《博雅高考》2015届高三数学三轮高频考点新题演练空间向量(含解析).pdf

《《博雅高考》2015届高三数学三轮高频考点新题演练空间向量(含解析).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《博雅高考》2015届高三数学三轮高频考点新题演练空间向量(含解析).pdf（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 2015 届高三数学三轮高频考点新题演练：空间向量（含解析）1若平面 与 的法向量分别是=（1，0，2），=（1，0，2），则平面 与 的位置关系是（）A.平行 B.垂直 C.相交不垂直 D.无法判断 2设两不同直线 a，b 的方向向量分别是，平面 的法向量是，则 下 列 推 理；其中正确的命题序号是（）A.B.C.D.3如图，三棱柱111CBAABC 的各棱长均为 2，侧棱1BB与底面ABC所成的角为60，11BAA为锐角，且侧面11AABB底面ABC，给出下列四个结论：601ABB；1BBAC；直线1AC与平面11AABB所成的角为45；11ACCB.其中正确的结论是（）A.B.C.D.

2、4已知向量)2,1,2(a，)1,2,2(b，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为()A652 B65 C4 D8 5三棱锥ABCO中，OCOBOA,两两垂直且相等，点QP,分别是线段BC和OA上移动，且满足BCBP21，AOAQ21，则PQ和OB所成角余弦值的取值范围是（）A552,33 B22,33 C552,66 D22,66 6如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为 6 的正方体，E，F 分别是棱 AB，BC 上的动点，且 AEBF.当 A1，E，F，C1共面时，平面 A1DE 与平面 C1DF 所成二面角的余弦值为()A.32 B.12 C.15 D.2 65 7已知向量 a(1

3、，1，0)，b(1，0，2)，且 kab 与 2ab 互相垂直，则 k 值是()A1 B15 C35 D75 8在空间直角坐标系Oxyz中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)ABCD.若123,S SS分别是三棱锥DABC在,xOy yOz zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A123SSS B21SS且23SS C31SS且32SS D32SS且31SS 9在空间直角坐标系Oxyz中，y轴上有一点M到已知点(4,3,2)A和点(2,5,4)B的距离相等，则点M的坐标是 .10若 O（0，0，0），P（x，y，z），且|OP|=1，则 x2+y2+z2=1

4、表示的图形是 _ 11（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，SA 底面ABCD，SAAB,点M是SD的中点，ANSC，且交SC于点N （）求证:/SB平面ACM；（）求证：平面SAC平面AMN；（）求二面角DACM的余弦值 12如图,已知AB 平面ACD,DE/AB,ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点.（1）求证:AF/平面BCE;（2）求证:平面BCE 平面CDE;（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小.13（本小题满分 12 分）如图，在斜三棱柱111ABCABC中，侧面11ACC A与侧面11CBBC都是菱形，011160

5、ACCCC B，2AC.（）求证：11ABCC；（）若16AB，求二面角11CABA的余弦值.参考答案 1A【解析】根据题意，算出+=（0，0，0），得+=即 ，由此可得平面 与 的法向量平行，即得平面 与 互相平行 解：=（1，0，2），=（1，0，2），+=（11，0+0，2+2）=（0，0，0），即+=由此可得 、分别是平面 与 的法向量 平面 与 的法向量平行，可得平面 与 互相平行 点评：本题给出两个平面 与 的法向量，判断两个平面的位置关系，着重考查了向量的平行与共线、面面平行的判定等知识，属于基础题 2B【解析】根据两条直线的方向向量平行，则两条直线平行，两条直线的方向向量垂直，

6、两条直线也垂直，直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直，我们结合空间直线与直，直线与平面位置关系的判断方法，逐一分析已知中的四个命题，即可得到答案 解：若，则 b，故错误；若则，故正确；若，则 b，故正确；若，则，又由 b，故 b，故正确；故选 B 点评：本题考查的知识点是向量方法证明线、面位置关系，其中熟练掌握两条直线的方向向量的夹角与直线夹角的关系，直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面夹角的关系，两个平面的法向量的夹角与二面角之间的关系，是解答此类问题的关键 3C.【解析】如图过A作11AHAB，H为垂足，连结1C H，如图建立空间直角坐标系，：侧棱1BB与 底 面ABC所

7、 成 的 角 为60，11BAA为 锐 角，侧 面11AABB 底 面ABC，1160AA B，又 由 三 棱 柱 各 棱 长 相 等，可 知 四 边 形11AA B B为 菱 形，1160ABBAA B，正确；：易知(0,0,3)A，(1,3,3)C，(2,0,3)B，1(1,0,0)B(1,3,0)AC ，1(1,0,3)BB，110AC BB ，错误；：由题意得1C AH即为1AC与平面11AAB B所成的角，11tan1C HC AHAH，145C AH，正确；：由，1(0,3,3)BC，1(0,3,3)AC，110BC AC，11ACCB，正确.4B【解析】首先由向量的数量积公式可求

8、a与b夹角的余弦值94,cosbababa，然后根据同角三角函数的关系得965,sinba，最后利用正弦定理表示平行四边形的面65,sinbabaS 5C.【解析】以O为原点，分别OB,OC,OA为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设3OCOBOA，)0,(nmP,),0,0(kQ，则由BCBP21，AOAQ21得出23m，23n，3nm，23k.于是向量),(knmPQ，)0,0,3(OB，所以 22222222221133,cosmkmnknmmknmmOBPQOBPQOBPQ，令tm1，32,31(t，则26)9(1,cos22ttkOBPQ.因为对称轴为)31,154932

9、kt，所以26)9(22ttk关于t为递增函数，关于k为递增函数.又因为t与k独立取值，所以6,4526)9(22ttk，所以PQ和OB所成角余弦值的取值范围为552,66，即为所求.6B【解析】以 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，易知当 E(6,3,0)，F(3,6,0)时，A1，E，F、C1共面，设平面 A1DE 的法向量为 n1(a，b，c)，依题意得111630660nDEabnDAac 可取 n1(1,2,1)，同理可得平面 C1DF 的一个法向量为 n2(2，1,1)，故平面 A1DE 与平面 C1DF 所成二面角的余弦值为1

10、212n nnn12.故选 B.7D【解析】由,a b的坐标可得1,2kabkk，23,2,2ab，两向量互相垂直则0a b，即3122 20kk ，解得75k 8D 【解析】三棱锥ABCD在平面xoy上的投影为ABC，所以21S，设D在平面yoz、zox平面上的投影分别为2D、1D，则ABCD在平面yoz、zox上的投影分别为2OCD、1OAD，因为)2,1,0(1D，)2,0,1(2D，所以212SS，故选 D.9(0,4,0)M【解析】设M的坐标是（0，y，0），则222222(0-4)(y 3)+(02)=(02)(y 5)+(04)，解得4y ，故M的坐标是（0，4，0）.10以原点

11、 O 为球心，以 1 为半径的球面【解析】由题意可知，直接说明 P 的轨迹图形即可 解：O（0，0，0），P（x，y，z），且|OP|=1，即 x2+y2+z2=1，所以 x2+y2+z2=1 表示的图形是：以原点 O 为球心，以 1 为半径的球面 故答案为：以原点 O 为球心，以 1 为半径的球面 点评：本题是基础题，考查空间两点的距离的求法，表达式的几何意义，考查逻辑推理能力 11（）（）详见解析；（）33【解析】法一：用几何关系证明和求值.（）连结BD交AC于E，证/MESB即可；（）先证AM 平面SDC，再证SC 平面AMN即可；（）由三垂线定理先作出二面角DACM的平面角FQM，根据

12、数据关系求之即可.法二：建立空间直角坐标系，用空间向量证明求解.试题解析：方法一：（）证明：连结BD交AC于E，连结ME ABCD是正方形，E是BD的中点 M是SD的中点，ME是DSB的中位线/MESB 2 分 又ME 平面ACM，SB平面ACM，SB/平面ACM 4 分 （）证明：由条件有,DCSA DCDA DC 平面SAD，且AM 平面,SAD.AMDC 又,SAAD M是SD的中点，.AMSD AM 平面.SDC SC 平面,SDC.SCAM 6 分 由已知SCAN SC 平面.AMN 又SC 平面,SAC 平面SAC 平面.AMN 8 分 （）取AD中点F，则MF/SA作FQAC于Q

13、，连结MQ SA底面ABCD，MF 底面ABCD FQ为MQ在平面ABCD内的射影 FQAC,MQAC FQM为二面角DACM的平面角 10 分 设SAABa，在Rt MFQ中，112,2224aMFSAFQDEa，2tan224aFQMa 二面角DACM的余弦的大小为33 12 分 方法二：（）如图，以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz，由SAAB,可设1ABADAS，则11(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(,0,)22ABCDSM 11(,0,)22AM，1,1,1CS ，11022AM CS AMCS,即有SCAM 6 分 又SC

14、AN且ANAMA SC平面AMN 又SC 平面,SAC 平面SAC平面AMN 8 分（）SA底面ABCD，AS是平面ABCD的一个法向量，(0,0,1)AS 设平面ACM的法向量为(,)nx y z,11(1,1,0),(,0,)22ACAM,则0,0.ACAMnn即00,1100.22xyxz,.yxzx 令1x ,则(1,1,1)n 10 分 13cos,313|ASASASnnn,由作图可知二面角DACM为锐二面角 二面角DACM的余弦值为33 12 分 12（1）见解析；（2）见解析；（3）45.【解析】（1）取 CE 中点 P，连接 FP、BP，根据中位线定理可知 FP|DE，且且

15、FP=.21DE，而 AB|DE，且 AB=.21DE则 ABPF 为平行四边形，则 AF|BP，AF平面 BCE，BP平面 BCE，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；（2）根据 AB平面 ACD，DE|AB，则 DE平面 ACD，又 AF平面 ACD，根据线面垂直的性质可知DEAFAFCDCDDED又，满足线面垂直的判定定理，证得 AF平面 CDE，又 BP|AF，则 BP平面 CDE，BP平面 BCE，根据面面垂直的判定定理可证得结论；（3）由（2），以 F 为坐标原点，FA，FD，FP 所在的直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 Fxyz设 AC=2，根据线面垂直求出平面 B

16、CE 的法向量 n，而 m=（0，0，1）为平面ACD 的法向量，设平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为，根据|cos|m nmn可求出所求 解：（1）解:取 CE 中点 P,连结 FP、BP,F 为 CD 的中点,FP|DE,且 FP=.21DE 又 AB|DE,且 AB=.21DEAB|FP,且 AB=FP,ABPF 为平行四边形,AF|BP 又AF 平面 BCE,BP平面 BCE,AF|平面 BCE （2）ACD 为正三角形,AFCD.AB平面 ACD,DE|AB,DE平面 ACD,又 AF平面 ACD,DEAF.又 AFCD,CDDE=D,AF平面 CDE 又 BP|AF,BP

17、平面 CDE.又BP平面 BCE,平面 BCE平面 CDE （3）法一、由（2）,以 F 为坐标原点,FA,FD,FP 所在的直线分别为 x,y,z 轴（如图）,建立空间直角坐标系 Fxyz.设 AC=2,则 C（0,1,0）,).2,1,0(,),1,0,3(EB 设(,)nx y z为平面 BCE 的法向量，300,0,220 xyzn CBn CEyz ，令 n=1,则(0,1,1)n 显然,)1,0,0(m为平面 ACD 的法向量.设面 BCE 与面 ACD 所成锐二面角为,则|12cos.|22m nmn45.即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为45 法二、延长 EB、DA

18、,设 EB、DA 交于一点 O,连结 CO.则面EBC面DACCO.由 AB 是EDO的中位线,则ADDO2.在OCD中22ODADAC,060ODC.CDOC,又DEOC.OC 面,ECD而 CE面 ECD,为所求二面角的平面角ECDCEOC,在Rt EDC中，EDCD，045ECD 即平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角为45.考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 13（1）证明详见解析；（2）105.【解析】本题主要考查线线垂直、线面垂直、二面角等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力.第一

19、问，连结 AC1，CB1，取1CC中点，连结AO、1BO，由于ACC1和B1CC1皆为正三角形，所以 CC1OA，CC1OB1，所以利用线面垂直的判定，得到 CC1平面 OAB1，再利用线面垂直的性质得到 CC1AB1；第二问，利用向量法，利用第一问的相互垂直关系建立空间直角坐标系，写出相应的的坐标及相应向量的坐标，求出平面 CAB1和平面 A1AB1的法向量，再利用夹角公式求出cos,m n，最后判断出二面角是钝角还是锐角.解：（）证明：连 AC1，CB1，则ACC1和B1CC1皆为正三角形 取 CC1中点 O，连 OA，OB1，则 CC1OA，CC1OB1，则 CC1平面 OAB1，则 C

20、C1AB1 4 分（）由（）知，OAOB13，又 AB16，所以 OAOB1如图所示，分别以 OB1，OC1，OA 为正方向建立空间直角坐标系，则 C(0，1，0)，B1(3，0，0)，A(0，0，3)，6 分 设平面 CAB1的法向量为 m(x1，y1，z1)，因为 1(3,0,3)AB，(0,1,3)AC，所以11111130300130 xyzxyz ，取 m(1，3，1)8 分 设平面 A1AB1的法向量为 n(x2，y2，z2)，因为 1(3,0,3)AB，1(0,2,0)AA，所以22211130300200 xyzxyz ，取 n(1，0，1)10 分 则210cos,5|52m nm nm n，因为二面角 C-AB1-A1为钝角，所以二面角 C-AB1-A1的余弦值为105 12 分