上海交通大学复变函数复习习题.pdf

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1、复变函数习题 一：选择题：1.132zi 的辐角为：（A）A(21)2 3,(0,1,2)karctgk B.(21)3,(0,1,2)karctgk C.22 3,(0,1,2)karctgk D.23,(0,1,2)karctgk 2.2211czzdzz,其中(:2)c z(B)A2 i B.4 i C.6 i D.0 3.21(1)zzz在1z 洛朗级数为（B）A.210112nnzz B.10112nnzz C.230112nnzz D.23011nnzz 4.1sin z在(0,1,)znn留数（A）A(1)n B.1 C.0 D.1 5.将上半z平面Im0z 共形映射成单位圆1w

2、 分式线性变换()wL z符合()0,L()0L ii为（B）A()ziL zzi B.()ziL zizi C.1()zL zizi D.()1ziL ziz 6.复数23(cos5sin5)(cos3sin3)ii化为指数形式：(A)A19 ie B.17 ie C.20 ie D.16 ie 7.已知()coscoshsinsinhf zxyixy，则/()fz(C)Acos z B.sin z C.cos z D.sin z 8.2()cxyixdz=。（积分路径 C 是连接0到1 i的直线段）A.13i B.13i C.12i D.12i 9.幂级数1nnnn z收敛半径(C)A2

3、B.1 C.0 D.12 10.函数221(4)zz z的奇点（B）A.0，2 B.0,2,C.2 D.11.(),()f zg z分别以za为m阶极点及n阶极点。()mn试问za为()()f zg z的(A)A.mn级零点 B.mn级极点 C.nm级零点 D.级极点 12.1sin z在(0,1,)znn的留数为（C）A1 B.0 C.(1)n D.1 13.22121ztzedziz=(A)A.sint B.cost C.tant D.2t 14.满足三对对应点(1,2,3)iizw i的线性变换(1,)(1,0,1,)ii zw为(A)A.(1)()13(1)i ziziz B.(1)(

4、)13(1)i ziziz C.(1)()13(1)i ziziz D.(1)()13(1)i ziziz 15.满足三对对应点(1,2,3)iizw i的线性变换1,1,)(,1,0,)izw 为（B）A1wz B.1wz C.2wz D.21wz 二：填空题：1.已知13zei，则z-ln2(2).(0,1,)3ikk 2.幂级数00,2nnnnnznzn收敛半径为-1，-2.3.求出1()1zf ze的奇点-(21),(0,1,)ki k.奇点类型为-一级极点.其中点类型为-非孤立奇点 4.已知11()ezf z，则Re()zs f z-1 5.变换iwz把半带形Re0,0Im1zz区域

5、-11Re0,Im022www 6.若 复 数z满 足(12)(12)30zzi zi z，2z的 取 值 范 围.52252z 7.设zxiy，函数2222()xyf zixyxy，当0,z/()fz.21z 8.(sin)zczez dz=22 a(其中 C 为圆周0.za)9.将函数225zzz在收敛域按1z得幂展开22201 1111(1)1(1)1(1)1(1)4441()2nnnzzzzzz 10.函数1sincoszz奇点.(0.1.),4kk,类型为.一级极点，非孤立奇点 11.函数1coszez奇点0,.,类型为.本性奇点 12.2220(1)(4)xdxxx=.6.13.2

6、222(0)()xdx axa=.2a 14.满足使1变成，点i二重不动点分式线性变换.(21)1()1izL zz 15.2wz在zi处伸缩率，旋转角分别为2,2 三：计算题：1.设zxiy，试求（1）2ize，（2）2ze，（3）1Re()ze 2.将下列函数展出z的 幂级数，并指出展式成立的范围（1）1azb（,a b为复数，且0b）；（2）0sinzzdzz 3.计算下列积分值（1）22(1)(1)Cdzzz，22:2()C xyxy；（2）20(1)cosdaa 4.求积分220(281)dzazz之值，其中积分路径是连接0到2 a的摆线：(sin),(1cos)xaya。5.求下列

7、函数()f z在其孤立奇点（包括无穷远点）处的留数（m是正整数）（1）1sinmzz （2）21mmzz 6.求下列方程（t是实参数）给出的曲线：（1）cossinzatibt （2）iztt 7.指出下列函数()f z解析性区域，并求出导数：（1）5(1)z （2）211z 8.计算积分11.z dz 积分路径（1）直线段（2）上半单位圆周（3）下半单位圆周 9.将下列函数展开z的幂级数，指出展开式成立范围：（1）20zze dz （2）21(1)z 10.下列函数在指定点去心领域展成洛朗级数，指出收敛域：（1）221,(1)ziz（2）12,0,zz ezz 11.求出下列函数奇点，并确定

8、类型；（1）1()1zf ze （2）3sin()zzf zz 12.计算积分（1）4:21C zzdzz（2）220sinxaxxb 13.计算22cos(1)(9)xdxxx 14.求出将上半平面Im0z 共形映射成圆wR的分式线性变换(),wL z是符合条件()0,L i 如果要求/()1,L i 变换是否存在？15.求将圆z共形映射成圆wR的分式线性变换，使()za a变成0.w 四：证明题：1.设函数()f z在区域 D 内解析，试证：2222/22()()4()f zfzxx 2.证明方程0(1)znee z在单位圆1z 内有n个根。3.函 数(),g(z)f z分 别za为m阶

9、极 点 及n阶 极 点。试 问za为()(),()()f zg zf z g z及()()f zg z的什么点？4.试证：复平面上三点,abi0，1abi 共直线。5.由积分2cdzz 之值证明：012cos054cosd，其中 C 取单位圆1.z 6.试证：四个相异点1234,z zzz共圆周或共直线的充要条件34141232:zzzzzzzz为实数。7.给定函数2()f zz，试证明函数()f z在点0z 可导，但不解析。8.设（1）()f z在1z 上连续；（2）对任意的(01)rr，()0zrf z，试证1()0zf z。9.证明：0z，当1n 时为1nzze 的可去奇点；当0n 时为

10、1nzze 的1n 阶极点；2zk i为1nzze 的一阶极点。10.证明：若a为()f z的单值性孤立奇点，则a为()f z的m阶极点的充要条件是lim()()(0,)mzzaf za。其中m是正整数。11.设幂级数0()nnnf za z所表示的和函数()f z在其收敛圆周只有唯一一阶级点0z.试证：01,nnaza因而01,nnaza0()zr收敛半径。12.证明：00tan()(0),tan()(0)ia di aia di a。13.证明：24420sinesin,(0,0)22maxmxmadxmaxaa 14.证明：1wzz把圆周zc变成椭圆周11()cos,()sin,(02)

11、ucvccc。15.以,p q为对称点的圆周的方程为0,zpkzq当1k 时，退化为以,p q为对称点的直线。五：解答题：1.（1）3 ie（2）cos(1)i 2.讨论下列级数的敛散性：（1）211(1)nni（2）1()1nabnn 3.考查函数1()sin1sinf zz的奇点类型。4.试问函数1()1f zz在单位圆z是否连续，是否一致连续？5.问线性变换1zwz将闭单位圆1z 映成w平面上的什么区域？6.满足满足下列关系的点z是什么直线：（1）1Rez （2）1arg1zz 7.解方程：（1）ln2iz，（2）cossin0zz 8.求积分(:1),zCedz Czz从而证明cos0

12、cos(sin)ed。9.求函数1()()za zb在0,zza zb的领域展开式（其中0ab）。10.函数21()(1)f zz z在1z 有一个二阶极点；这个函数又有下列洛朗展开式：23451111(1)(1)(1)(1)z zzzz+,于是说1z 又是()f z得到本质奇点，此说法对吗？11.设函数()f z不恒为零且以za为解析点或极点，而函数()z以za为本质奇点，则za是分别为()()(),()(),()zzf zzf zf z什么类型奇点？12 计算积分12()Cdiz，其中 C 为单位圆周1,.zC 13.求出1()sinmf zzz的孤立奇点（包括无穷远点）处的留数（m正整数）14.在线性变换wiz下，下列图形分别变成什么图形？（1）以123,1,1zi zz 为顶点的三角形（2）闭圆11z 15.试将线性变换341zwiz分解四个简单线性变换组合。