五年级数学下册各单元知识点总结.pdf

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1、.人教版五年级数学下册知识点 班级：第一单元 观察物体 1、由几个大小一样的小正方体摆成的立体图形，从同一个方向观察，看到的图形可能是一样的，也可能是不同的。根据一个方向看到的图形摆立体图形，有多种摆法。2、从同一个方向观察物体最多只能看到三个面。几何视图一般是根据三个方向观察到的形状进展绘制。3、根据两个方向观察到的形状能确定所用小正方体的个数。根据三个方向观察到的形状摆小正方体结果只有一种。第二单元 因数和倍数 1、在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。2、注意：为了方便，在研究因数和倍数时候，我们所说的

2、数指的是自然数一般不包括 0 3、找因数的方法：乘法除法；找倍数的方法：逐次乘自然数。4、一个数的最小因数是 1，最大因数是它本身。一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。一个数的最大因数和最小倍数是相等的都是它本身。1 是所有非 0 自然数的因数。也是任一自然数0 除外的最小因数。一个数的因数至少有 1 个，这个数是 1。一个数的因数都小于等于他本身，一个数的倍数都大于等于他本身。5、因数或=它本身、倍数或=它本身、最大的因数=最小的倍数=它本身。一个数的倍数一定比它的因数大这种说法是错误的。一个数越大它的因数个数就越.多，一个数越小

3、它的因数个数就越少。这种说法是错误的。6、2 的倍数特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数。自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数0 也是偶数，不是 2 的倍数的数叫奇数。7、5 的倍数特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。8、3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。个位上是 3、6、9 点数都是 3 的倍数是错误的说法。9、2 和 5 的倍数特征：个位上是 0 的数，既是 2 的倍数，也是 5 的倍数。就是 10的倍数。10、2 和 3 的倍数特征：个位上是 0、2、4、6、8，而且各个数位上的数字的和是 3的倍数，这个数既

4、是 2 的倍数，也是 3 的倍数。(就是 6 的倍数)。11、3 和 5 的倍数特征：个位上是 0 或者 5，而且各个数位上的数字的和是 3 的倍数，这个数既是 5 的倍数，也是 3 的倍数。就是 15 的倍数。12、2、3、5 的倍数特征：个位上是 0，而且各个数位上的数字的和是 3 的倍数，这个数同时是 2、3、5 的倍数。就是 30 的倍数能同时被 2、3、5整除的最小两位数是30，最大两位数是90，最小三位数是120.同时满足 2，3，5 的倍数，实际是求 235=30 的倍数。4 的倍数特征：一个数末尾两位数是 4 的倍数，这个数就是 4 的倍数。一个数各位数上的和能被 9 整除，这

5、个数就是 9 的倍数。能被 3 整除的数不一定能被 9 整除；能被 9 整除的数一定能被 3 整除。如果两个数都是同一个数的倍数，则这两个数的和或差也是这个数的倍数。13、自然数按能否被 2 整除分成奇数和偶数。所以我们说自然数不是奇数就是偶数。最小的偶数是 0，最小的奇数是 1，没有最大的奇数和偶数，最小的自然数是 0。如果用 n 表示自然数，则 2n 表示偶数，2n+1 表示奇数。相邻的两个自然数相差 1；相邻两个奇数相差 2；相邻两个偶数相差 2。.14、奇数+偶数=奇数 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数 奇数偶数=奇数 奇数奇数=偶数 偶数偶数=偶数 奇数奇数=奇数 偶数偶数=偶数偶

6、数奇数=偶数 无论多少个偶数相加都是偶数、偶数个奇数相加是偶数、奇数个奇数相加是奇数。任意一个整数乘以 2 都变成偶数。15、一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数或素数；一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。1 既不是质数，也不是合数。两个质数相乘的积一定是合数。质数质数=合数 16、最小的质数是 2，最小的合数是 4。2 是偶数中唯一的质数称为偶质数；也是质数中唯一的偶数。17、100 以找质数、合数的技巧：看是否是 2、3、5、7、11、13的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。18、100 以的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23

7、、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。19、自然数按因数的个数分可分为 1、质数和合数。除 2 以外所有的质数都是奇数。按是否是 2 的倍数来分：分为奇数和偶数两类；按因数的个数来分：分为质数、合数和 1 三类。第三单元 长方体和正方体 一、长方体、正方体的认识：长方体和正方体都是立体图形。正方体也叫立方体。1、长方体是由 6 个长方形特殊情况有两个相对的面是正方形围成的立体图形。在一个长方体中，相对的面完全一样，相对的棱长度相等。2、长方体有 6 个面。有 12 条棱，相对也可以说是平行的 4 条棱的长度相等。长方体有 8 个顶点。

8、长方体最多有 8 条棱的长度相等，最多有 4 个面完全一样。自然数分类.一个长方体最多有 6 个面是长方形，最少有 4 个面是长方形，最多有 2 个面是正方形。3、相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。长、宽、高都各有 4 条，分别平行并且相等 4、长方体的棱长总和 =长4+宽4+高4 =长+宽+高4 长方体的长=棱长总和4 宽 高；长方体的宽=棱长总和4 长 高；长方体的高=棱长总和4 长 宽 5、1正方体的 6 个面是完全一样的正方形。2正方体的 12 条棱长度都相等。3有 8 个顶点。6、正方体是由 6 个完全一样的正方形围成的立体图形，所有的棱长度相等。正方体可以看成

9、是长、宽、高都相等的长方体，所以正方体是特殊的长方体。一样点 不同点 面 棱 长方体 有6个面，12 条棱，8 个顶点。6 个面都是长方形。有可能有两个相对的面是正方形。相对的面完全一样。相对的棱平行且长度都相等 正方体 6 个面都是正方形。面积都相等。12 条棱都相等。7、正方体的棱长总和=棱长12 正方体的棱长=棱长总和12 如果用长 60cm 铁丝做成长方体或正方体，60cm 就是长方体或正方体的棱长总和 8、用棱长 1cm 的小正方体摆成稍大一些的正方体,至少需要 8 个小正方体。二、长方体和正方体的外表积 1、长方体或正方体 6 个面的总面积，叫做它的外表积 2、长方体的外表积：长方

10、体有“上、“下、“前、“后、“左、“右6 个面。.上、下面每个面的面积长宽；前、后面每个面的面积长高；左、右面每个面的面积宽高；长方体的外表积=长宽长高宽高2 用字母表示：S=2abahbh 长方体的外表积=长宽2长高2宽高2 用字母表示：S=2ab2ah2bh 无底或无盖长方体外表积=长宽长高宽高2 S=2ahbhab 或 S=2abahbhab 无底又无盖长方体外表积=长高宽高2 S=2ahbh 特殊长方体的外表积有两个面是正方形正方形的两个面完全一样，其余四个面完全一样。3、正方体的外表积 正方体的外表积=棱长棱长6 用字母表示：S=6a2 4、生活实际 油箱、罐头盒等都是 6 个面；游

11、泳池、鱼缸等都只有 5 个面；水管、烟囱等都只有 4 个面。粉刷教室只有 5 个面。5、注意 1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。外表积相应增加 两物体拼成一个物体时，减少两个面。外表积相应减少 注意 2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，外表积会扩大倍数的平方倍。如长、宽、高各扩大 2 倍，外表积就会扩大到原来的 4 倍。长方体或正方体每截断一次会增加两个截面，这两个截面和它相对的面的面积相等，所以这时的两个物体的外表积大于原来物体的外表积。.三、长方体和正方体的体积 1、体积：物体所占空间的大小叫做物体的体积。就是看物体含有多少个体积单位 2、常用的体积单位有：立方米m3、立方分

12、米dm3、立方厘米cm3 棱长是 1 cm 的正方体，体积是 1 cm3。如手指头的大小。棱长是 1 dm 的正方体，体积是 1 dm3。如黑板擦和粉笔盒的大小。棱长是 1 m 的正方体，体积是 1 m3。相邻两个体积单位之间的进率是 10001 m3=1000 dm3 1 dm3=1000 cm3 3、长方体的体积 长方体的体积=长宽高用字母表示：V=abh 4、正方体的体积 正方体的体积=棱长棱长棱长用字母表示：V=a3 aaa 也可以写作“a，读作“a 的立方，表示 3 个 a 相乘 5、底面积：长方体或正方体底面的面积叫做底面积。也叫占地面积。6、长方体和正方体的体积公式：长方体或正方

13、体的体积=底面积高；用字母表示：V=S底h横截面积相当于底面积，长相当于高。7、一个长方体的长、宽、高或正方体的棱长分别扩大 a 倍，它的外表积就扩大a2,长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍就是扩大 a3倍。如长、宽、高各扩大 2 倍，体积就会扩大到原来的 8 倍。例如：长方体长、宽、高分别扩大 3 倍，它的外表积就扩大 33=9 倍，体积扩大 333=27 倍 8、低级单位 高级单位 长度单位：千米km，米(m)，分米(dm)，厘米(cm)，毫米(mm)1km=1000m 1m=10dm 1dm=10cm 1cm=10mm 1m=100cm 面积单位：平方千米(

14、km)，公顷，平方米(m)，平方分米(dm)，平方厘米(cm)1km=100 公顷1000000m 1 公顷10000 m 进率 进率.1m=100dm 1dm=100cm1m=10000cm 体积单位：立方米(m)，立方分米(dm)，立方厘米(cm)1m=1000dm 1dm=1000cm1m=1000000 cm 容积单位：升L，毫升ml 1L=1000ml 1L=1 dm 1mL=1cm 质量单位：吨t,千克kg，克g 1t=1000kg1kg=1000g 长度、面积、体积不可以相互比拟，所以不可能相等。9、一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等，正方体体积大于长方体体积

15、。10、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。11、固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成 L 和 ml。13、把长方体或正方体截成假设干个小长方体或正方体后，外表积增加了，体积不变。用 8 个小正方体拼成的大正方体拿走一块小正方体，体积减少，外表积不变。14、容积的计算：长方体和正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法一样，但要从里面量长、宽、高。所以对于同一个物体体积大于它的容积。15、排水法：计算不规则物体的体积形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。排水法的公式：1装满水：排出水的体积=不

16、规则物体的体积。2放入物体后的总体积放入物体前水的体积=不规则物体的体积。V 物体=V 现在V 原来 3用装水的长方体或正方体的长宽物体放入后水面上升的高度=不规则被浸没物体的体积等于上升那局部水的体积 容器的底面积上升那局部水的高度。计算方法 放入物体后的体积原来水的体积.物体的体积。V 物体=S底(h 现在 h 原来)4因为放入物体前后底面积不会变。所以不规则物体的体积=长方体底面积水面上升的高度放入物体后水面高度放入前水的高度。V 物体=S底h 升高。16、物体的体积不会随着物体的位置和形状的变化而变化。把一个正方体铁球熔铸成长方体，体积不变。17.正方体的展开图 正方体的平面展开图一共

17、有 11 种。18、包装盒能否装下玻璃器皿，不仅要看体积，还要看物体的长、宽、高能否装下。19、对于一个 nnn 的正方体，其涂况如下：三面都涂色：8 个只有位于正方体 8 个顶点的地方才三面都涂色 两面涂色：n212 个两面涂色的位于正方体两个面的交界处，但又不在顶点处 一面涂色：n2n26 个一面涂色的小正方体位于正方体每个面的中心部位 各面都没有涂色=总块数三面涂色的块数两面涂色的块数一面涂色的块数 第四单元 分数的意义和性质 一、分数的意义 在进展测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这里常用分数来表示。一个物体、一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体，一个整体可以用自

18、然数 1 来表示，我们通常把它叫做单位“1。单位“1与自然数 1 不同。单位“1的量也叫标准量，用来跟标准量比拟的量叫做比拟量。单位“1的找法：“是、“占、“相当于、“比字后面的量，“的字前面的量。如果含有分数不带单位的那句话中一个关键字也没有，可以加进去再找。.把单位“1平均分成假设干份，表示这样一份或几份的数叫做分数。如：87表示把单位“1平均分成 8 份，表示其中 7 份的数 把一根 8 米长的铁丝平均分成 5 分，每段长58米，每段占整根铁丝的51。1 米的53和 3 米的51一样大。3 分子：表示有这样的几份。分数线表示平均分 4 分母：表示把单位“1平均分成的份数。写分数时先写分数

19、线，再写分母，最后写分子。解决问题时，分数有带单位时表示数量，最后带什么单位就来分谁，分成几份就除以几；不带单位表示份数与数量无关。把单位“1平均分成假设干份，表示这样一份的数叫做分数单位。如：197的分数单位是91，它有 16 个这样的分数单位。带分数有几个分数单位要先把带分数化成假分数，再看分子是多少一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；分子是几，它就有几个这样的分数单位。分母一样，分数单位就一样；分母不同，分数单位就不同。最大的分数单位是21，没有最小的分数单位，分母越小分数单位就越大。分数与除法的关系：被除数相当于分数的分子；除数相当于分数的分母;除号相当于分数的分数线 被除数

20、除数=除数被除数分母分子=分子分母 除数不能为 0，分母也不能够为 0。ab=bab0 一个分数，不但可以从分数的意义上理解，也可以从分数与除法的关系上理解。例如：43表示把单位“1平均分成 4 份，取其中 3 份的数；也可以表示为把 3 平均分成 4 份，得 1 份的数。“求一个数是占另一个数的几分之几和“求一个数是另一个数的几倍都用除法计算，即一个数另一个数=一个数是另一个数的几分之几或几倍。用“是“占前面的量除以他们后面的量。求鹅的只数是鸭的几分之几用鹅的只数鸭的只数=鹅的只数是鸭的几分之几。二、真分数和假分数.分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于 1。分子比分母大或分子和分母相等的

21、分数叫做假分数。假分数大于 1 或等于 1。由整数不包括 0和真分数合成的数叫做带分数。带分数大于 1。带分数是一局部假分数分子不是分母的倍数的另外一种书写形式，所以分数只分为真分数和假分数。真分数1假分数。带分数的读法：先读整数局部，再读分数局部，中间加个“又字。在9a中a 为非 0 自然数，当 a9 时，它是真分数；当 a9 时，它是假分数；当 a 是 9 的倍数时，它能化成整数。把假分数化成整数或带分数：根据分数与除法的关系，用分子除以分母。如果能整除时，则商就是所要化成的整数。如：714=147=2。如果不能整除，则商就是带分数的整数局部，余数就是带分数的分数局部的分子，分母不变。如：

22、314，143=42，分子除以分母商是 4 作带分数的整数局部，余数是 2 作分数局部的分子，分母是原来的分母 3，所以314=143=324。带分数化成假分数的方法：用带分数的整数局部乘分母加分子作假分数的分子，分母不变。任何整数都可以看成分母是 1 的分数。当分子和分母相等时，分数值是 1，是最小的假分数，没有最大的假分数。整数都比分数大是错误的。53和54中间有无数个分数。三、分数的根本性质 分数的分子和分母同时乘或者除以一样的数0 除外，分数的大小不变。这叫做分数的根本性质。利用分数的根本性质可以把分母不同的分数化成分母一样的分数；也可以把一个分数化成指定分母的分数。四、约分、通分 几

23、个数公有的因数，叫做它们的公因数。其中最大的公因数，叫做它们的最大公因数。公因数的个数是有限的。1 是所有非 0 自然数的公因数。两个数的公因数是最大公因数的因数；最大公因数是公因数的倍数。几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。其中最小的一个公倍数，叫做它们的最小公倍数。公倍数的个数是无限的。两个数的公倍数是它们的最小公倍数的倍数；最小公倍数是公倍数的因数；最小公倍数的倍数.也是这两个数的公倍数。任意两个数的最大公因数和最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。任意两个数的最小公倍数一定大于这两个数和最大公因数一定大于这两个数是错误的。分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。用短除法分解质因数

24、 合数质数质数质数。比方：30 分解质因数是：30 235 2 30 3 15 5 互质数：公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。两个质数的互质数：5 和 7 两个合数的互质数：8 和 9 一质一合的互质数：7 和 8 两数互质的特殊情况：1 1 和任何自然数互质；相邻两个自然数互质；两个质数一定互质；4 2 和所有奇数互质；5相邻两个奇数互质。最大公因数和最小公倍数的特殊求法：当两个数成倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；当两个数只有公因数 1 时互质时，最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。如：32 是 8 的倍数，它们的最大公因数是 8，最小公倍数是 32。AB

25、=6 或 A=6B 说明 A 和 B 成倍数关系则最大公因数是较小数 B，最小公倍数是较大数 A 一般关系的两个数求最大公因数和最小公倍数的方法：用 12 和 16 来举例 求法一：列举法先分别找出两个数的因数倍数，再从中找出公因数公倍数，最后找出最大公因数最小公倍数。最大公因数的求法：12 的因数有：1、2、3、4、6、12 16 的因数有：1、2、4、8、16 公因数是 1、2、4 最大公因数是 4 最小公倍数的求法：12 的倍数有：12、24、36、48、16 的倍数有：16、32、48、公倍数是 48，96 最小公倍数是 48 求法二：筛选法 先找出两个数中较小数的因数，再从中圈出另一

26、个数的因数，最后看圈出的因数中哪一个最大。.如 16 和 12 的公因数：1，2 ，3，4 ，6，12 先写出两个数中其中一个数的倍数，再从中圈出另一个数的倍数，最后找出最小的一个。如16 和 12 的公倍数：16，32，48，64，80，96 求法三：分解质因数法或短除法 分解质因数法就是将几个数各自分解成质因数的形式，把公有的质因数相乘得到的就是最大公因数。除了一样的还要乘不同的数得到的就是最小公倍数。12=223 16=2222 最大公因数是：22=4 一样乘 最小公倍数是：22322=48 一样乘 不同乘 短除法：用短除法求两个数或三个数的最大公因数 除到互质为止 用短除法求两个数或三

27、个数的最小公倍数除到互质为止 除到两数互质时最大公因数是短除号前面的数相乘；最小公倍数除了短除号前面的还要乘以短除号下面的数。三个数的最大公因数除到有互质的数就行，最小公倍数要除到任意两个数都互质为止。分数的分子和分母只有公因数 1，像这样的分数叫做最简分数。把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比拟小的分数，叫做约分。约分通常要约成最简分数。约分和通分的根据是分数的根本性质。约分的方法：逐次约分法：用分子和分母的公因数1 除外依次去除分子和分母，除到分子和分母的公因数只有 1 为止。一次约分法：用分子和分母的最大公因数去除分子和分母。分数比拟大小的方法：分母一样的两个分数，分子大的分数比拟大

28、。分子一样的两个分数，分母小的分数反而比拟大。把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。通分的方法：通分时要用原分母的公倍数最好是最小公倍数做它们的公分母比拟适宜，把每个分数化成用这个公倍数最小公倍数作分母的分数。五、分数和小数的互化.小数化成分数的方法：因为小数表示的是十分之几，百分之几，千分之几的数，所以可以直接写成分母是 10、100、1000的分数。原来是几位小数，就在 1 后面写几个 0 作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约成最简分数。分数化成小数的方法：1当分母是 10，10，1000的分数化成小数，可以直接去掉分母，看 1 后面有几个 0，就从分子的

29、右边起向左数出几位，点上小数点，如果位数不够时，用“0补足。2 分母不是 10，100，1000的分数化成小数，根据分数与除法的关系，用分子除以分母，除不尽时，要根据需要按“四舍五入法保存几位小数。如果没有特殊要求，一般保存两位小数。常用分数和小数：21=0.5 41=0.25 43=0.75 51=0.2 52=0.4 53=0.6 54=0.8 81=0.125 83=0.375 85=0.625 87=0.875 201=0.05 251=0.04。一个最简分数，如果分母中除了 2 和 5 以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。如果分母中除了 2 和 5 以外，还含其他的质因数就不

30、能够化成有限小数。第五单元 图形的运动三 描述图形的旋转时，要说清楚“绕哪个点旋转“向什么方向旋转“旋转了多少度。也就是要明确旋转中心，旋转角度和旋转方向。旋转的三要素：旋转中心固定点，旋转角度和旋转方向。旋转方向分为顺时针旋转和逆时针旋转。图形旋转的特征：旋转中心的位置不变，过旋转中心的所有边旋转的方向一样，旋转的角度也一样。图形旋转前后，形状和大小都没有发生变化，只改变了物体的位置。旋转点 O 点位置不变。钟表上共有 12 小格，每一格为 30。在方格纸上画简单图形旋转 90的方法：找出原图形的关键点，根据旋转点和旋转方向，借助三角尺作*一条线段的垂线；从旋转点开场，在所作的垂线上量出与原

31、来线段相等的长度，并标出对应点；顺次连接所画出的对应点，就得到了旋转后的图形。第六单元 分数的加法和减法.一、同分母分数加、减法 分数加法的意义与整数加法的意义一样，都是把两个或两个以上的数合并成一个数的运算。同分母分数相加，分母不变，只把分子相加；计算的结果，能约分的要约成最简分数。分数减法的含义与整数减法的含义一样，都是两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。同分母分数减法的计算方法：分母不变，分子相减。二、异分母分数加、减法 异分母分数相加、减，先通分，再按照同分母分数加、减法的计算方法计算。异分母分数不能直接相加减是因为他们的分数单位不同。结果要约成最简分数。三、分数加减混合运

32、算 分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序一样。没有括号的，按照从左到右的顺序依次计算。有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。计算没有括号的异分母分数的混合运算，可以分步通分进展计算，也可以将几个分数一次性通分进展计算。整数加法的交换律、结合律和减法的运算性质在分数加、减法中同样适用。利用运算定律可以使一些分数计算变得简单。运算定律：加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a。加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即a+b)+c=a+(b+c)。减法的性质：从一个数里连续减去几个数

33、，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即abc=a(b+c)第七单元 折线统计图 折线统计图的意义：用一个单位长度表示一定的数量，根据数据的大小描出各点，然后把各点顺次连接起来，所得的统计图叫做折线统计图。折线统计图的特点：既可以反映数量的多少，又可以反映数量的增减变化情况。折线统计图的制作方法：1标出统计图的名称。2建立横轴和纵轴。3描点、连线。4标注数据。复式折线统计图的意义：在统计过程中存在两组数据，又需要在一个统计图中表示这两组数据，并且要用两条不同的折线表示不同数据的变化情况的统计图，就是复式折线统计图。复式折线统计图的特点：不但能表示出多组数据的多少，数量的增减变化情况，而且便

34、于比拟两组数据的差异和变化趋势。.复式折线统计图的制作方法：与单式折线统计图的制作方法根本一样，只是用不同的折线来表示不同的量，并标明图例。第八单元 数学广角找次品 从 3 个物品中找次品的根本思路：用天平称一次，判断出次品是否在托盘上。也就是说通过推理，确定次品是这三个中的哪一个。找次品的最优策略：一是把待分的物品分成 3 份；二是要分得尽量平均。能够平均分的就平均分成 3 份，不能平均分的，也应该使最多的一份与最少的一份只相差 1。这样可以保证找出次品称量的次数最少。用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数。有以下关系：要区分的物品数目 保证能找出次品需要测的次数 2313 1 4933 2 102793 3 2881273 4 82243813 5 2447292433 6 数目与测试的次数的关系：23 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 1 次 49 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 2 次 1027 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 3 次 2881 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 4 次 82243 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 5 次 244729 个物体，保证能找出次品需要测的次数是 6 次