项和nS 【三】奇偶并项求和法 1.例题【例 1】求和 122232429921002.【例 2】已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，且 S26，S430，nN*，数列bn满足 bnbn1an，b11.(1)求 an，bn；奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和.但当求前 n 项和而 n 是奇数还是偶数不确定时，

5、往往需要讨论.4(2)求数列bn的前 n 项和 Tn.2.巩固提升综合练习【练习 1】已知nS为数列 na的前n项和，且满足11a，*13(N)nnna an，则2014S_【练习 2】已知函数2()cos()f nnn，且()(1)naf nf n，则1220.aaa_ 【四】倒序相加法求和 1.例题【例 1】求和89sin3sin2sin1sin2222 【例 2】设，.2.巩固提升综合练习【练习 1】已知正数数列是公比不等于 1 的等比数列，且，若，则（）A2018 B4036 C2019 D4038 【练习 2】已知函数，若，则的最小值为（）A B C D 【五】错位相减求和 4()4

6、2xxf x 1231011111111ffff coslnxf xxx22018201920192019fff1009ln0,0)abab（11ab2468这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到 n 个)(1naa.5 1.例题【例 1】求和：121222323n2n，nN*.【例 2】在数列 na，nb中，111ab，1331nnnaabn，1331nnnbban.等差数列 nc的前两项依次为2a，2b.（1）求 nc的通项公式；（2）求数列nnnabc的前n项和nS.2.巩固提升综合练习【练习 1】求和：132)1

7、2(7531 nnxnxxxS 【练习 2】已知数列an满足 an0，a113，anan12anan1，nN+.(1)求证：na1是等差数列，并求出数列an的通项公式；(2)若数列bn满足 bn2nan，求数列bn的前 n 项和 Tn.【练习 3】已知等比数列的前 项和为，若，则数列的前 项和为（）A B C D【练习 4】已知数列 na是公差不为 0 的等差数列，且12481,aa a a成等比数列.(1)求 na的通项公式;数列an bn的前 n 项和，其中 an、bn 分别是等差数列和等比数列.求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q；然后再将得到的新和式和原和式相

8、减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。6(2)若2nnnba,求 nb的前n项和nT.【六】裂项求和 1.例题 【例 1】已知等差数列 na为递增数列，且满足12a,222435aaa（1）求数列 na的通项公式；（2）令*1()(1)(1)nnnbnNaa，nS为数列 nb的前 n 项和，求nS 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）111)1(1nnnnan 一般)11(1)(1knnkknnan（2）1111()(21)(21)2 2121nnnn

9、（3）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan（4）)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnnan（5）nnnnan111（6）nnnntan)1tan()1cos(cos1sin（7）!)!1(!nnnn（8）11(1)!(1)!nnnn 7 【例 2】求和：1221132114211n21，n2，nN*.【例 3】已知数列 na的前n项和nS满足*23nnSnan nN，且25a.（1）证明数列 na为等差数列，并求 na的通项公式；（2）设111nnnnnbaaaa，nT为数列 nb的前n项和，求使310nT 成立的最小正整数n的值.【例 4】已知数列 n

10、a的通项公式为34(1)(2)nnan nn，求它的前 n 项和nS。2.巩固提升综合练习【练习 1】设数列 na是公差不为零的等差数列，其前n项和为nS，11a.若1a，2a，5a成等比数列.（I）求na及nS；（）设2111nnbnNa，求数列 nb的前n项和nT.【练习 2】在数列an中，已知 a113，且2211222nnnnaaaa，nN*.(1)记 bn(an1)2，nN*，证明数列bn是等差数列；8(2)设bn的前 n 项和为 Sn，证明123111134nSSSS.【练习3】已知数列 na的首项11a，前n项和为nS，且1*1221,nnnaSnN（）设*2,nnnbanN，证

11、明数列 nb是等比数列；（）设*112,1 31 3nnnnnncnNaa，求 nc的前n项和nT的取值范围.【练习 4】已知数列 na的前n项和2nSnn，等比数列 nb的公比1q，且34528bbb，42b 是3b，5b的等差中项.（1）求数列 na和 nb的通项公式；（2）求数列211nnba的前n项和nT.【七】其他方法 1.例题 【例 1】已知数列满足对时，其对，有，则数列的前 50 项的和为_【例 2】数列的首项为 1，其余各项为 1 或 2，且在第个 1 和第个 1 之间有个 2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，记数列的前项和为，则_（用数字作答）n

12、ak1k 21k nanannS2019S 9 【例 3】若数列满足，数列的通项公式，则数列的前 10 项和_【例 4】等差数列中，.若记表示不超过 的最大整数，（如）.令，则数列的前 2000 项和为_【例 5】“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数具体数列为 1，1，2，3，5，8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前 项和，若则_(用 M 表示)三、课后自我检测 1已知是 上的奇函数，则数列的通项公式为()A B C D 2设 f(x)是 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)2

13、xln，记 anf(n5)，则数列an的前 8 项和为_ 3.求和：Sn1357(1)n(2n1).4已知等差数列 na和等比数列 nb满足 a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5（1）求 na的通项公式；（2）求和：13521nbbbb 5等差数列na的前n项和为nS，已知17a ，公差d为大于 0 的整数，当且仅当n=4 时，nS取得最小值.（1）求公差d及数列na的通项公式；1 0 （2）求数列 na的前 20 项和.6已知数列na满足：11a，10.52,nnnanaan n为正奇数为正偶数，22nnba.（1）求2a、3a、4a；（2）求证：数列 nb为等比数列，并求其通项

14、公式；（3）求和242nnTaaa.7已知数列 na是首项为1a，公差为d的等差数列.（1）若111a ，2d，3nnab，数列 nb的前n项积记为1 2nnBbbb，且01nB，求0n的值；（2）若10a d，且23331212nnaaaaaa恒成立，求 na的通项公式.8已知数列 na有0na，nS是它的前n项和，13a 且22213,2nnnSn aSn（1）求证：数列1nnaa为等差数列.（2）求 na的前n项和nS.9已知数列 na满足11a,*124nnnaanNa.1 1 （1）证明:数列21na为等比数列;（2）求数列1na的前n项和.10在正项等比数列na中，11a 且354

15、2,3a aa成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列nb满足nnnba，求数列nb的前n项和nS 11已知正项数列na其前 n 项和nS满足2843nnnSaa，且2a是1a和7a的等比中项.（1）求证：数列na为等差数列，并计算数列na的通项公式；（2）符号x表示不超过实数 x 的最大整数，记23log4nnab，求1232.nbbbb.12已知公差不为 0 的等差数列 na的前 n 项和为nS，479Sa，且1a，4a，13a成等比数列（1）求数列 na的通项公式；（2）求数列1nS的前 n 项和公式 13已知正项数列an的前 n 项和为 Sn，a11，且(t1)Sna2n3an

16、2(tR)1 2 (1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足 b11，bn1bnan1，求数列12bn7n的前 n 项和 Tn.14已知数列na与 nb的前n项和分别为nA和nB，且对任意*112,nnnnnN aabb恒成立（1）若21,2nAnb，求nB；（2）若对任意*nN，都有nnaB及312412233413nnnbbbba aa aa aa a成立，求正实数1b的取值范围 15已知数列 na的首项1aa，其前n和为nS，且满足213(1)nnSSn*nN.（1）用a表示2a的值；（2）求数列 na的通项公式；（3）当32a 时，证明：对任意*nN，都有2222232121111112nnaaaa.