【解析版】2007年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)文科数学Word版含解析.pdf

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1、 第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1（5 分）（2007辽宁）若集合 A=1，3，B=2，3，4，则 AB=（）A 1 B 2 C 3 D 1，2，3，4 2（5 分）（2007辽宁）若函数 y=f（x）的反函数图象过点（1，5），则函数 y=f（x）的图象必过点（）A（1，1）B（1，5）C（5，1）D（5，5）【考点】反函数 【专题】计算题【分析】原函数与反函数的图象关于 y=x 对称，直接求出（1，5）的对称点，就是函数 y=f（x）的图象必过点【解答】解：依据反函数定义知反函数图

2、象过（1，5），原函数与反函数的图象关于 y=x 对称，（1，5）的对称点为（5，1），就是说原函数图象过点（5，1），故选 C【点评】本题考查反函数与原函数图象的关系，是基础题 3（5 分）（2007辽宁）双曲线的焦点坐标为（）A，B，C（5，0），（5，0）D（0，5），（0，5）4（5 分）（2007辽宁）若向量 与 不共线，0，且，则向量 与 的夹角为（）A 0 B C D 【考点】平面对量数量积的坐标表示、模、夹角 【分析】求两个向量的夹角有它本身的公式，条件中 表现形式有点繁琐，我们可以试着先求一下要求夹角的向量的数量积，求数量积的过程有点出乎意料，一下就求出结果，数量积为零，两向

3、量垂直，不用再做就得到结果，有些题目同学们看着不敢动手做，实际上，我们试一下，它表现得很有规律【解答】解：=0 向量 a 与 c 垂直，故选 D【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，本题使用两个不共线的向量来表示第三个向量，这样解题时运算有点麻烦，但是我们应当会的 5（5 分）（2007辽宁）设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S3=9，S6=36，则 a7+a8+a9=（）A 63 B 45 C 36 D 27 【考点】等差数列的性质 【分析】观看下标间的关系，知应用等差数列的性质求得【解答】解：由等差数列性质知 S3、S6S

4、3、S9S6成等差数列，即 9，27，S9S6成等差，S9S6=45 a7+a8+a9=45 故选 B【点评】本题考查等差数列的性质 6（5 分）（2007辽宁）若 m，n 是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）A 若 m，则 m B 若=m，=n，mn，则 C 若，则 D 若 m，m，则 7（5 分）（2007辽宁）若函数 y=f（x）的图象按向量 平移后，得到函数 y=f（x+1）2 的图象，则向量=（）A（1，2）B（1，2）C（1，2）D（1，2）【考点】函数的图象与图象变化 【专题】待定系数法【分析】使用待定系数法，先设出平移向量，再依据其它已知条件列出方程

5、（组），解方程（组）即可求出平移向量【解答】解：设=（h，k）则由移公式得：函数 y=f（x）的图象平移后对应的解析式为：y=f（xh）+k 则 =（1，2），故选 A【点评】利用待定系数法求平移向量的关键是：依据已知条件和多项式相等的条件构造出方程（组）8（5 分）（2007辽宁）已知变量 x，y 满足约束条件，则 的取值范围是（）A B C（，36，+）D 3，6 【考点】简洁线性规划的应用 【专题】数形结合【分析】本题考查的学问点是线性规划，处理的思路为：依据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析 表示的几何意义，结合图象即可给出 的取值范围【解答】解：约束条件对应的平面区域如下

6、图示：【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案 9（5 分）（2007辽宁）函数的单调增区间为（）A B（3，+）C D（，2）【考点】复合函数的单调性 【分析】先求出函数的定义域，再依据复合函数的单调性同增异减可得答案【解答】解：由题意知，x25x+60函数定义域为（，2）（3，+），排解 A、C，依据复合函数的单调性知的单调增区间为（，2），故选 D【点评】本题主要考查两个方面，第一求对数函数定义域，要保证真数大于 0；其次复合函数的单调性问题，留

7、意同增异减的性质 10（5 分）（2007辽宁）一个坛子里有编号为 1，2，12 的 12 个大小相同的球，其中 1 到 6 号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1 个球的号码是偶数的概率是（）A B C D 11（5 分）（2007辽宁）设 p，q 是两个命题：，则 p 是 q 的（）A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的推断；集合的包含关系推断及应用 【专题】计算题；压轴题【分析】首先解两个不等式，再推断不等式解的范围，推断 p，q 条件关系【解答】解：p：0|x|3

8、1，3|x|4，4x3 或 3x4，q：，结合数轴知 p 是 q 的充分而不必要条件，故选 A【点评】本题主要考查对数不等式的求解，多项式不等式的求解，以及命题的充要条件，充分条件，必要条件的推断要认真把握 12（5 分）（2007辽宁）将数字 1，2，3，4，5，6 拼成一列，记第 i 个数为 ai（i=1，2，6），若 a11，a33，a55，a1a3a5，则不同的排列方法种数为（）A 18 B 3 C 36 D 48 【考点】排列及排列数公式 【专题】压轴题【分析】本题为有特殊要求的排列问题，可以从特殊位置入手考虑 由 a11 且 a1a3a5，故 a1的取法方法只有 2、3、4 三种，

9、由 a1的三种状况分别考虑 a3、a5的支配方式，最终考虑 a2，a4，a6【解答】解：分两步：（1）先排 a1，a3，a5，a1=2，有 2 种；a1=3 有 2 种；a1=4 有 1 种，共有 5 种；（2）再排 a2，a4，a6，共有 A33=6 种，故不同的排列方法种数为 56=30，选 B【点评】本题考查有特殊要求的排列问题，需要较强的分析问题、解决问题的力量 第卷（共 90 分）二、填空题（每题 4 分，满分 16 分，将答案填在答题纸上）13（4 分）（2007辽宁）已知函数 y=f（x）为奇函数，若 f（3）f（2）=1，则 f（2）f（3）=1 【考点】函数奇偶性的性质 【分

10、析】直接利用奇函数进行转化 14（4 分）（2007辽宁）开放式中含 x 的整数次幂的项的系数之和为 72（用数字作答）【考点】二项式定理 【专题】计算题【分析】利用二项开放式的通项公式进行找寻整数次幂，留意找到全部的整数次幂，然后再求和【解答】解：，当 r=0，4，8 时为含 x 的整数次幂的项，所以开放式中含 x 的整数次幂的项的系数之和为 C80+C84+C88=72，填 72【点评】本题考查二项开放式的通项公式，考查转化思想和化归思想，考查同学们的运算力量 15（4 分）（2007辽宁）若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的全部顶点都在一个平面上，则此球的体积为 4 【考点】球的体积和表

11、面积 【专题】计算题；综合题；压轴题【分析】正六棱柱的体对角线就是外接球的直径，求出即可求其体积【解答】解：依据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由；得 R=，球体积为 故答案为：4【点评】本题考查球的体积，棱柱的体对角线问题，考查空间想象力量，是基础题 16（4 分）（2007辽宁）设椭圆上一点 P 到左准线的距离为 10，F 是该椭圆的左焦点，若点 M 满足=（+），则=2 【考点】两点间的距离公式；中点坐标公式；椭圆的简洁性质 【专题】计算题；压轴题【分析】依据 a2b2=c2求出左焦点 F 的坐标，依据椭圆的准线公式 x=求出左准线方程，然后设 P 的坐标（x，y），依据两点间的距

12、离公式求出 P 到准线方程的距离让其等于 10 求出 x，然后再把 x 的值代入到椭圆方程中得到 P 的坐标，由=（+）得到 M 为 PF 的中点，依据中点坐标公式求出 M 的坐标，利用两点间的距离公式求出即可【解答】解：由椭圆得 a=5，b=4，依据勾股定理得 c=3，则左准线为，左焦点 F（3，0），设 P（x，y），由于 P 到左准线的距离为 10，列出=10，解得 x=或 x=（舍去）；又 P 在椭圆上，则将 x=代入到椭圆方程中求出 y=，所以点 P（，）；由点 M 满足=（+），则得 M 为 PF 中点，依据中点坐标公式求得 M（，），所以=故答案为 2【点评】本题是一道综合题，考

13、查同学把握椭圆的一些简洁性质，会利用两点间的距离公式及中点坐标公式、点到直线的距离公式化简求值，同时也考查同学把握向量的运用法则及向量模的求法，做题时要求同学学问面要宽，综合运用数学学问解决问题 三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12 分）（2007辽宁）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管 1000 支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示：分组 500，900）900，1100）1100，1300）1300，1500）1500，1700）1700，1900）1900，+）频数 48 121 208

14、 223 193 165 42 频率 （1）将各组的频率填入表中；（2）依据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足 1500 小时的频率；（3）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管 2 支，若将上述频率作为概率，试求恰有 1 支灯管的使用寿命不足 1500小时的概率 【考点】频率分布表 【专题】计算题【分析】（1）由频率=，可得出各组的频率；（2）要计算灯管使用寿命不足 1500 小时的频率，即计算前四个小组的频率之和；（3）恰有 1 支灯管的使用寿命不足 1500 小时即 1 支灯管使用寿命不足 1500 小时，另一支灯管使用寿命超过 1500 小时，分为两种情形，最终求出它们的和即可【解答】解

15、：（I）分组 500，900）900，1100）1100，1300）1300，1500）1500，1700）1700，1900）1900，+）频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042（4 分）（II）由（I）可得 0.048+0.121+0.208+0.223=0.6，所以灯管使用寿命不足 1500 小时的频率为 0.6（8 分）（III）由（II）知，1 支灯管使用寿命不足 1500 小时的概率 P1=0.6，另一支灯管使用寿命超过 1500 小时的概率 P2=1P1=10.6=0.4，

16、则这两支灯管中恰有 1 支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率是 P1P2+P2P1=20.60.4=0.48 所以有 2 支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率是 0.48（12 分）【点评】本题主要考查频率分布表的计算和频数分布直方图的应用以及概率的求法，属于基础题 18（12 分）（2007辽宁）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=BC=a，D，E 分别为棱 AB，BC的中点，M 为棱 AA1上的点，二面角 MDEA 为 30（I）证明：A1B1C1D；（II）求 MA 的长，并求点 C 到平面 MDE 的距离 【考点】与二面角有关的立体几何综合题；棱柱的

17、结构特征；点、线、面间的距离计算 【专题】计算题；证明题【分析】（I）连接 CD，依据三垂线定理可得 ABC1D，而 A1B1平行 AB，从而 A1B1C1D；（II）过点 A 作 CE 的平行线，交 ED 的延长线于 F，连接 MF，依据定义可知MFA 为二面角 MDEA 的平面角，在 RtGAF 中，GFA=30，求出 A 到平面 MDE 的距离，再依据线面平行可知 C 到平面 MDE 的距离与 A 到平面 MDE 的距离相等【解答】解：（I）证明：连接 CD，三棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面 ABC，CD 为 C1D 在平面 ABC 内的射影ABC中，AC=BC，D 为

18、AB 中点，ABCD，ABC1DA1B1AB，A1B1C1D（II）解：过点 A 作 CE 的平行线，交 ED 的延长线于 F，连接 MFD，E 分别为 AB，BC 的中点，DEAC 又AFCE，CEACAFDEMA平面 ABC，AF 为 MF 在平面 ABC 内的射影 MFDEMFA 为二面角 MDEA 的平面角，MFA=30 在 RtMAF 中，MFA=30，作 AGMF，垂足为 G，MFDE，AFDE，DE平面 AMF，平面 MDE平面 AMF，AG平面 MDE 在 RtGAF 中，GFA=30，即 A 到平面 MDE 的距离为 CADE，CA平面MDE，C 到平面 MDE 的距离与 A

19、 到平面 MDE 的距离相等，为 【点评】本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础学问，考查空间想象力量与思维力量，属于基础题 19（12 分）（2007辽宁）已知函数（其中 0）（I）求函数 f（x）的值域；（II）若函数 y=f（x）的图象与直线 y=1 的两个相邻交点间的距离为，求函数 y=f（x）的单调增区间 【考点】由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性 【专题】计算题【分析】（I）利用两角和与差的正弦函数、二倍角公式化简不等式，然后利用两角和化简函数为，解好正弦函数的有界性，求函数 f（x）的值域；（II）利用函数 y=f（x）的图象与直线 y=1

20、的两个相邻交点间的距离为，求出周期，求出，利用正弦函数的单调增区间，求函出数 y=f（x）的单调增区间【解答】解：（I）解：=【点评】本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础学问，考查综合运用三角函数有关学问的力量，常考题 20（12 分）（2007辽宁）已知数列an，bn满足 a1=2，b1=1，且（n2）（I）令 cn=an+bn，求数列cn的通项公式；（II）求数列an的通项公式及前 n 项和公式 Sn 【考点】数列递推式；等差数列的通项公式；数列的求和 【专题】计算题【分析】（I）依据题意可求得 cn=cn1+2，进而依据等差数列的定义可推断出cn是首项为 a1+b1=3，

21、公差为 2 的等差数列，进而求得其通项公式（II）令 dn=anbn，则可知进而推断出dn是首项为 a1b1=1，公比为 的等比数列，则其通项公式可求，进而依据 anbn和 an+bn的表达式，联立方程求得 an，进而依据等差数列和等比数列的求和公式求得答案【解答】解：（I）由题设得 an+bn=（an1+bn1）+2（n2），即 cn=cn1+2（n2）易知cn是首项为 a1+b1=3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 cn=2n+1（II）解：由题设得，令 dn=anbn，则、易知dn是首项为 a1b1=1，公比为 的等比数列，通项公式为 由解得，求和得【点评】本小题主要考查等差数列，等

22、比数列等基础学问，考查基本运算力量 21（14 分）（2007辽宁）已知正三角形 OAB 的三个顶点都在抛物线 y2=2x 上，其中 O 为坐标原点，设圆 C 是 OAB的内接圆（点 C 为圆心）（）求圆 C 的方程；（）设圆 M 的方程为（x47cos）2+（y7cos）2=1，过圆 M 上任意一点 P 分别作圆 C 的两条切线 PE，PF，切点为 E，F，求的最大值和最小值 【考点】圆的标准方程；平面对量数量积的运算；圆的切线方程 【专题】计算题；综合题；压轴题；函数思想【分析】（）设出 A、B 的坐标（正三角形 OAB 的三个顶点都在抛物线 y2=2x 上），依据ABO 边长相等，求出A

23、、B 点的坐标，再求圆心和半径，进而求可得圆 C 的方程；（）设出ECF=2，表示出数量积，数量积中有 cos，确定|PC|的范围，可求出数量积的最值【解答】解：（）解法一：设 A，B 两点坐标分别为，由题设知 解得 y12=y22=12，所以，或，设圆心 C 的坐标为（r，0），则，所以圆 C 的方程为（x4）2+y2=16 解法二：设 A，B 两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），由题设知 x12+y12=x22+y22 又由于 y12=2x1，y22=2x2，可得 x12+2x1=x22+2x2即（x1x2）（x1+x2+2）=0 由 x10，x20，可知 x1=x2，故 A，B

24、 两点关于 x 轴对称，所以圆心 C 在 x 轴上 设 C 点的坐标为（r，0），则 A 点坐标为，于是有，解得 r=4，所以圆 C 的方程为（x4）2+y2=16（）解：设ECF=2，则 在 RtPCE 中，由圆的几何性质得|PC|MC|+1=7+1=8，|PC|MC|1=71=6，所以，由此可得 则的最大值为，最小值为8【点评】本小题主要考查平面对量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本学问，考查综合运用解析几何学问解决问题的力量 22（12 分）（2007辽宁）已知函数 f（x）=x39x2cos+48xcos+18sin2，g（x）=f（x），且对任意的实数 t 均有 g（1+cost）0

25、，g（3+sint）0（I）求函数 f（x）的解析式；（II）若对任意的 m26，6，恒有 f（x）x2mx11，求 x 的取值范围 【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题 【专题】压轴题【分析】（1）先求出 f（x），即 g（x），它是关于 x 的二次函数，对任意的实数 t 均有 g（1+cost）0，g（3+sint）0 可先求出 1+cost 和 3+sint 的范围，转化为 g（x）在某些区间上恒成立，结合二次函数的图象确定 g（x）应满足的条件（2）由题意对任意的 m26，6恒成立，只要把式子看成关于 m 的不等式恒成马上可【解答】解：（1）g（x）=f（x）=3x218xcos+48cos 对任意的实数 t，1+cost0，2，3+sint2，4 对任意的实数 t 有 g（1+cost）0，g（3+sint）0 即对任意的实数 x0，2有 g（x）0，x2，4时有 g（x）0 即，解得 所以 f（x）=x39x2+24x（2）令 g（m）=f（x）x2+mx+11=xm+x310 x2+24x+11 由题意只要即，解得【点评】本题考查待定系数法求解析式、不等式恒成立问题，综合性强，难度较大