【新高考数学专用】专题20利用导数解决函数的极值点问题(原卷版+解析版)2022年难点解题方法突破.pdf

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1、 专题 20 利用导数解决函数的极值点问题 一、单选题 1已知函数 3sinf xxxax，则下列结论错误的是（）A fx是奇函数 B若0a，则 fx是增函数 C当3a 时，函数 fx恰有三个零点 D当3a 时，函数 fx恰有两个极值点 2如图是函数 yf x的导函数 yfx的图象，则函数 yf x的极小值点的个数为（）A0 B1 C2 D3 3已知函数 f x的导函数 1fxa xxa，若 f x在xa处取得极大值，则实数a的取值范围是（）A1,0 B2,C0,1 D,3 4若函数321()53f xxaxx无极值点则实数 a的取值范围是（）A(1,1)B 1,1 C(,1)(1,)D(,1

2、1,)5已知函数2()e2xf xaxax有两个极值点，则 a 的取值范围是（）A(,)e B,2e C2,e D2,2e 6“2a”是“函数 xf xxa e在0,上有极值”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7已知函数 1xaf xex，若同时满足条件：00,x，0 x为 f x的一个极大值点；8,x，0f x.则实数 a 的取值范围是（）A4,8 B8,C,08,D,04,8 8若函数 xxf xeeax（a为常数）有两个不同的极值点，则实数a取值范围是（）A1,B2,C2,D1,9已知函数()lnf xxax在2x 处取得极值，则a（）A1 B

3、2 C12 D-2 10设函数 2sincos4xf xxxx，则下列是函数 f x极小值点的是（）A43 B3 C3 D53 11函数 22xfxxx e的图象大致是()A B C D 12已函数3211()32f xxaxbx的两个极值点是sin和cos()R，则点(,)a b的轨迹是（）A椭圆弧 B圆弧 C双曲线弧 D抛物线弧 13若1x 是函数 xf xeax的极值点，则a的值是（）A1 B1 Ce De 14已知函数31()43f xxx，则 f x）的极大值点为（）A4x B4x C2x D2x 15若函数21()2ln2f xxxax有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（）A

4、1a B10a C1a D01a 二、多选题 16设函数2()lnf xxxx的导函数为()fx，则（）A1()0fe B1xe是()f x的极值点 C()f x存在零点 D()f x在1,e单调递增 17关于函数()sinxf xeax，,x，下列结论正确的有（）A当1a 时，()f x在0,(0)f处的切线方程为210 xy B当1a 时，()f x存在惟一极小值点0 x C对任意0a，()f x在,上均存在零点 D存在0a，()f x在,有且只有一个零点 18已知函数()sinf xxx，xR，则下列说法正确的有（）A()f x是偶函数 B()f x是周期函数 C在区间,2上，()f x

5、有且只有一个极值点 D过(0，0)作()yf x的切线，有且仅有 3条 19已知 2sinxf xxx.（）A f x的零点个数为 4 B f x的极值点个数为 3 Cx 轴为曲线 yf x的切线 D若 12()f xf x，则12xx 20设函数 lnxef xx，则下列说法正确的是（）A f x定义域是0,B0,1x时，f x图象位于x轴下方 C f x存在单调递增区间 D f x有且仅有一个极值点 三、解答题 21已知函数21()ln2f xaxaxx.(1)若()f x只有一个极值点，求a的取值范围.(2)若函数2()()(0)g xf xx存在两个极值点12,x x，记过点1122(

6、,(),(,()P x g xQ x g x的直线的斜率为k，证明：1211kxx.22已知函数 3213fxxaxbxab （1）若 f x是奇函数，且有三个零点，求b的取值范围；（2）若 f x在1x 处有极大值223，求当1,2x 时 f x的值域 23（1）当02x时，求证：sinxx；（2）若1xekx对于任意的0,x恒成立，求实数 k 的取值范围；（3）设 a0，求证；函数 1cosaxf xex在0,2上存在唯一的极大值点0 x，且 10af xe.24已知函数()ln1f xxax aR.（1）讨论函数 f x的单调性.（2）若 2112g xxxaf x，设1212,x xx

7、x是函数 g x的两个极值点，若32a，求证:12152ln28xg xg.25已知函数()4ln,0.mf xxxmx（1）讨论()f x的单调性；（2）若()f x有两个极值点12,x x，求122211 22()()6+f xf xxx xx的取值范围.26已知函数432()f xaxxbx(),a bR，g xf xfx是偶函数（1）求函数 g x的极值以及对应的极值点 （2）若函数43221()()(1)4h xf xxcxxcxc，且()h x在2,5上单调递增，求实数c的取值范围 27已知函数 3252fxaxxbx abR，其导函数为 fx，且 11116ff.（1）求 a 的

8、值；（2）设函数 f x有两个极值点1x，2x，求 b 的取值范围，并证明过两点 11P xfx，22Q xfx，的直线 m 恒过定点，且求出该定点坐标；（3）当1b 时，证明函数 231g xf xxx 在 R上只有一个零点.28设函数32()23(1)6f xxaxaxb，其中,a bR.（1）若曲线()yf x在(1,(1)f的切线方程为123yx，求 a，b的值；（2）若()f x在3x 处取得极值，求 a的值；（3）若()f x在(,0)上为增函数，求 a的取值范围.29已知函数21()ln2f xxax.其中a为常数.（1）若函数()f x在定义域内有且只有一个极值点，求实数a的取

9、值范围；（2）已知1x，2x是函数()f x的两个不同的零点，求证：122xxe.30已知函数 22ln 12sin,0f xaxxx a.（1）若1a，证明：当0,2x时，0f x；（2）若0 x 是 f x的极大值点，求正实数 a的取值范围.专题 20 利用导数解决函数的极值点问题 一、单选题 1已知函数 3sinf xxxax，则下列结论错误的是（）A fx是奇函数 B若0a，则 fx是增函数 C当3a 时，函数 fx恰有三个零点 D当3a 时，函数 fx恰有两个极值点【答案】C【分析】对 A,根据奇函数的定义判定即可.由条件可得 2cos3fxxxa，则 sin6fxxx，cos60f

10、xx,所以 sin6fxxx 在R上单调递增,且 00f,所以当0 x 时，0fx，当0 x 时，0fx，则 2cos3fxxx在0，上单调递减，在0，上单调递增.则 01fxfa,将a的值代入分别计算分析，可判断选项 B，C，D【详解】对 A,3sinf xxxax的定义域为R,且 3sinfxxxax 3sin()xxaxf x .故 A 正确.由条件可得 2cos3fxxxa，则 sin6fxxx，cos60fxx 所以 sin6fxxx 在R上单调递增,且 00f 所以当0 x 时，0fx，当0 x 时，0fx，则 2cos3fxxx在0，上单调递减，在0，上单调递增.则 01fxfa

11、 对 B,当0a 时，2cos30fxxx，所以 f x是增函数，故 B 正确.对 C,当3a 时，由上可知,014fxfa，所以 f x是增函数,故不可能有 3 个零点.故 C 错误.对 D,当3a 时，2cos33fxxx，由上可知在0，上单调递减，在0，上单调递增.则 min01 32fxf ，1cos10f ，1cos10f 所以存在121,0,0,1xx，使得 10fx，20fx成立 则在1,x上，0fx，在12,x x上，0fx，在2,x 上，0fx.所以函数 3sin3f xxxx在1,x单调递增，在12,x x的单调递减，在2,x 单调递增.所以函数 f x恰有两个极值点，故

12、D正确.故选：C【点睛】关键点睛：本题主要考查利用导数分析函数的单调性从而得出函数的零点和极值情况，解答本题的关键是对原函数的单调性分析，由条件可得 2cos3fxxxa，则 sin6fxxx，cos60fxx 所以 sin6fxxx 在R上单调递增,且 00f，所以当0 x 时，0fx，当0 x 时，0fx，则 2cos3fxxx在0，上单调递减，在0，上单调递增.则 01fxfa，经过多次求导分析出单调性，属于中档题.2如图是函数 yf x的导函数 yfx的图象，则函数 yf x的极小值点的个数为（）A0 B1 C2 D3【答案】B【分析】通过读图由 yfx取值符号得出函数 yf x的单调

13、区间，从而求出函数的极值点，得出答案【详解】由图象，设 fx与x轴的两个交点横坐标分别为a、b其中ab，知在(,)a，(,)b 上()0fx，所以此时函数()f x在(,)a，(,)b 上单调递增，在(,)a b上，()0fx，此时()f x在(,)a b上单调递减，所以xa时，函数取得极大值，xb时，函数取得极小值 则函数()yf x的极小值点的个数为 1 故选:B【点睛】本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查数形结合思想，属于基础题 3已知函数 f x的导函数 1fxa xxa，若 f x在xa处取得极大值，则实数a的取值范围是（）A1,0 B2,C0,1 D,3 【答案】A【分析】

14、分四种情况讨论，分别判断xa两边导函数值的符号，判断()f x在xa处是否取得极大值，即可筛选出a的取值范围.【详解】由 f x在xa处取得极大值可知，当xa时，()0fx；当xa时，()0fx，其等价于存在,bxb a，使得(1)()0a xxa，且存在,cxa c，使得(1)()0a xxa；若0a 时，(1)()0a xxa的解集为(,1)(,)a，不满足即不存在(,)xa c，使得(1)()0a xxa，故0a 时()f x在xa不是极大值；若10a 时，(1)()0a xxa的解集为(1,)a，(1)()0a xxa的解集为(,1)(,)a，满足，故10a 时，()f x在xa处取得

15、极大值；若1a ，(1)()a xxa恒小于等于 0，不满足，故1a 时，()f x在xa取不到极大值；若1a 时，(1)()0a xxa的解集为(,1)a，不满足，故1a 时，()f x在xa处取不到极大值.综上，a的取值范围是1,0.故选：A.【点睛】求函数 f x极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数 fx；(3)解方程 0,fx求出函数定义域内的所有根；(4)检查 fx在 0fx的根0 x左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 f x在0 x处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 f x在0 x处取极小值.4若函数321()53f xxaxx无极值点则实数 a的

16、取值范围是（）A(1,1)B 1,1 C(,1)(1,)D(,11,)【答案】B【分析】求出函数的导数，问题转化为()0f x 最多 1 个实数根，根据二次函数的性质求出 a的范围即可.【详解】321()53f xxaxx,2()21fxxax，由函数321()53f xxaxx无极值点知，()0fx至多 1 个实数根，2(2)40a ，解得11a，实数 a 的取值范围是 1,1，故选：B【点睛】本题主要考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，属于中档题.5已知函数2()e2xf xaxax有两个极值点，则 a 的取值范围是（）A(,)e B,2e C2,e D2,2e【答案】D【分析】

17、根据函数有两个极值点得到关于a的方程有两个解，采用分离常数的方法分离出12a，并采用构造新函数的方法确定出新函数的取值情况，由此分析出a的取值情况.【详解】因为2()e2xf xaxax有两个极值点，所以 0fx有两个不同实数根，所以220 xeaxa有两个不同实数根，所以21xea x有两个不同实数根，显然0a，所以112xxae有两个不同实数根，记 1xxg xe，2xxgxe，当,2x 时 0gx，当2,x时 0g x，所以 g x在,2上单调递增，在2,上单调递减，所以 2max12g xge，又因为,1x 时，0g x；当0,2x时，210,g xe；当2,x时，210,g xe，所

18、以当112xxae有两个不同实数根时2110,2ae，所以22ae，所以22ea，故选：D.【点睛】本题考查根据函数极值点的个数求解参数范围，其中涉及到分离参数方法的使用，对学生的理解与计算能力要求较高，难度较难.6“2a”是“函数 xf xxa e在0,上有极值”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】求出函数 xf xxa e的极值点，利用该极值点在0,内求得实数a取值范围，利用集合的包含关系可得出结论.【详解】xf xxa e，则 1xfxxae，令 0fx，可得1xa.当1xa时，0fx；当1xa时，0fx.所以，函数 yf x在

19、1xa处取得极小值.若函数 yf x在0,上有极值，则10a，1a.因此，“2a”是“函数 xf xxa e在0,上有极值”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用导数求函数的极值点，考查计算能力与推理能力，属于中等题.7已知函数 1xaf xex，若同时满足条件：00,x，0 x为 f x的一个极大值点；8,x，0f x.则实数 a 的取值范围是（）A4,8 B8,C,08,D,04,8【答案】A【分析】条件说明()fx在(0,)上存在零点，极大值点，利用方程的根可得a的范围，然后求出条件不等式恒成立a的范围，求交集可得a的范围【详解】定义域是|0

20、x x，222()()1xxaaexaxafxexxx，()f x在(0,)存在极大值点，则20 xaxa有两个不等实根，240aa，0a 或4a，设20 xaxa的两个实根为1212,()x x xx，1xx或2xx时，20 xaxa，12xxx时，20 xaxA，当0a，1212xxax xa，则120 xx，但2xx时，()0fx，2x不可能是极大值点；当4a 时，由1212xxax xa知1 0 x，20 x，10 xx或2xx时，()0fx，12xxx时，()0fx 即()f x在1(0,)x和2(,)x 上递增，在12(,)x x上递减，1x是极大值点，满足题意 所以4a ()10

21、 xaf xex，则10ax，8x，ax，8a 综上48a 故选：A【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，及不等式恒成立问题，求解不等式恒成立问题的方法是问题的转化，转化为求函数的最值 8若函数 xxf xeeax（a为常数）有两个不同的极值点，则实数a取值范围是（）A1,B2,C2,D1,【答案】C【分析】首先求导得到 xxfxeea，将题意转化为函数 xxg xee与ya的图象有两个不同的交点，再利用导数求出函数 g x的单调区间和最值，即可得到答案.【详解】xxfxeea，函数 xxf xeeax（a为常数）有两个不同的极值点，等价于函数 xxg xee与ya的图象有两个不同的交点，xx

22、gxee，因为 g x为增函数，且 00g，则,0 x，0g x，g x为减函数，0,x，0gx，g x为增函数，所以 min02g xg，故2a.故选：C【点睛】本题主要考查根据函数的极值点求参数，属于中档题.9已知函数()lnf xxax在2x 处取得极值，则a（）A1 B2 C12 D-2【答案】C【分析】利用 20f列方程，解方程求得a的值.【详解】1fxax，依题意 20f，即110,22aa.此时 112022xfxxxx，所以 f x在区间0,2上递增，在区间2,上递减，所以 f x在2x 处取得极大值，符合题意.所以12a.故选：C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点

23、、极值，属于基础题.10设函数 2sincos4xf xxxx，则下列是函数 f x极小值点的是（）A43 B3 C3 D53【答案】D【分析】将函数进行求导，由于在53x的左侧，导函数值小于0，右侧导函数值大于0，得到53x是函数 f x极小值点.【详解】11sincossincos22fxxxxxxxx，当35,23x时，1cos2x，0fx；当5,23x时，1cos2x，0fx，f x在35,23上单调递减，在5,23上单调递增，53x是 f x的极小值点.故选：D.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，关键是能够明确极值点的定义，根据导函数的正负确定原函数的单调性，进而得到极值点.1

24、1函数 22xfxxx e的图象大致是()A B C D【答案】B【分析】根据解析式求得导函数，并求得极值点，由极值点个数可排除 AD；再由0 x 时，f x恒为正，排除 C即可得解.【详解】函数 22xfxxx e，则 22xfxxe，令 0fx，解得 f x的两个极值点为2，故排除 AD，且当0 x 时，f x恒为正，排除 C，即只有 B 选项符合要求，故选：B.【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数图像，导函数与函数图像的关系应用，属于基础题.12已函数3211()32f xxaxbx的两个极值点是sin和cos()R，则点(,)a b的轨迹是（）A椭圆弧 B圆弧 C双曲线弧 D抛物线弧

25、【答案】D【分析】根据极值点的定义把,a b用表示后，消去得关于,a b的方程，由方程确定曲线【详解】由题意()2fxxaxb，所以sin,cos是方程20 xaxb的两根，所以sincossincosab且240ab，所以212sincos12ab ，sincos2sin2,24a，所以点(,)a b在曲线211(22)22yxx上，还要满足240 xy，轨迹为抛物线弧 故选:D【点睛】本题考查值点的定义，考查由方程研究曲线，掌握极值与导数的关系是解题基础在由方程研究曲线时，注意方程中变量的取值范围 13若1x 是函数 xf xeax的极值点，则a的值是（）A1 B1 Ce De【答案】C【

26、分析】根据题意得到 10 fea，即可得到答案.【详解】由 xfxea，则 10 fea，则ae.故选：C【点睛】本题主要考查函数的极值点，属于简单题.14已知函数31()43f xxx，则 f x）的极大值点为（）A4x B4x C2x D2x 【答案】C【分析】求出函数31()43f xxx的导函数，进而求出导函数大于 0 以及小于 0 的解，根据导函数在各段内的符号判断函数在不同区间内的单调性，从而得到函数的极值点.【详解】解：由31()43f xxx，得：24fxx.由 240fxx，得：2x ，或2x.由 240fxx，得：22x.所以函数 f x的增区间为,2,2,.函数 f x的

27、减区间为2,2.所以，2x 是函数的极大值点，2x 是函数的极小值点.故选：C.【点睛】本题考查求具体函数的极值点，解题的关键是区分极值点和极值的定义，属于基础题.15若函数21()2ln2f xxxax有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（）A1a B10a C1a D01a【答案】D【分析】计算()fx，然后等价于2()2g xxxa在（0，+）由 2个不同的实数根，然后计算44024402aax 即可.【详解】()f x的定义域是（0，+），22()2axxafxxxx，若函数()f x有两个不同的极值点，则2()2g xxxa在（0，+）由 2个不同的实数根，故144024402a

28、ax，解得：01a，故选：D.【点睛】本题考查根据函数极值点个数求参，考查计算能力以及思维转变能力，属基础题.二、多选题 16设函数2()lnf xxxx的导函数为()fx，则（）A1()0fe B1xe是()f x的极值点 C()f x存在零点 D()f x在1,e单调递增【答案】AD【分析】求出定义域，再求导，计算即可判断 A，由导函数22()ln2ln1(ln1)0fxxxx，即可判断选项B、D，由()0f x，即可判断选项 C，从而可得结论【详解】由题可知2()lnf xxxx的定义域为(0,)，对于 A，2()ln2ln1fxxx，则2111()ln2ln11210feee ，故 A

29、 正确；对于 B、D，22()ln2ln1(ln1)0fxxxx，所以函数()f x单调递增，故无极值点，故 B错误，D 正确；对于 C，22()ln(ln1)0f xxxxxx，故函数()f x不存在零点，故 C错误 故选：AD 17关于函数()sinxf xeax，,x，下列结论正确的有（）A当1a 时，()f x在0,(0)f处的切线方程为210 xy B当1a 时，()f x存在惟一极小值点0 x C对任意0a，()f x在,上均存在零点 D存在0a，()f x在,有且只有一个零点【答案】ABD【分析】逐一验证，选项 A，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项 B，通过导数求出

30、函数极值并判断极值范围，选项 C、D，通过构造函数，将零点问题转化判断函数的交点问题.【详解】对于 A：当1a 时，()sinxf xex，,x，所以(0)1f，故切点为0,1，()cosxfxex，所以切线斜(0)2kf，故直线方程为120yx，即切线方程为：210 xy，故选项 A正确；对于 B：当1a 时，()sinxf xex，,x，()cosxfxex，()sin0,xfxexx 恒成立，所以()fx单调递增，又202f，3344332cos0442fee，所以存在03,42x，使得 00fx，即00cos0 xex，则在0,x上，()0fx，()f x单调递减，在0,x 上，()0

31、fx，()f x单调递增，所以存在惟一极小值点0 x，故选项 B 正确；对于 C、D：()sinxf xeax,x，令()sin0 xf xeax得：1sinxxae，则令sin()xxF xe，,x，2sin()cossin4()xxxxxF xee，令()0F x，得：4xk，1k ，kZ，由函数2sin()4yx图象性质知：52,244xkk时，2sin()04x，sin()xxF xe单调递减，52,2244xkk时，2sin()04x，sin()xxF xe单调递增，所以当524xk，1k ，kZ时，()F x取得极小值，即当35,44x 时，()F x取得极小值，又354435si

32、nsin44ee，即3544FF,又因为在3,4，sin()xxF xe单调递减，所以3432()42F xFe，所以24xk，0k，kZ时，()F x取得极大值，即当944x、，时，()F x取得极大值.又9449sinsin44ee，即 4242F xFe，当,x 时，34422()22eF xe，所以当34122ea，即342ae时，()f x在,上无零点，所以选项 C 不正确；当34122ea 时，即42ae 时，1 ya与sinxxye的图象只有一个交点，即存在0a，()f x在,有且只有一个零点，故选项 D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查函数的极值、切线、零点的问题，属于较难题

33、.18已知函数()sinf xxx，xR，则下列说法正确的有（）A()f x是偶函数 B()f x是周期函数 C在区间,2上，()f x有且只有一个极值点 D过(0，0)作()yf x的切线，有且仅有 3条【答案】ACD【分析】利用函数的奇偶性的定义易知函数()sinf xxx为偶函数，所以A正确；根据周期性的定义可判断B错误；根据导数判断其单调性，易知()f x有且只有一个极值点，C 正确；根据导数的几何意义求曲线过某点的切线方程可知 D 正确【详解】对于 A，因为函数的定义域为R，显然 f xfx，所以函数()f x是偶函数，正确；对于 B，若存在非零常数T，使得f x Tf x，令2x，

34、则sin222TT，即cos22TT，令0 x，则sin0TT，因为0T，所以sin0T，即cos1T 或cos1T 若cos1T，则22T，解得0T，舍去；若cos1T ，则22T，解得T，所以若存在非零常数T，使得f x Tf x，则T 即 f xf x，令32x，则322ff，而22f，3322f，不符合题意 故不存在非零常数T，使得f x Tf x，B错误；对于 C，()sinf xxx，xR，()sincosfxxxx，()2cossinfxxxx，当,2x，()2cossin0fxxxx，故()fx单减，又102f，()0f，故()0fx在,2上有且仅有一个解，()f x有且只有一

35、个极值点，故 C 正确；对于 D，设切点横坐标为t，则切线方程为sin(sincos)()ytttttxt，将(0，0)代入，得2cos0tt，解得0t 或2tk，kZ 若0t，则切线方程为0y；若2tk，则yx，D正确 故选：ACD【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，周期性的定义的应用，利用导数的几何意义求曲线过某点的切线方程，以及利用导数研究函数的极值点，属于中档题 19已知 2sinxf xxx.（）A f x的零点个数为 4 B f x的极值点个数为 3 Cx 轴为曲线 yf x的切线 D若 12()f xf x，则12xx【答案】BC【分析】首先根据 0fx得到21cosxx，分别

36、画出21xy 和cosyx的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案.【详解】21cosxfxx，令 0fx，得到21cosxx.分别画出21xy 和cosyx的图像，如图所示：由图知：21cosxx有三个解，即 0fx有三个解，分别为0，2，.所以,0 x，21cos0 xfxx，f x为增函数，0,2x，21cos0 xfxx，f x为减函数，,2x，21cos0 xfxx，f x为增函数，,x，21cos0 xfxx，f x为减函数.所以当0 x 时，f x取得极大值为0，当2x时，f x取得极小值为14，当x时，f x取得极大值为0，所以函数 f x有两个零点，三个

37、极值点，A错误，B正确.因为函数 f x的极大值为0，所以x轴为曲线 yf x的切线，故 C 正确.因为 f x在,0为增函数，0,2为减函数，所以存在1x，2x满足1202xx，且 12f xf x，显然122xx，故 D错误.故选：BC【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.20设函数 lnxef xx，则下列说法正确的是（）A f x定义域是0,B0,1x时，f x图象位于x轴下方 C f x存在单调递增区间 D f x有且仅有一个极值点【答案】BCD【分析】求出函数定义域判断 A，根据函数值的正负判断 B，求出导函数，利用导函数确定原函数

38、的增区间，判断 C，由导函数研究函数的单调性得极值，判断 D【详解】由题意，函数 lnxef xx满足0ln0 xx，解得0 x 且1x，所以函数 lnxef xx的定义域为 0,11,，所以 A 不正确；由 lnxef xx，当0,1x时，ln0 x，0f x，所以 f x在0,1上的图象都在轴的下方，所以 B 正确；21ln()(ln)xexxfxx，所以 0fx 在定义域上有解，所以函数 f x存在单调递增区间，所以 C 是正确的；由 1lng xxx，则 211(0)gxxxx，所以 0gx，函数 g x单调增，则函数()0fx 只有一个根0 x，使得0()0fx，当0(0,)xx时，

39、()0fx，函数单调递减，当0,xx时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以 D 正确；故选：BCD.【点睛】本题考查求函数的定义域，考查用导数研究函数的单调性与极值，掌握极值的定义，单调性与导数的关系是解题关键 三、解答题 21已知函数21()ln2f xaxaxx.(1)若()f x只有一个极值点，求a的取值范围.(2)若函数2()()(0)g xf xx存在两个极值点12,x x，记过点1122(,(),(,()P x g xQ x g x的直线的斜率为k，证明：1211kxx.【答案】（1）0a；（2）证明见解析.【分析】（1）先求导，令xn，则0n.令22()2nanna，解不

40、等式组0,(0)0,a即得解；（2）只需证21121222112ln()2xxxaxxxxx，设12(01)xttx，函数21()2lnm tattt，证明121()0()2m txx即得证.【详解】(1)解：222()222aaxaxxafxxxx，(0,)x 令xn，则0n.令22()2nanna，要使函数()f x只有一个极值点，则需满足0,(0)0,a，即0a；(2)证明：因为2221()()2ln2g xf xaxaxx，所以22222()1aaxxag xaxxx，因为()g x存在两个极值点，所以30,1 80,aa即102a 不妨假设120 xx，则121xxa 要证1211k

41、xx，即要证121212()()11g xg xxxxx，只需证121212121221()()()()xxxxxxg xg xx xxx，只需证221112121212222111()()22()222xxxxxxa xxa lnxxa lnxxxx，即证21121222112ln()2xxxaxxxxx 设12(01)xttx，函数21()2lnm tattt，22221()ta tm tt 因为102a，故4440a，所以22210ta t，即()0m t，故()m t在(0,1)上单调递减，则()(1)0m tm 又因为121()02xx，所以121()0()2m txx，即21121

42、222112ln()2xxxaxxxxx，从而1211kxx得证.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过分析得到只需证明21121222112ln()2xxxaxxxxx.对于比较复杂的问题，我们可以通过分析把问题转化，再证明，提高解题效率.22已知函数 3213fxxaxbxab （1）若 f x是奇函数，且有三个零点，求b的取值范围；（2）若 f x在1x 处有极大值223，求当1,2x 时 f x的值域【答案】（1）0,；（2）5022,33.【分析】（1）先由函数奇偶性，得到0a，得出 313fxxbx，对其求导，分别讨论0b 和0b 两种情况，根据导数的方法判定函数单调性，结合零点

43、个数，即可求出结果；（2）先对函数求导，根据极大值求出2,5.ab，根据函数单调性，即可求出值域.【详解】（1）f x是定义域为R的奇函数，所以0a，且 00f 313fxxbx，2fxxb 当0b 时，20fxxb，此时 f x在R上单调递减，f x在R上只有一个零点，不合题意 当0b 时，20fxxb，解得bxb，f x在,b，,b 上单调递减，在,bb上单调递增，f x在R上有三个零点，0fb 且0fb，即 3103fbbb b，即0b b，而0b b 恒成立，0b 所以实数b的取值范围为0,（2）22fxxaxb，由已知可得 11 20fab ，且 122133fabab ，解得2,3

44、,ab 或2,5.ab 当2a，3b 时，3212363fxxxx，243fxxx，令 0fx，即2430 xx，解得13x，令 0fx，即2430 xx，解得1x 或3x，即函数 f x在,1上单调递减，在1,3上单调递增，在3,上单调递减；所以1x 是 f x的极小值点，与题意不符 当2a ，5b 时，32125103fxxxx，245fxxx 令 0fx，即2450 xx，解得51x；令 0fx，即2450 xx，解得5x 或1x，即函数 f x在,5 上单调递减，在5,1上单调递增，在1,上单调递减；所以1x 是 f x的极大值点，符合题意，故2a ，5b 又1,2x，f x在1,1上

45、单调递增，在1,2上单调递减 又 5013f ，2213f，3223f 所以 f x在1,2上的值域为5022,33【点睛】思路点睛：导数的方法求函数零点的一般步骤：先对函数求导，由导数的方法求出函数的单调性区间，根据函数极值的定义，求出函数的的极值，再根据函数函数的零点个数，确定极值的取值情况，进而可得出结果.23（1）当02x时，求证：sinxx；（2）若1xekx对于任意的0,x恒成立，求实数 k 的取值范围；（3）设 a0，求证；函数 1cosaxf xex在0,2上存在唯一的极大值点0 x，且 10af xe.【答案】（1）证明见解析；（2）,1；（3）证明见解析【分析】（1）构造函

46、数 sin02G xxxx，转化为函数的最值问题求解；（2）设 1xg xekx，则 xgxek，分1k，1k 讨论，通过研究 g x的最小值求解；（3）求得 1cossinaxfxeaxx，令 0fx得到tan xa，通正切函数的性质可得函数单调性，进而可得极值点 将证明 10af xe转化为证明1221aaea，令1ta，则0t，即证2101tett，即证21100ttet，构造函数利用导数求其最值即可【详解】（1）证明：设 sin02G xxxx，则 1 cos0G xx，从而 G x在0,2为增函数所以 00G xG，故当02x时，sinxx成立；（2）解：设 1xg xekx，则 x

47、gxek，考虑到当0 x 时，1xe，（）当1k 时，0g x，则 g x在0,上为增函数，从而 00g xg，此时适合题意（）当1k 时，lnxkgxee，则当0lnxk时，0g x，从而 g x在0,lnk上是减函数，所以当0lnxk时，00g xg，这与“当0 x 时，0g x 恒成立”矛盾故此时不适合题意 由（）（）得所求实数k的取值范围为,1（3）证明：111cossincossinaxaxaxfxaexexeaxx，令 0fx，得cossin0axx，当0,2x时，可化为tan xa，由正切函数的性质及0a，得在0,2内必存在唯一的实数0 x，使得0tan xa，所以当00,xx时

48、，0fx，则 f x在00,x上为增函数：当0,2xx时，0fx，则 f x在0,2x上为减函数，所以0 xx是 f x的极大值点且 f x的极大值为 0100cosaxf xex 下面证明：10af xe 当02x时，由（1）知sinxx，由（2）易证1xex 所以0100sinaxaxaxe，从而 02100002cossincos1axaf xexaxxa 下面证明：1221aaea令1ta，则0t，即证2101tett，即证21100ttet 令 2110tttet，则 210ttte，从而 t在,0上为增函数，所以当0t，00t，即21100ttet 故 10af xe成立【点睛】利

49、用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.24已知函数()ln1f xxax aR.（1）讨论函数 f x的单调性.（2）若 2112g xxxaf x，设1212,x xxx是函数 g x的两个极值点，若32a，求证:12152ln28xg xg.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先求得 f x的定义域和导函数 fx，对a分成0a 和0a 两种情况进行分类讨论，由此求

50、得 f x的单调区间.（2）求得 g x的表达式，求得 g x，利用根与系数关系得到12,x x的关系式以及1x的取值范围，将 12g xg x表示为只含1x的形式，利用构造函数法求得 12g xg x的最小值，从而证得不等式成立.【详解】(1)由题意得，函数 f x的定义域为(1,)，11fxax.当0a 时，101fxax，函数 f x在(1,)上单调递增.当0a 时，令 0fx，得11xa .若11,1xa ，则 0fx，此时函数 f x单调递增；若11,xa ，则 0fx，此时函数 f x单调递减.综上，当0a 时，函数 f x在(1,)上单调递增；当0a 时，函数 f x在11,1a