三角函数的奇偶性与单调性.pdf

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1、3.3 三角函数的奇偶性与单调性【知识网络】1正弦、余弦、正切函数的奇偶性、对称性；正弦、余弦、正切函数的的单调性【典型例题】例 1(1)已知Ra，函数Rxaxxf|,|sin)(为奇函数，则 a（）（A）0 （B）1 （C）1 （D）1(1)A 提示：由题意可知，()()(0)0fxf xf 可得得 a=0（2）函数 tan4fxx的单调增区间为()A,22kkkZ B,1,kkkZ C3,44kkkZ D3,44kkkZ(2)C 提示：令242kxk可得（3）定义在 R 上的函数)(xf既是偶函数又是周期函数，若)(xf的最小正周期 是，且当2,0 x时，xxfsin)(，则)35(f的值

2、为()A.21 B.23 C.23 D.21(3)B 提示：53()(2)()()sin333332ffff（4）如果()sin()2cos()f xxx是奇函数，则tan (4)由()()(0)0fxf xf 可得（）已知函数()yf x满足以下三个条件：在0,2上是增函数 以为最小正周期 是偶函数 试写出一满足以上性质的一个函数解析式 (5)()cos2f xx 提示：答案不唯一，如还可写成()sinf xx等 例 2判断下列函数的奇偶性（）()sin 2tanf xxx；(2)1 sincos()1 sincosxxf xxx；(3)()cos(sin)f xx；(4)()lgcosf

3、xx 解：（1）()f x的定义域为()2xkkZ，故其定义域关于原点对称，又()sin(2)tan()sin 2tan()fxxxxxf x ()f x为奇函数（2）2x时，1 sincos2xx，而1 sincos02xxx 时,，()f x的定义域不关于原点对称，()f x为非奇非偶函数。（3）()f x的定义域为 R，又()cos(sin()cos(sin)()fxxxf x ()f x为偶函数。（4）由lgcos0 x 得cos1x，又cos1x cos1x，故此函数的定义域为 2()xkkZ，关于原点对称，此时()0f x ()f x既是奇函数，又是偶函数。例 3已知:函数 xxx

4、fcossinlog21 (1)求它的定义域和值域；(2)判断它的奇偶性；(3)求它的单调区间；（4）判断它的周期性,若是周期函数,求它的最小正周期.解:(1).由0cossinxx04sin2xkxk242()kZ 定义域为Zkkk,452,42,2,04sin2x 值域为.,21(2).定义域不关于原点对称,函数为非奇非偶函数（3）sincos2sin04xxx()f x的递增区间为352,2)()44kkkZ 递减区间为3(2,2()44kkkZ(4).122logsin2cos2f xxx12logsincosxx f x()f x是周期函数,最小正周期 T2.例 4已知函数22()s

5、in2sincos3cosf xxxxx，xR求:(I)函数()f x的最大值及取得最大值的自变量x的集合；(II)函数()f x的单调增区间 解(I)1 cos23(1cos2)()sin 21 sin 2cos222sin(2)224xxf xxxxx 当2242xk,即()8xkkZ时,()f x取得最大值22.函数()f x的取得最大值的自变量x的集合为/,()8x xR xkkZ.(II)()22sin(2)4f xx 由题意得:222()242kxkkZ 即:3()88kxkkZ 因此函数()f x的单调增区间为3,()88kkkZ.【课内练习】1函数 f(x)=sin(2x+)+

6、3cos(2x+)的图像关于原点对称的充要条件是（）A=2k6，kZ B=k6，kZ C=2k3，kZ D=k3，kZ 1D 提示：()sin(2)3cos(2)2sin(2)3f xxxx 令3k可得 2在ABC中，2C，若函数)(xfy 在0，1上为单调递减函数，则下列命题正确的是（A）)(cos)(cosBfAf （B）)(sin)(sinBfAf（C）)(cos)(sinBfAf （D）)(cos)(sinBfAf 2C 提示：根据00222ABAB得所以sinsin()cos2ABB 3.同时具有性质“最小正周期是；图象关于直线3x对称；在,63 上是增函数”的一个函数是()A )6

7、2sin(xy B )32cos(xy C )62cos(xy D)62sin(xy 3D 提示：由性质(1)和(2)可排除 A 和 C,再求出)62sin(xy的增区间即可 4 设函数()sin,22f xxxx，若12()()f xf x，则下列不等式必定成立的是 （）A 120 xx B 2212xx C 12xx D 12xx 4B 提示：易知()(|)f xfx，且当 x 0,2x时，(|)fx为增函数又由12()()f xf x，得12(|)(|)fxfx，故 12|xx|，于是2212xx 5.判断下列函数奇偶性（1）()|sin 2|tanf xxxx 是 ；（2）cos(1

8、sin)()1 sinxxf xx是 ；（3）f（x）=2lg(sinx+1+sin)x是 5（1）偶函数（）非奇非偶函数（）奇函数 提示：先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后用奇函数和偶函数的定义判断 6.若()f x是以 5 为周期的奇函数，(3)4f 且1cos2，则(4cos 2)f=6-4 提示：2(4cos 2)(8cos4)(2)(3)(3)4fffff 五个函数()sinf xx()cos2f xx()sin 2f xx()tan()f xx()cos2sin 2f xxx中，同时满足()()2f xf x 且()()fxf x 的函数的序号为 7 提示：不满足()()fx

9、f x 不满足()()2f xf x 8求下列函数的单调区间.(1)324sin21xy (2)4cosxy 解:(1).原函数变形为432sin21xy令432xu,则只需求uysin的单调区间即可.2243222sinkxukuy在,(Zk)上 即893833kxk,(Zk)上单调递增,uysin在)(,23243222Zkkxuk,上 即)(,8213893Zkkxk,上单调递减 故324sin21xy的递减区间为:,893,833kk()kZ 递增区间为:)(,8213,893Zkkk.(2)原函数的增减区间即是函数4cosxy的减增区间,令4 xu 由函数uycos的图象可知:周期T

10、且 uycos在,42kxuk上,即Zkkxk,443上递增,在24kxuk即在Zkkxk,44上递减 故所求的递减区间为4,43kk,递增区间为,44kk(Zk)已知()f x为奇函数，且当0 x 时，()sin 2cosf xxx（）当0 x 时，求()f x的解析式；（）当xR时，求()f x的解析式 解：（）当0 x 时，则0 x，()sin 2()cos()sin 2cosfxxxxx，又()f x 为奇函数，所以()()sin 2cosf xfxxx （）当xR时，()f x为奇函数，所以(0)0f 由（）知sin2cos,0()0,0sin2cos,0 xxf xxxx x 10

11、已知函数()sin()f xx(0,0)是R上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M对称，且在区间0,2上是单调函数，求和的值 解：由()f x是R上的偶函数，得()()fxf x，即sin()sin()xx，展开整理得：cossincossinxx，对任意x都成立，且0，所以cos0 又0，所以2由()f x的图象关于点M对称，得33()()44fxfx 取0 x，得33()()44ff，所以3()04f，333()sin()cos4424f 所以33cos0,0,442k又得，()kN即2(21),0,1,2,3kk 220,()sin()0,3322kf xx当时在上是减函数；1,2,()

12、sin(2)0,22kf xx当时在上是减函数；102,()sin()0,322kf xx当时在上不是单调函数；综上所得223或，2 作业本 A 组 函数y=xcosx的部分图象是 （）y OCy x Oy OBAy x O1.D 提示：y=xcosx 为奇函数，且当00 xy 时.2函数y=2sin（62x）（x0，）为增函数的区间是 （）A.0，3 B.12，127 C.3，65 D.65，2C 提示：由y=2sin（62x）=2sin（2x6）其增区间可由y=2sin（2x6）的减区间得到，即 2k+22x62k+23，kZ.k+3xk+65，kZ.令k=0，故选 C.若()sinyf

13、xx是周期为的奇函数，则()f x可以是 （）A.sinx B.cosx C.sin2x D.cos2x 3B 4.已知()sincos5,(0)(9)27f xaxbxabf且，则f(-9)4-17 提示:(9)sin(9)cos(9)5fab sin9cos95 1017ab 5已知 xxxfcos3sin的一条对称轴为y轴,且,0.求=.56 提示：xxxfcos3sin=2 sin3x 由()0,32kkZ及可得 已知函数sin,sincos()cos,cossinxxxf xxxx（1）画出()f x的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值；（2）判断()f x是否为周期函数.如果是

14、，求出最小正周期.解：（1）实线即为()f x的图象.xyy=y=sinxcosx-22-1-1O 单调增区间为2k+4，2k+2，2k+45，2k+2（kZ），单调减区间为2k，2k+4，2k+2，2k+45（kZ），f（x）max=1，f（x）min=22.（2）f（x）为周期函数，T=2.7.比较下列各组中两个值的大小：（1）3cos2，1sin10，7cos4；（2）3sin(sin)8，3sin(cos)8 解：（1）11sincos()10210，77coscos()44，又713042102及cosyx在(0,)内是减函数，可得317cossincos2104 （2）3cossi

15、n88，330cossin188，而sinyx在(0,1)上递增，33sin(sin)sin(cos)88 8.()f x是定义在2,2上的偶函数，当x,0时，()cosyf xx；当x2,时，()f x的图象是斜率为2，在y轴上截距为2 的直线在相应区间上的部分.（1）求(2)f，()3f的值；（2）求()f x的解析式，并作出图象，写出其单调区间.解：（1）当x（，2时，y=f（x）=2x2，又f（x）是偶函数，f（2）=f（2）=2.又x0，时，y=f（x）=cosx，f（3）=f（3）=21.（2）y=f（x）=.222cos222，xxxxxx xy-22-112-2O 单调增区间为

16、，0，2.单调减区间为2，0，。B 组 1函数baxxxf|sin|)(是奇函数的充要条件是（）A0ab B0ba Cba D022ba 1D 提示：由奇函数的定义可得 2函数y=xcosxsinx在下面哪个区间内是增函数 （）A.（2，23）B.（，2）C.（23，25）D.（2，3）2B 提示：利用导数判断 3设，是一个钝角三角形的两个锐角，则下列四个不等式中不正确的是（A）1tantan （B）2sinsin （C）1coscos （D）2tan)tan(21 3D 提示：取特值，如取6 4给出下列命题：正切函数的图象的对称中心是唯一的；y=|sinx|、y=|tanx|的周期分别为、2

17、；若x1x2，则 sinx1sinx2；若f（x）是 R 上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（2T）=0.其中正确命题的序号是_.4 提示：正切函数的对称中心是(,0)()2kkZ；y=|sinx|、y=|tanx|的周期都是 正弦函数在定义域上不是单调函数；()()()()2222TTTTffTff 5 设 函 数 cos30f xx。若 /f xfx是 奇 函 数，则_ 56 提示 /f xfxcos33sin32cos33xxx 由()032kkZ及可得 6已知函数sin(2)4()(0,1)xf xaa且a(1)这个函数是否为周期函数?为什么?(2)求它的单调增区间和最大值.解:(1

18、)sin2()sin(2)44()()xxf xaaf x()f x是以为周期的周期函数.(2)当1a 时,增区间为3,()88kkkZ,最大值为a;当01a,增区间为37,88kk,()kZ,最大值为1a 7.设函数()sin(2),(0)f xx，()yf x图象的一条对称轴是直线8x(1)求;(2)求函数()yf x的单调增区间;(3)证明直线520 xyc与函数()yf x的图象不相切.解:(1)8x是函数()yf x的图象的一条对称轴 sin(2)18 ,42kkZ 30,4 (2)由(1)知34,因此3sin(2)4yx 由题意得 3222,242kxkkZ 所以函数3sin(2)

19、4yx 的单调增区间为5,()88kkkZ.(3)证明:33sin(2)2cos(2)244yxx,所以曲线()yf x的切线斜 率 取 值 范 围 为-2,2,而 直 线520 xyc的 斜 率 为522,所 以 直 线520 xyc与函数()yf x的图象不相切.8已知偶函数()cossinsin()(tan2)sinsinf xxxx的最小值是 0，求()f x的最大值及此时x的集合 解：()cossinsin()(tan2)sinsinf xxxx sincos(tan2)sinsinxx 因为()f x是偶函数，所以对任意xR，都有()()fxf x 即sincos()(tan2)sin()sinsincos(tan2)sinsinxxxx 即(tan2)sin0 x，所以 tan2 由22sin2cossincos1解得 2 5sin55cos5 或 2 5sin55cos5 此时，()sin(cos1)f xx当2 5sin5时，2 5()(cos1)5f xx最大值为，不合题意最小值为，舍去；当2 5sin5 时，2 5()(cos1)5f xx 最小值为，符合题意，故当cos1x 时，()f x有最大值为4 55，自变量x的集合为2,x xkkZ