选修45不等式选讲全册教案.pdf

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1、第 1 页 第一讲 不等式与绝对值不等式 课题：第 01 课时 不等式的根本性质 教学目标：1理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的根底。2掌握不等式的根本性质，并能加以证明；会用不等式的根本性质判断不等关系与用比拟法，反证法证明简单的不等式。教学重点：应用不等式的根本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。教学难点：灵活应用不等式的根本性质。教学过程：一、引入：不等关系是自然界中存在着的根本数学关系。列子汤问中脍炙人口的“两小儿辩日：“远者小而近者大、“近者热而远者凉，就从侧面说明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面

2、为什么做成圆的，而不做成方的呢、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。本专题将介绍一些重要的不等式含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等与它们的证明，数学归纳法与它的简单应用等。人及人的年龄大小、高矮胖瘦，物及物的形状构造，事及事成因及结果的不同等等都表现出不等的关系，这说明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等那么是局部的、相对的。还可

3、从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位与作用。生活中为什么糖水加糖甜更甜呢转化为数学问题：a 克糖水中含有 b 克糖(ab0)，假设再加 m(m0)克糖，那么糖水更甜了，为什么 分析：起初的糖水浓度为ab，参加 m 克糖 后的糖水浓度为mamb，只要证mambab即可。怎么证呢 第 2 页 二、不等式的根本性质：1、实数的运算性质及大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：得出结论：要比拟两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的根本性质：、如果 ab，那么 ba，如果 bb。(对称性)、如果 ab，且 bc，那么 ac，即

4、 ab，bcac。、如果 ab，那么 a+cb+c，即 aba+cb+c。推论：如果 ab，且 cd，那么 a+cb+d即 ab，cd a+cb+d、如果 ab，且 c0，那么 acbc；如果 ab，且 c0，那么acb 0，那么nnba (nN，且 n1)、如果 ab 0，那么nnba (nN，且 n1)。三、典型例题：例 1、比拟)7)(3(xx与)6)(4(xx的大小。分析：通过考察它们的差及 0 的大小关系，得出这两个多项式的大小关系。例 2、dcba,，求证：dbca 例 3、ab0，cd0，求证：cbda。四、课堂练习：1：3x，比拟xx113及662x的大小。2：ab0，cd0,

5、求证：dbacab。五、课后作业：课本9P第 1、2、3、4 题 六、教学后记：课题：第 02 课时 根本不等式 教学目标：1.学会推导并掌握均值不等式定理；2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。教学重点：均值不等式定理的证明及应用。教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。教学过程：第 3 页 一、知识学习：定理 1：如果a、bR，那么a 2b 2 2ab当且仅当ab时取“号 证明：a 2b 22abab2 当ab时，ab20，当ab时，ab20 所以，ab20 即a 2b 2 2ab 由上面的结论，我们又可得到 定理 2 根本不等式：如果a，b是正数，那么 a b2 a

6、b 当且仅当ab时取“号 证明：a 2b 22ab a b2ab，即a b2 ab 显然，当且仅当ab时，a b2 ab 说明：1我们称a b2 为a，b的算术平均数，称ab 为a，b的几何平均数，因而，此定理又可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2a 2b 22ab与a b2 ab 成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数.3“当且仅当的含义是充要条件.4几何意义.二、例题讲解：例 1 x，y都是正数，求证：1如果积xy是定值P，那么当xy时，与xy有最小值2P；2如果与xy是定值S，那么当xy时，积xy有最大值14 S2 证明：因为x，y都是

7、正数，所以 xy2 xy 1积xy为定值P时，有xy2 P xy2P 上式当xy时，取“号，因此，当xy时，与xy有最小值 2P.2 与xy为定值S时，有xy S2 xy 14 S 2 上式当x=y时取“号，因此，当x=y时，积xy有最大值14 S 2.第 4 页 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：函数式中各项必须都是正数;)函数式中含变数的各项的与或积必须是常数；等号成立条件必须存在。例 2：a、b、c、d都是正数，求证：abcd acbd4abcd 分析：此题要求学生注意及均值不等式定理的“形上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识.证明

8、：由a、b、c、d都是正数，得 abcd2 abcd 0，acbd2 acbd 0，abcdacbd4 abcd 即abcd acbd4abcd 例 3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为 3m，如果池底每 1m2的造价为 150 元，池壁每 1m2的造价为 120 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得 l 240000 720 x1600 x 240000 720 2x1600 x

9、 240000720240297600 当x1600 x，即x40 时，l有最小值 297600 因此，当水池的底面是边长为 40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是 297600 元.评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.三、课堂练习：课本 P91练习 1，2，3，4.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，第 5 页 但是在应用时，应注意定理的适用条件。五、课后作业 课本 P10习题 1.1

10、 第 5，6，7 题 六、教学后记：课题：第 03 课时 三个正数的算术-几何平均不等式 教学目标：1能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题；2了解根本不等式的推广形式。教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式 教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题 教学过程：一、知识学习：定理 3：如果Rcba,，那么33abccba。当且仅当cba时，等号成立。推广：naaan21nnaaa21。当且仅当naaa21时，等号成立。语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。思 考：类 比 根 本 不 等 式，是 否 存 在

11、：如 果 Rcba,，那 么abccba3333当且仅当cba时，等号成立呢？试证明。二、例题分析：例 1：求函数)0(322xxxy的最小值。解一：3322243212321232xxxxxxxxy3min43y 解二：xxxxxy623223222当xx322即2123x时 上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练 1 bbaabaRba)(1,求且若的最小值。由 此 题，你 觉 得 在 利 用 不 等 式 解 决 这 类 题 目 时 关 键 是 要_ 例 2：如以下图，把一块边长是 a 的正方形铁片的各角切去大小一样的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切

12、去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练 2 ：长方体的全面积为定值，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值 第 6 页 由例题，我们应该更牢记 一 _ 二 _ 三 _，三者缺一不可。另外，由不等号的方向也可以知道：积定_，与定_.三、稳固练习)0(1232xxxy的最小值是()A.6 B.66 222)1(164xxy的最小值是_ 3函数)20)(2(24xxxy的最大值是 A.0 B.1 C.2716 D.2732 4.(2021 浙江自选)正数zyx,满足1zyx，求2444zyx的最小值。52021，江苏，21设cba,为正实数，求证：3211

13、1333abccba 四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。五、课后作业 P10习题 1.1 第 11，12，13 题 六、教学后记：课题：第 04 课时 绝对值三角不等式 教学目标：1：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法，会进展简 单的应用。2：充分运用观察、类比、猜测、分析证明的数学思维方法，体会转化与数形结合的数学思想，并能运用绝对值三角不等式公式进展推理与证明。教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解与运用。教学难点

14、：绝对值三角不等式的发现与推导、取等条件。教学过程：一、复习引入：关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。本节课探讨不等式证明这类问题。第 7 页 aab1请同学们回忆一下绝对值的意义。几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。2证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的根本性质之外，经常还要用到关于绝对值的与、差、积、商的性质：1aa，当且仅当0a时等号成立，.aa当且仅当0a时等号成立。22aa，3baba，4)0(bbaba 那么?baba?baba 二、讲解新课：结论：abab当且仅当0ab时，等号成立.,a

15、 b是实数，试证明：abab当且仅当0ab时，等号成立.方法一：证明:10.当ab0 时,20.当aba，对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。四、课堂练习：解以下不等式：1、.1122x 2、01314 x 3、423xx.4、xx21.5、1422 xx 6、212xx.7、42 xx 8、.631xx 9、21 xx 10、.24 xx 五、课后作业：课本 20 第 6、7、8、9 题。六、教学后记：第二讲 证明不等式的根本方法 课题：第 01 课时 不等式的证明方法之一：比拟法 教学目标：能熟练地运用作差、作商比拟法证明不等式。教学重、难点：能熟练地运用作差、作商比拟法证明不等式。教

16、学过程：一、新课学习：要比拟两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：二、典型例题：例 1、设ba,都是正数，且ba，求证：2233abbaba。例 2、假设实数1x，求证：.)1()1(32242xxxx 证明：采用差值比拟法：讨论：假设题设中去掉1x这一限制条件，要求证的结论如何变换？第 11 页 例 3、,Rba求证.abbababa 此题可以尝试使用差值比拟与商值比拟两种方法进展。证明：1)差值比拟法：注意到要证的不等式关于ba,对称，不妨设.0 ba 0)(0bababbabbabababababa，从而原不等式得证。2商值比拟法：设,0 ba,0,1baba.

17、1)(baabbabababa故原不等式得证。例 4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果nm，问甲、乙两人谁先到达指定地点。分析：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为21,tt。要答复题目中的问题，只要比拟21,tt的大小就可以了。解：设从出发地点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为21,tt，根据题意有Sntmt2211，222tnSmS，可得nmSt21，mnnmSt2)(2，从而mnnmSnmStt2)(221mnnm

18、nmmnS)(2)(42mnnmnmS)(2)(2，其中nmS,都是正数，且nm。于是021tt，即21tt。从而知甲比乙首先到达指定地点。讨论：如果nm，甲、乙两人谁先到达指定地点？三、课堂练习：1比拟下面各题中两个代数式值的大小：12x及12 xx；212 xx及2)1(x.2.1a 求证：1;122aa 2.1122 aa 3假设0cba，求证.)(3cbacbaabccba 四、课时小结：比拟法是证明不等式的一种最根本、最重要的方法。用比拟法证明不等式的步骤是：作差或作商、变形、判断符号。“变形是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成假设干个平方与等是“变形的常用方法。五、课后作

19、业：课本 23 页第 1、2、3、4 题。六、教学后记：第 12 页 课题：第 02 课时 不等式的证明方法之二：综合法及分析法 教学目标：1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种根本方法：分析法与综合法。2、了解分析法与综合法的思考过程。教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程。教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法。教学过程：一、引入：综合法与分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的根本方法。由 于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于比照研究两种思路方法的特点。所谓综合法，即从条件出发，

20、根据不等式的性质或的不等式，逐步推导出要证 的不等式。而分析法，那么是由结果开场，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在中。前一种是“由因及果，后一种是“执果索因。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法。二、典型例题：例 1、0,cba，且不全相等。求证：分析：用综合法。例 2、设0,0ba，求证.2233abbaba 证法一 分析法 要证2233abbaba成立.只需证)()(22baabbababa成立，又因0ba，只需证abbaba22成立，又需证0222baba成立，即需证0)(2ba0)(2b

21、a显然成立.由此命题得证。证法二 综合法 注意到0,0ba，即0ba，由上式即得)()(22baabbababa，从而2233abbaba成立。第 13 页 议一议：根据上面的例证，你能指出综合法与分析法的主要特点吗？例 3、a，b，m 都是正数，并且.ba 求证：.bambma 1 证法一 要证1，只需证)()(mbamab 2 要证2，只需证ambm 3 要证3，只需证ab 4 4成立，所以1成立。上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。证法二 因为 mab,是正数，所以ambm 两边同时加上ab得)()(mbamab两边同时除以正数)(mbb得1。例 4、证明：通过水管放水，当流

22、速一样时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。分析：当水的流速一样时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为L，那么周长为L的圆的半径为2L，截面积为22L；周长为L的正方形为4L，截面积为24 L。所以此题只需证明2242LL。证明：设截面的周长为L，那么截面是圆的水管的截面面积为22L，截面是正方形的水管的截面面积为24 L。只需证明：2242LL。为了证明上式成立，只需证明164222LL。两边同乘以正数24L，得：411。因此，只需证明4。上式显然成立，所以2242LL。这就证明了：通过水管放水，当流速一样时，如果水管横截面的周长相

23、等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。例 5、证明：cabcabcba222。证法一：因为 abba222 2 bccb222 3 caac222 4 所 以 三 式 相 加 得)(2)(2222cabcabcba 5 两边同时除以 2 即得1。证法二：第 14 页 所以1成立。例 6、证明：.)()(22222bdacdcba 1 证明 10)()(22222bdacdcba 2 0)2(222222222222dbabcdcadbdacbca 3 022222abcddacb 4 0)(2 adbc 5 5显然成立。因此1成立。例 7、cba,都是正数，求证.3333abc

24、cba并指出等号在什么时候成立？分析：此题可以考虑利用因式分解公式 )(3222333cabcabcbacbaabccba着手。证明：abccba3333 由于cba,都是正数，所以.0cba而0)()()(222accbba，可知03333abccba 即abccba3333等号在cba时成立 探究：如果将不等式abccba3333中的333,cba分别用cba,来代替，并在两边同除以 3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：27)1)(1)(1(accbba，其中cba,是互不相等的正数，且1abc.三、课堂小结：解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上

25、或减去一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以或除以一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都与原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法与分析法证明不等式时常常用到的技巧。四、课堂练习：1、,0 x求证：.21xx 2、,0,0yxyx求证.411yxyx 3、,0 ba求证.baba 4、.0,0ba求证：1.4)(11baba2.8)()(333322babababa 5、dcba,都是正数。求证：第 15 页 1;2cdabdcba 2.44abcddcba 6、cba,都是互不相等的正数，求证.9)(abccabcabcba 五、课后作业：课本 25 页第 1、2、3、4 题。六、

26、教学后记：课题：第 03 课时 不等式的证明方法之三：反证法 教学目标：通过实例，体会反证法的含义、过程及方法，了解反证法的根本步骤，会用反证法证明简单的命题。教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题。教学难点：会用反证法证明简单的命题。教学过程:一、引入：前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地到达目的。其中，反证法是间

27、接证明的一种根本方法。反证法在于说明：假设肯定命题的条件而否认其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“假设 p 那么 q，而是先肯定命题的条件 p，并否认命题的结论 q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。第 16 页 利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件与结论；第二步 作出及所证不等式相反的假定；第三步 从条件与假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开场所作的假定不正确，于是原证不等式成立。二、典型例题：例 1、0 ba，求证：nnba Nn且1n 例 1、设233b

28、a，求证.2ba 证明：假设2ba，那么有ba 2，从而 因为22)1(62b，所以233ba，这及题设条件233ba矛盾，所以，原不等式2ba成立。例 2、设二次函数qpxxxf2)(，求证：)3(,)2(,)1(fff中至少有一个不小于21.证明：假设)3(,)2(,)1(fff都小于21，那么 .2)3()2(2)1(fff 1 另一方面，由绝对值不等式的性质，有 2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(qpqpqpffffff 2 1、2两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个第 17 页 满足某

29、个不等式时，通常采用反证法进展。议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果及公理、定义、定理或条件、已证不等式，以及及临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？例 3、设 0 a,b,c 41,(1 b)c 41,(1 c)a 41,那么三式相乘：ab (1 a)b(1 b)c(1 c)a 641 又0 a,b,c 0，ab+bc+ca 0，abc 0，求证：a,b,c 0 证：设a 0,bc 0,那么b+c=a 0 ab+bc+ca=a(b+c)+bc 0 矛盾，必有a 0 同理可证：b 0,c 0 三、课堂练习：1、

30、利用反证法证明：假设 a，b，m 都是正数，并且ba，那么 第 18 页.bambma 2、设 0 a,b,c 0，且x+y 2，那么xy1与yx1中至少有一个小于 2。提示：反设xy12，yx12 x,y 0，可得x+y 2 及x+y 2 矛盾。四、课时小结：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件与结论；第二步 作出及所证不等式相反的假定；第三步 从条件与假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开场所作的假定不正确，于是原证不等式成立。五、课后作业：课本 29 页第 1、4 题。六、教学后记：课题：第 04 课时

31、 不等式的证明方法之四：放缩法 教学目标：1感受在什么情况下，需要用放缩法证明不等式。2探索用放缩法证明不等式的理论依据与技巧。教学重、难点：1掌握证明不等式的两种放缩技巧。第 19 页 2体会用放缩法证明不等式时放大或缩小的“度。教学过程：一、引入：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大或缩小，使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。下面我们通过一些简单例证体会这种方法的根本思想。二、典型例题：例 1、假设n是自然数，求证.213121112222n 证明：.,4,3,2

32、,111)1(112nkkkkkk 注意：实际上，我们在证明213121112222n的过程中，已经得到一个更强的结论nn1213121112222，这恰恰在一定程度上表达了放缩法的根本思想。例 2、求证：.332113211211111n 证明：由,212221132111kkk是大于 2 的自然数 得n32113211211111 例3、假设a,b,c,dR+，求证：21caddbdccacbbdbaa 证：记m=caddbdccacbbdbaa a,b,c,dR+2cdddccbabbaam 1 m 2 时，求证：1)1(log)1(lognnnn 证：n 2 0)1(log,0)1(l

33、ognnnn n 2 时,1)1(log)1(lognnnn 三、课堂练习：1、设n为大于 1 的自然数，求证.2121312111nnnn 2、设n为自然数，求证.!1)122()52)(32)(12(nnnnnn 四、课时小结：常用的两种放缩技巧：对于分子分母均取正值的分式，如果分子不变，分母缩小分母仍为正数，那么分式的值放大；如果分子不变，分母放大，那么分式的值缩小。五、课后作业：课本 29 页第 2、3 题。第 20 页 第三讲 柯西不等式及排序不等式 课题：第 1 课时 二维形式的柯西不等式一 教学目标：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形

34、式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1.提 问：二 元 均 值 不 等 式 有 哪 几 种 形 式？答 案：(0,0)2ababab及几种变式.2.练习：a、b、c、d为实数，求证22222()()()abcdacbd 证法：比拟法22222()()()abcdacbd=.=2()0adbc 二、讲授新课：1.柯西不等式：提出定理 1：假设a、b、c、d为实数，那么22222()()()abcdacbd.即二维形式的柯西不等式 什么时候取等号？讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：综合法222222222222()()ab

35、cda ca db cb d 222()()()acbdadbcacbd.要点：展开配方 证法三：向量法设向量(,)ma b，(,)nc d，那么22|mab，22|ncd.m nacbd，且|cos,m nm nm n，那么|m nm n.证法四：函数法设22222()()2()f xabxacbd xcd，那么 22()()()f xaxcbxd0 恒成立.22222 2()4()()acbdabcd 0，即.讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？变式：2222|abcdacbd 或 2222|abcdacbd 或2222abcdacbd.提出定理 2：设,是两个向量，那么|.即柯西不等式

36、的向量形式由向量法提出 讨论：上面时候等号成立？是零向量，或者,共线 练习：a、b、c、d为实数，求证222222()()abcdacbd.第 21 页 证法：分析法平方 应用柯西不等式 讨论：其几何意义？构造三角形 2.教学三角不等式：出示定理 3：设1122,x y xyR，那么22222211221212()()xyxyxxyy.分析其几何意义 如何利用柯西不等式证明 变式：假设112233,x y xyxyR，那么结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？三、应用举例：例 1：a,b 为实数，求证2332244)()(bababa 说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思

37、路，又可以简化运算。所以，经典不等式是数学研究的有力工具。例题 2：求函数xxy21015的最大值。分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两局部的与，假设能化为 ac+bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值。2222|dcbabdac 解：函数的定义域为【1，5】，且 y0 当且仅当xx5512时，等号成立，即27127x时，函数取最大值36 课堂练习：1.证明:(x2+y4)(a4+b2)(a2x+by2)2 xxy6453的最大值.例 3.设 a,b 是正实数，a+b=1，求证411ba 分析：注意到)11)(11ba

38、baba，有了)11)(baba就可以用柯西不等式了。四、稳固练习：1.练习：试写出三维形式的柯西不等式与三角不等式 2.x+2y=1,求 x2+y2的最小值.五、课堂小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式两点、三点 六、布置作业：P37 页，4，5，7，8，9 七、教学后记：课题：第 02 课时二维形式的柯西不等式二 第 22 页 教学目标：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法发现具体问题及经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系.教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.教学难点：如何变形，套用不等式的形式.教学过

39、程：一、复习引入：1.提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？答案：22222()()()abcdacbd；22222211221212()()xyxyxxyy 2.讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3.如何利用二维柯西不等式求函数12yxx 的最大值 要点：利用变式2222|acbdabcd.二、讲授新课：1.最大小值：出例如 1：求函数31102yxx 的最大值？分析：如何变形？构造柯西不等式的形式 板演 变式：31102yxx 推广：,(,)ya bxcdefxa b c d e fR 练习：321xy，求22xy的最小值.解答要点：凑配法2222

40、222111()(32)(32)131313xyxyxy.讨论：其它方法 数形结合法 2.不等式的证明：出例如 2：假设,x yR，2xy，求证：112xy.分析：如何变形后利用柯西不等式？注意比照 构造 要点：222211111111()()()()()()22xyxyxyxyxy 讨论：其它证法利用根本不等式 练习：a、bR，求证：11()()4abab.三、应用举例：例 1a1,a2,an都是实数，求证：22221221)(1nnaaaaaan 分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。第 23 页 例 2a，b，c，d 是不全相等的实数，证明：a2+b2+c2+

41、d2 ab+bc+cd+da 分析：上式两边都是由 a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进展证明。分析：由的 132 222zyxzyx以及形式，联系柯西不等式，可以通过构造12+22+32作为一个因式而解决问题。四、稳固练习：1.练习：教材 P37 8、9 题 练习：1设 x，y，z 为正实数，且 x+y+z=1，求zyx941的最小值。2a+b+c+d=1，求 a2+b2+c2+d2的最小值。3a，b，c 为正实数，且 a+2b+3c=9，求cba23的最大值。选做：4a，b，c 为正实数，且 a2+2b2+3c2=6，求 a+b+c 的

42、最小值。08 广一模 5a，b，c 为正实数，且 a+2b+c=1，求cba111的最小值。08 东莞二模 6x+y+z=52，那么 m=x2+2y2+z2的最小值是_.(08 惠州调研)五、布置作业：教材 P37 1、6、7 题 ,x y a bR，且1abxy，那么xy的最小值.要点：()()abxyxyxy.其它证法 假设,x y zR，且1xyz，求222xyz的最小值.要点：利用三维柯西不等式 变式：假设,x y zR，且1xyz，求xyz的最大值.六、课堂小结：比拟柯西不等式的形式，将目标式进展变形，注意凑配、构造等技巧.七、教学后记：课题：第 03 课时 一般形式的柯西不等式 教

43、学目标：1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2.通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 教学重点：一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。第 24 页 教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。教学过程：一、复习引入：定理 1：柯西不等式的代数形式设dcba,均为实数，那么 22222)()(bdacdcba，其中等号当且仅当bcad 时成立。定理 2：柯西不等式的向量形式 设，为平面上的两个向量，那么|，其中等号当且仅当两个向量方向一样或相反即两个向量共线时成立。定理 3：三角形不等式设332211,yxyxyx为任意实数，那么：23

44、1231232232221221)()()()()()(yyxxyyxxyyxx 二、讲授新课：类似的，从空间向量的几何背景业能得到|.|.将空间向量的坐标代入，可得到成立.1,2,3)时，等号(b使得a，或存在一个实数k，0 即共线时，当且仅当)babab(a)bb)(baa(a2332211232221232221iiik这就是三维形式的柯西不等式.比照二维形式与三维形式的柯西不等式，你能猜测出一般形式的柯西不等式吗？定理 4：一般形式的柯西不等式：设n为大于 1 的自然数，iiba,i1，2，n为任意实数，那么：22222212121 122()()()nnnnaaabbba ba ba

45、 b 即 211212)(niiiniiniibaba，其中等号当且仅当nnababab2211时成立当0ia时，约定0ib，i1，2，n。证明：构造二次函数：2222211)()()()(nnbxabxabxaxf 即构造了一个二次函数：niiniiiniibxbaxaxf121212)(2)()(由于对任意实数x，0)(xf恒成立，那么其0，即：0)(4)(4121221niiniiniiibaba，即：)()(121221niiniiniiibaba，等号当且仅当02211nnbxabxabxa，即等号当且仅当nnababab2211时成立当0ia时，约定0ib，i1，2，n。如果ian

46、i 1全为 0，结论显然成立。三、应用举例：例 3 a1,a2,an都是实数，求证：22221221)(1nnaaaaaan 第 25 页 分析：用 n 乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。例 4a，b，c，d 是不全相等的实数，证明：a2+b2+c2+d2 ab+bc+cd+da 分析：上式两边都是由 a,b,c,d 这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进展证明。分析：由的 132 222zyxzyx以及形式，联系柯西不等式，可以通过构造12+22+32作为一个因式而解决问题。四、稳固练习：练习：1设 x，y，z 为正实数，且 x+y

47、+z=1，求zyx941的最小值。2a+b+c+d=1，求 a2+b2+c2+d2的最小值。3a，b，c 为正实数，且 a+2b+3c=9，求cba23的最大值。选做：4a，b，c 为正实数，且 a2+2b2+3c2=6，求 a+b+c 的最小值。08 广一模 5a，b，c 为正实数，且 a+2b+c=1，求cba111的最小值。08 东莞二模 6x+y+z=52，那么 m=x2+2y2+z2的最小值是_.(08 惠州调研)五、课堂小结：重点掌握三维柯西不等式的运用。六、布置作业：P41 习题 3.2 2，3，4，5 七、教学后 课题：第 04 课时 排序不等式 教学目标：1.了解排序不等式的

48、根本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题;2.体会运用经典不等式的一般思想方法 教学重点：应用排序不等式证明不等式 教学难点：排序不等式的证明思路 教学过程 一、复习准备：1.提问：前面所学习的一些经典不等式？柯西不等式、三角不等式 2.举例：说说两类经典不等式的应用实例.第 26 页 二、讲授新课：1.教学排序不等式：看书：P41P44.如 如图，设AOB，自点O沿OA边依次取n个点12,nA AA，OB边依次取取n个点12,nB BB，在OA边取某个点iA及OB边 某个点jB连接，得到ijAOB，这样一一搭配，一共可得到 n个三角形。显然，不同的搭配方法，得到的ijAOB 不同，问：

49、OA边上的点及OB边上的点如何搭配，才能使n个三角形的 面积与最大或最小？设,(,1,2,)iijjOAa OBb i jn，由条件，得 因为ijAOB的面积是 ，而 是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为 代数问题：1212,nnc ccb bb设是数组的任何一个排列 那么1 12 2n nSaca ca c 何时取最大或最小值？我们把1 122nnSa ca ca c叫做数组12(,)na aa及12(,)nb bb的乱序与.其中,1121321nnnnSaba ba ba b称为 序与.21 12 23 3n nSaba ba ba b称为 序与.这样的三个与大小关系如何 设有两个有序

50、实数组:12aa na;12bb nb，12,c c nc是12,b b，,nb的任一排列,那么有 1 122a ba b +nna b(同序与)1 122a ca c+nna c(乱序与)121nna ba b+1na b(反序与)当且仅当12aa =na或12bb =nb时，反序与等于同序与.要点：理解其思想，记住其形式 三、应用举例：例 1：设12,na aa是n个互不一样的正整数，求证：分析：如何构造有序排列？如何运用套用排序不等式？证明过程：设12,nb bb是12,na aa的一个排列，且12nbbb，那么121,2,nbbbn.又222111123n，由排序不等式，得 小结：分析