二次根式知识及典型例题.pdf

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1、1/10 二次根式知识点复习【知识点 1】二次根式的概念：一般地，我们把形如)0(0aa的式子叫做二次根式。二次根式的实质是一个非负数数 a 的算数平方根。【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数 a 必须是非负数。例 1 下列各式（22211(1)(2)5(3)2(4)4(5)()(6)1(7)2153xaaa 其中是二次根式的是_（填序号）例 2 使x 1x-2 有意义的 x 的取值范围是（）Ax0 Bx2 Cx2 Dx0 且 x2 例 3 若 y=5x+x5+2009，则 x+y=练习 1 使代数式43xx有意义的 x 的取值

2、范围是 练习 2 若11xx 2()xy，则xy的值为 例 4 若230ab，则 2ab=。例 5 在实数的范围内分解因式：X4-4X2+4=_ 例 6 若 a、b 为正实数，下列等式中一定成立的是（）：A、a2+b2=a2+b2；B、（a2+b2）2=a2+b2；C、（a+b）2=a2+b2；D、（ab）2=ab；【知识点 2】二次根式的性质：（1）二次根式的非负性，)0(0aa的最小值是 0；也就是说a（）是一个非负数，即)0(0aa。2/10 注：因为二次根式)0(0aa表示 a 的算术平方根，这个性质在解答题目时应用较多，如 若0ab，则 a=0,b=0；若0ab，则 a=0,b=0；

3、若20ab，则 a=0,b=0。（2）2()aa（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式2()aa（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则2()aa，如：22(2)（3）例 7 a、b、c 为三角形的三条边，则cabcba2)(_.例 8 把(2-x)21x的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得 例 9 若二次根式26x有意义，化简x-4-7-x=。例10 已知 x、y 是实数，且满足 y=x6+6x+1 试求 9x2y 的值 例 11 若实数 a 满足a2+a=0,则有 例 12 下列命题中，正确的是（）A若 a

4、b，则a b B若a a，则 a0 C若|a|=(b)2，则 a=b D若 a2=b，则 a 是 b 的平方根 例 13 24n是整数，则正整数n的最小值是（）A、4；B、5；C、6；D、7 例 14 实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么2aba的结果是什么？3/10 例 15 已知已知17aa,则1aa 练习 1.若yxxx36633，则 10 x2y 的平方根为_ 练习 2 若yxx23322试求yx的值。练习 3 若2440 xyyy，求xy的值 专题二 二次根式的乘除【知识点 1】二次根式的乘法法则：)0,0(baabba。将上面的公式逆向运用可得：)0,0(babaab 积的算术平

5、方根，等于积中各因式的算术平方根的积。例1 化 简（1）2442(00)a ba bab，_（2）1aa_ 例 2 下列各式中不成立的是（）2(4)()2xx 22402464 1632 255411999 (62)(62)4 例 3 计算 533455156yxyx yx 例 4 若 b0，x0，化简：bx3 【知识点 2】二次根式的除法：（1）一般地，对于二次根式的除法规定baba).0,0(ba【注】分母有理化二次根式的除法运算，通常是采用化去分母中的根号的方法来进行的。分母有理化：（1）定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。（2）关键：把分子、分母都乘以一个适当的式子，化去分母中的

6、根号。例 52+3的有理化因式是_；x-y的有理化因式是_ -1x-1x的有理化因式是_ b 0 a 4/10 例 6 若246的整数部分为 a，小数部分为 b。求ba2的值 练习：已知111 的整数部分为 a，小数部分为 b，试求111ba的值 【知识点 3】最简二次根式：（1）被开放数不含分母；（2）被开放数中不含开得尽方的因数或因式。例 7 下列二次根式中，最简二次根式是（）(A)12 （B）xy （C）32 （D）324a b 例 8 已知xy0，化简二次根式2yxx的正确结果为_ 例 9 设 a=23，b=32，c=25，则 a、b、c 的大小关系是 专题三 二次根式的加减【知识点

7、1】同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式。.例 1 在8、1753a、293a、125、323aa、30.2、-218中，与3a是同类二次根式的有 例 2 若最简根式343a bab与根式23226abbb是同类二次根式，求 a、b 的值 练习：若最简二次根式22323m 与212410nm是同类二次根式，求 m、n的值 【知识点 2】二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简的二次根式，再将被开放数相同的根式进行合并。例 3 （1）27)4648(34 （2）213 904540 例 4 已知 4x2+y2-4x-6y+

8、10=0，求（293xx+y23xy）-（x21x-5xyx）的值 5/10 【知识点 3】二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。例 5 计 算 （1）2211aaaa （2）2ababababab 例6 若x，y为实数，且yx4114 x21 求xyyx2xyyx2的值 例 7 已知x2323，y2323，求32234232yxyxyxxyx的值 例 8 已知a、b为实数，且满足233bba，求baabab1的值。6/10 全国各地中考数学二次根式 一、选择题 1.（2012 菏泽）在算式（）（）的中填上运算符号

9、，使结果最大，这个运算符号是（）A 加号 B 减号 C 乘号 D除号 2（2012 义乌）一个正方形的面积是 15，估计它的边长大小在（）A2 与 3 之间 B3 与 4 之间 C4 与 5 之间 D5 与6 之间 3（2012杭州）已知 m=，则有（）A5m6 B4m5 C5m4 D6m5 4（2012 泰安）下列运算正确的是（）A2(5)5 B21()164 C632xxx D325()xx 5.（2012 南充）下列计算正确的是（）（A）x3+x3=x6（B）m2 m3=m6（C）3-2=3（D）147=72 6（2012 上海）在下列各式中，二次根式的有理化因式是（）A B CD 7（

10、2012资阳）下列计算或化简正确的是（）A a2+a3=a5 B C D 7/10 8（2012德州）下列运算正确的是（）A B（3）2=9 C 23=8 D 20=0 9（2012湘潭）下列函数中，自变量 x 的取值范围是 x3 的是（）A y=B y=C y=x3 D y=10（2012德阳）使代数式有意义的 x 的取值范围是（）A x0 B C x0 且 D 一切实数 11（2012广州）已知|a1|+=0，则 a+b=（）A 8 B 6 C6 D8 12（2012黔东南州）下列等式一定成立的是（）A B C D=9 13.（2012 湖北荆门）若与|xy3|互为相反数，则 x+y 的值

11、为（）A3 B9C12D27 14（2012湘潭）下列函数中，自变量 x 的取值范围是 x3 的是（）A y=B y=C y=x3 D y=15（2012聊城）函数 y=中自变量 x 的取值范围是（）Ax2 Bx2 Cx2 Dx2.8/10 16（2012德阳）使代数式有意义的 x 的取值范围是（）A x0 B C x0 且 D 一切实数 17（2012 攀枝花）已知实数 x，y 满足，则以 x，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A20 或 16 B 二、填空题 1.（2012 临沂）计算：1482=2.（2012聊城）函数 y=中自变量 x 的取值范围是（）3（2012杭州）已知（a）

12、0，若 b=2a，则 b 的取值范围是 4(2012丽水)写出一个比3 大的无理数是 5（2012 铜仁）当 x 时，二次根式1x有意义 6（2012梅州）使式子有意义的最小整数 m 是 7(2012连云港)写一个比大的整数是 2(答案不唯一)8（2012德州）（填“”、“”或“=”）9（2012德阳）有下列计算：（m2）3=m6，m6m2=m3，其中正确的运算 10（2012恩施州）2 的平方根是 11 （2012 福 州）若20n是 整 数，则 正 整 数n的 最 小 值 为_ 12（2012梅州）使式子有意义的最小整数 m 是 9/10 13（2012 张家界）已知，则 x+y=14（2012 江西）当 x=4 时，的值是 15（2012 临沂）计算：1482=16（2012 上海）方程的根是 三、解答题 1.(2012丽水)计算：sin60|3|2（2012 成都）计算：024cos458(3)(1)5(2012连云港)计算：()0(1)2012 6（2012 上海）7（2012德阳）计算：10/10 8.计算：(1)10231)7()2(|2|；(2)241221348