不等式选讲(原卷版+解析版).pdf

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1、 1 不等式选讲（原卷版）1(2021 年高考全国乙卷理科)已知函数 3f xxax(1)当1a 时，求不等式 6f x 的解集;(2)若 f xa，求 a的取值范围 2(2020 年高考数学课标卷理科)已知函数()|31|2|1|f xxx(1)画出()yf x的图像；(2)求不等式()(1)f xf x的解集 3(2020 年高考数学课标卷理科)已知函数2()|21|f xxaxa(1)当2a 时，求不等式()4f x的解集；(2)若()4f x，求 a的取值范围 4(2020 年高考数学课标卷理科)设 a，b，cR，a+b+c=0，abc=1(1)证明：ab+bc+ca的解集 17(20

2、15 高考数学新课标 2 理科)(本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 设,a b c d均为正数，且abcd，证明：()若abcd，则abcd；()abcd是abcd的充要条件 18(2015 高考数学新课标 1 理科)(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 12f xxx 1f x 2f xxxm m330,0,2abab33()()4ab ab2ab 4 已知函数()12,0f xxxa a ()当1a 时，求不等式()1f x 的解集；()若()f x的图像与x轴围成的三角形面积大于 6，求a的取值范围 19(2014 高考数学课标 2 理科)(本小题满分 10)选修

3、 4-5：不等式选讲 设函数 f x=1(0)xxa aa()证明：f x2；()若 35f，求a的取值范围 20(2014 高考数学课标 1 理科)选修 45:不等式选讲 若,且 (1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并说明理由 21(2013 高考数学新课标 2 理科)设abc、均为正数，且1abc，证明：()13abbcac；()2221abcbca 22(2013 高考数学新课标 1 理科)选修 45：不等式选讲 已知函数()f x=|21|2|xxa,()g x=3x ()当a=2 时，求不等式()f x()g x的解集；()设a-1,且当x2a，12)时，()f x()g x,求

4、a的取值范围 23(2012 高考数学新课标理科)选修45：不等式选讲 已知函数()2f xxax(1)当3a 时，求不等式()3f x 的解集；(2)若()4f xx的解集包含1,2，求a的取值范围 0,0ab11abab33ab,a b236ab 5 不等式选讲 1(2021 年高考全国乙卷理科)已知函数 3f xxax(1)当1a 时，求不等式 6f x 的解集;(2)若 f xa，求 a 的取值范围【答案】（1）,42,（2）3,2 解析：（1）当1a 时，13f xxx，13xx表示数轴上的点到1和3的距离之和，则 6f x 表示数轴上的点到1和3的距离之和不小于6，故4x 或2x，

5、所以 6f x 的解集为,42,（2）依题意 f xa，即3axax 恒成立，333xaxxaax，故3aa，所以3aa 或3aa，解得32a 所以a的取值范围是3,2【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法 2(2020 年高考数学课标卷理科)已知函数()|31|2|1|f xxx(1)画出()yf x的图像；6 (2)求不等式()(1)f xf x的解集【答案】（1）详解解析；（2）7,6 【解析】（1）因为 3,1151,1313,3xxf xxxxx ，作出图象，如图所示：（2）将函数 fx的图象向左平移1个单位，可得函数1f x的图象，如图所示：由3511xx ，解得76

6、x 所以不等式()(1)f xf x的解集为7,6 【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题 7 3(2020 年高考数学课标卷理科)已知函数2()|21|f xxaxa(1)当2a 时，求不等式()4f x的解集；(2)若()4f x，求 a 的取值范围 【答案】（1）32x x或112x；（2）,13,解析：（1）当2a 时，43f xxx 当3x 时，437 24f xxxx ，解得：32x；当34x时，43 14f xxx ，无解；当4x 时，43274f xxxx ，解得：112x；综上所述：4f x 的解集为32x x或11

7、2x（2）22222121211f xxaxaxaxaaaa（当且仅当221axa 时取等号），214a，解得：1a 或3a，a的取值范围为,13,【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型 4(2020 年高考数学课标卷理科)设 a，b，cR，a+b+c=0，abc=1(1)证明：ab+bc+ca0；(2)用 maxa，b，c表示 a，b，c 中的最大值，证明：maxa，b，c34【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 解析：（1）2222()2220abcabcabacbc，22212abbccaabc 8 1,abca b c 均不为0，则22

8、20abc，222120abbccaabc；（2）不妨设max,a b ca，由0,1abcabc 可知，0,0,0abc，1,abc abc ，222322224bcbcbcbcbcaaabcbcbc 当且仅当bc时，取等号，34a，即3max,4a b c【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题 5(2019 年高考数学课标卷理科)设,x y zR，且1xyz(1)求222(1)(1)(1)xyz的最小值；(2)若2221(2)(1)()3xyza成立，证明：3a或1a【答案】【答案】(1)43；(2)见详解【官方解析】（1）由于2(1)(1)(1)xyz 2

9、22(1)(1)(1)2(1)(1)(1)(1)(1)(1)xyzxyyzzx 2223(1)(1)(1)xyz 故由已知得232(1)(1)143()xyz，当且仅当511,333xyz 时等号成立 所以232(1)(1)(1)xyz的最小值为43 （2）由于2(2)(1)()xyza 222(2)(1)()2(2)(1)(1)()()(2)xyzaxyyzaza x 2223(2)(1)()xyza 故由已知得2222(2)(2)(1)()3axyza，当且仅当 9 4122,333aaaxyz时等号成立 因此222(2)(1)()xyza的最小值为2(2)3a 由题设知2(2)133a，

10、解得3a或1a【解法 2】柯西不等式法 (1)22222222(1)(1)(1)(111)(1)(1)(1)(1)4xyzxyzxyz，故2224(1)(1)(1)3xyz，当且仅当511,333xyz 时等号成立 所以222(1)(1)(1)xyz的最小值为43(2)2221(2)(1)()3xyza，所以222222(2)(1)()(111)1xyza当且仅当4122,333aaaxyz时等号成立 22222222(2)(1)()(111)(21)(2)xyzaxyzaa 成立 所以2(2)1a成立，所以有3a或1a【点评】本题两问思路一样，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，属于中档

11、题型 6(2019 年高考数学课标全国卷理科)已知函数()2f xxa xxxa 1当1a 时，求不等式()0f x 的解集；2当,1x 时，()0f x，求a的取值范围【答案】1,1；21,【官方解析】1当1a 时，()=|1|+|2|(1)f xxxxx.当1x 时，2()2(1)0f xx；当1x时，()0f x.所以，不等式()0f x 的解集为(,1).2因为()=0f a，所以1a.当1a，(,1)x 时，()=()+(2)()=2()(1)0f xax xx xaax x 所以，a的取值范围是1,).【分析】1根据1a，将原不等式化为1210 xxxx，分别讨论1x，12x，1

12、0 2x三种情况，即可求出结果；2分别讨论1a和1a 两种情况，即可得出结果.【解析】1当1a 时，原不等式可化为1210 xxxx；当1x 时，原不等式可化，即210 x，显然成立，此时解集为,1；当12x 时，原不等式可化为1210 xxxx，解得1x，此时解集为空集；当2x时，原不等式可化为1210 xxxx，即210 x，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为,1；2当1a时，因为,1x，所以由()0f x 可得20ax xxxa，即10 xax，显然恒成立；所以1a满足题意；当1a 时，2,1()21,xaaxf xxaxxa，因1ax 时，()0f x 显然不能成立，所

13、以1a 不满足题意；综上，a的取值范围是1,.【点评】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.7(2019 年高考数学课标全国卷理科)已知a，b，c为正数，且满足1abc 证明：(1)222111abcabc；(2)333()()()24abbcca【答案】解：（1）因为2222222,2,2abab bcbc caac，又1abc，故有 222111abbccaabcabbccaabcabc所以222111abcabc.（2）因为,a b c为正数且1abc，故有 3333333()()()3()()()abbccaabbcac 1 1 3(+)(+)(+)a

14、 b b c a c3(2)(2)(2)24abbcac 所以333()()()24abbcca 8(2018 年高考数学课标卷（理）)【选修 45：不等式选讲】(10 分)设函数 211f xxx (1)画出 yf x的图象；(2)当0,x时，f xaxb，求ab的最小值 【答案】【官方解析】（1）13,212,123,1xxf xxxxx yf x的图像如图所示 1 2 （2）由（1）知，yf x的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a 且2b 时，f xaxb在0,成立，因此ab的最小值为5【民间解析】（1）211f xxx 3,112,12132x

15、xxxxx，可作出函数 f x的图象如下图 （2）依题意可知 f xaxb在1,上恒成立，在0,1上也恒成立 当1x 时，3f xxaxb恒成立即30axb在1,上恒成立 所以30a，且30ab，此时3a，3ab 1 3 当01x时，2f xxaxb即120axb 恒成立 结合3a，可知20b即2b 综上可知32ab，所以当3a，2b 时，ab取得最小值5 9(2018 年高考数学课标卷（理）)选修 45：不等式选讲(10 分)设函数()5|2|f xxax(1)当1a 时，求不等式()0f x 的解集；(2)若()1f x，求a的取值范围【答案】解析：（1）当1a 时，24,1,()2,12

16、,26,2.xxf xxxx 可得()0f x的解集为|23 xx（2）()1f x 等价于|2|4xax 而|2|2|xaxa，且当2x 时等号成立，故()1f x 等价于|2|4a 由|2|4a 可得6a或2a，所以a的取值范围是,62,10(2018 年高考数学课标卷（理）)选修 45：不等式选讲(10 分)已知()|1|1|f xxax(1)当1a 时，求不等式()1f x 的解集；(2)若(0,1)x时不等式()f xx成立，求a的取值范围【答案】解析：（1）当1a 时，()|1|1|f xxx，即2,1,()2,11,2,1.xf xxxx 故不等式()1f x 的解集为1|2x

17、x （2）当(0,1)x时|1|1|xaxx成立等价于当(0,1)x时|1|1ax 成立 若0a，则当(0,1)x时|1|1ax；若0a，|1|1ax 的解集为20 xa，所以21a，故02a 综上，a的取值范围为(0,2 11(2017 年高考数学新课标卷理科)选修 45:不等式选讲已知函数,24f xxax 1 4 (1)当时,求不等式的解集;(2)若不等式的解集包含,求的取值范围 2017 年高考数学新课标卷理科【答案】(1);(2)【分析】(1)将代入,不等式等价于,对按,讨论,得出最值的解集;(2)当时,若的解集包含,等价于当时,则在的最小值必为与之一,所以且,得,所以的 取 值 范

18、 围 为 【解 析】(1)当时,不 等 式等 价 于 当时,式化为,无解;当时,式化为,从而;当时,式化为,从而 所以不等式的解集为(2)当时,所以的解集包含,等价于当时,又在的最小值必为与之一,所以,得 所以的取值范围为【考点】绝对值不等式的解法,恒成立问题【点评】零点分段法是解答绝对值不等式问题的常用方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图像解题 12(2017 年高考数学课标卷理科)选修 45：不等式选讲(10 分)已知函数(1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围【答案】();()【解析】（1）因为 11g xxx 1a f xg x f xg x1,1a117

19、12xx 1,11a()()f xg x2|1|1|40 xxxx x1x 11x 1x 1,1x()2g x()()f xg x 1,11,1x 2f x f x1,1 1f 1f 12f 12f11a a1,11a f xg x21140 xxxx 1x 2340 xx11x 220 xx11x 1x 240 xx11712x f xg x11712xx 1,1x 2g x f xg x1,11,1x 2f x f x1,1 1f 1f 1212ff11a a1,1 12f xxx 1f x 2f xxxm m1x x 5-，4 3,11221,123,2xf xxxxxx 1 5 所以不

20、等式等价于或或 由无解；由；由 综上可得不等式的解集为（2）解法一：先求不等式的解集为空集时的取值范围 不等式的解集为空集等价于不等式恒成立 记，则 当时，当时，当时，所以 所以不等式的解集为空集时，所以不等式的解集非空时，的取值范围为 解法二：原式等价于存在，使成立，即 设 由（1）知 当时，其开口向下，对称轴 1f x 131x 1221 1xx 231x 131x x1222xx 12x 231x 2x 1f x 1,2f xxxm m 2f xxxm 2mf xxx 2F xf xxx2223,131,123,2xxxxxxxxx maxmF x 1x 2211131524F xxxx

21、F 12x 223535312424F xxxxF 2x 2211332124F xxxxF max3524F xF 2f xxxm 54m 2f xxxm m5,4xR2()f xxxm2max()f xxxm2()()g xf xxx2223,1()31,123,2xxxg xxxxxxx 1x 2()3g xxx 112x 1 6 所以 当时，其开口向下，对称轴为 所以 当时，其开口向下，对称轴为 所以 综上 所以的取值范围为【考点】绝对值不等式的解法【点评】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论

22、的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想 13(2017 年高考数学课标卷理科)选修 4-5：不等式选讲(10 分)已知，证明：(1)；(2)【答案】【命题意图】不等式证明，柯西不等式【基本解法】（1）解法一：由柯西不等式得：解法二：解法三：又，所以 当时，等号成立 11 1 35g xg 12x 231g xxx 32x 399512424g xg 2x 23g xxx 12x 24231g xg max54g xm5,4330,0,2abab33()()4ab ab2ab55222222332()()()()()()()4ab ababa ab bab 556

23、6553325533()()()2ab abababa bababa ba b3326633332()22()4aba ba bab 2555533553342ababababababa ba b0,0ab255332220aba ba bab abab 1 7 所以，即（2）解法一：由及得 所以 解法二：（反证法）假设，则，两边同时立方得：，即，因为，所以，即，矛盾，所以假设不成立，即 解法三：因为，所以：又，所以:。所以，即【考点】基本不等式；配方法【点评】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步

24、的逻辑推理最后转化为需证问题若不等式恒等变形后若与二次函数有关，可用配方法 14(2016 高考数学课标卷理科)选修 45:不等式选讲 已知函数()2f xxaa.5540abab55()()4ab ab332ab2()4abab2222()()()()3abababababab2233()()()4()4abababab2ab2ab2ab3323(2)8 126abbbb3328 126abbb332ab26 1260bb26(1)0b2ab332ab3333322333843344abababaa babbab222333ababababab 0,0ab230abab38ab2ab 1 8

25、 ()当2a 时,求不等式()6f x 的解集;()设函数()21g xx,当Rx时,()()3f xg x,求a的取值范围.【答案】()13xx;()2,.【解析】()当2a 时,()222f xx.解不等式2226x,得13x .因此,()6f x 的解集为13xx.()当Rx时,()()21 221 21f xg xxaaxxaxaaa 当12x 时等号成立.所以当Rx时,()()3f xg x等价于13aa.当1a时,等价于13aa,无解.当1a 时,等价于13aa,解得2a 所以的取值范围是2,.15(2016 高考数学课标卷理科)(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲 已知

26、函数 1122f xxx，M为不等式 2f x 的解集(I)求M；(II)证明：当,a bM时，1abab 【答案】（1）|11Mxx；（2）见解析【官方解答】（1）12,2111,2212,.2xxf xxxx 当12x 时，由 2f x 得22x，解得1x ；当1122x时，2f x 恒成立；当12x 时，由 2f x，得22x，解得1x 1 9 所以 2f x 的解集|11Mxx （2）由（1）知，当abM，时，11a，11b，从而 22222222111 10abababa bab 因此1abab【民间解答】当12x 时，11222fxxxx，若112x ；当1122x时，111222

27、fxxx 恒成立；当12x 时，2f xx，若 2f x，112x 的解集【答案】(I)见解析 (II)11353，【官方解答】(I)4133212342xxf xxxxx ，yf x如图所示：2 0 (II)由 f x得表达式及图像，当 1f x 时，得1x 或3x 当 1f x 时，得13x 或5x 故 1f x 的解集为13xx；1f x1 化为一元一次不等式组来解；（）将()f x化为分段函数，求出()f x与x轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a的不等式，即可解出a的取值范围 解析：（）当 a=1 时，不等式f（x）1 化为|x+1|-2|x-1|1，等价

28、于11221xxx 或111221xxx 或11 221xxx，解得223x，所以不等式f（x）1 的解集为2|23xx 2 2 （）由题设可得，12,1()312,112,xa xf xxaxaxa xa ，所以函数()f x的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3aA，(21,0)Ba，(,+1)C a a，所以 ABC 的面积为22(1)3a 由题设得22(1)3a6，解得2a 所以a的取值范围为（2，+）考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法 19(2014 高考数学课标 2 理科)(本小题满分 10)选修 4-5：不等式选讲 设函数 f x=1(0)xx

29、a aa()证明：f x2；()若 35f，求a的取值范围【答案】解析：（）11112xxaxaxxaxaaaaa，仅当1a 时等号成立，所以 f x2（）3f=1133335aaaa 当03a时，3f=165aa，解得152a 当3a 时，3f=15aa，解得5212a 综上所述，a的取值范围为15 521(,)22 考点：（1）三角不等式的运用（2）分类讨论的思想 难度：B 备注：高频考点 20(2014 高考数学课标 1 理科)选修 45:不等式选讲 2 3 若,且 (1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并说明理由【答 案】解 析:(1)由,得,且 当时 等 号 成 立,故,且 当时

30、等 号 成 立,的 最 小 值 为 (2)由,得,又由(1)知,二者矛盾,所以不存在,使得成立 考点:(1)证明不等式的基本方法;(2)反证法的应用 难度:B 21(2013 高考数学新课标 2 理科)设abc、均为正数，且1abc，证明：()13abbcac；()2221abcbca【答案】证明：(1)由2222222,2,2abab bcbc caac得 222abcabbcac.由题设得2()1abc，即2222221abcabbcca.所以3()1abbcac，即13abbcac.(2)因为2222,2,2abcbacbacbca，故222()2()abcabcabcbca，即222a

31、bcabcbca.所以2221abcbca.考点：（1）7.1.1 不等式的性质；（2）7.1.3 不等式性质的应用；（3）7.3.1 利用基本不等式证明简单不等式 难度：C 备注：高频考点 22(2013 高考数学新课标 1 理科)选修 45：不等式选讲 已知函数()f x=|21|2|xxa,()g x=3x 0,0ab11abab33ab,a b236ab112ababab2ab2ab333334 2aba b2ab33ab4 26232 6abab32ab2ab,a b236ab 2 4 ()当a=2 时，求不等式()f x()g x的解集；()设a-1,且当x2a，12)时，()f

32、x()g x,求a的取值范围【答案】（1）|02xx （2）（-1，43 解析：当a=-2时，不等式()f x()g x化为|21|22|30 xxx，设函数y=|21|22|3xxx，y=15,212,1236,1xxxxxx，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当(0,2)x时，y0，原不等式解集是|02xx （）当x2a，12)时，()f x=1a，不等式()f x()g x化为13ax，2xa对x2a，12)都成立，故2a2a，即a43，a的取值范围为（-1，43 考点：（1）1231 含绝对值不等式的解法；（2）1233 含绝对值的恒成立问题 难度：备注：高频考点 23(2012 高考数学新课标理科)选修45：不等式选讲 已知函数()2f xxax(1)当3a 时，求不等式()3f x 的解集；(2)若()4f xx的解集包含1,2，求a的取值范围【答案】（）x|x1 或x8 （）3,0 解析：（1）当时，或或 3a ()3323f xxx2323xxx23323xxx3323xxx 2 5 或 （2）原命题在上恒成立 在上恒成立 在上恒成立 考点：（）1231 含绝对值不等式的解法；(2)1233 含绝对值的恒成立问题 难度：备注：高频考点 1x4x()4f xx1,224xaxx 1,222xax 1,230a