定积分的概念讲义.pdf

《定积分的概念讲义.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《定积分的概念讲义.pdf（6页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、定积分的概念【知识要点】(1)定积分的定义及相关概念 分割 如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0 x1xi1xixnb，将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，区间xi1，xi 的长度1iiixxx。近似取代“以直代取”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值 求和 作和式i1nf(i)xi1n banf(i)，取极限 当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作abf(x)dx.即：1limninibbaf x dxfan 注：在abf(x)dx中，a与b分别叫做积

2、分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式（2）定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间a,b上的函数()f x连续且恒有()0f x。那么定积分()baf x dx表示由直线,xa xb（ab），0y 和曲线()yf x所围成的曲边梯形的面积。(3)定积分的性质 abdxba1 abkf(x)dxkabf(x)dx(k为常数)（其中k是不为 0 的常数）（定积分的线性性质）abf1(x)f2(x)dxabf1(x)dxabf2(x)dx.（定积分的线性性质）abf(x)dxacf(x)dxcbf(x)dx(其中acb)（定积分对积分

3、区间的可加性）说明：推广：1212()()()()()()bbbbmmaaaaf xfxfx dxf x dxfx dxfx 推广:121()()()()kbccbaaccf x dxf x dxf x dxf x dx 性质解释：PCNMBAabOyxy=1yxOba 【例题精讲】例 1计算定积分21(1)xdx 分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52。即：215(1)2xdx 思考：若改为计算定积分22(1)xdx呢 改变了积分上、下限，被积函数在 2,2上出现了负值如何解决呢 例 2求曲线2yx与 x=1,y=0 所围成的区域的面积 解：分割 将区间 0,1等分为 n 个小区间

4、：10,n，1 2,n n，1,iinn，1,nnnn，每个小区间的长度为11iixnnn 近似取代 过各点做 x 轴的垂线，把梯形分成 n 个小曲边梯形，在分别用小区间左端点的纵坐标为21in为高，x1n为底作小矩形，于是图中曲线 i 之下矩形的面积依次为：210n，211nn，221nn，211nnn 求和 所有这些小矩形的面积之和为 nS=210n+211nn+221nn+211nnn=2222310121nn 性质 1 性质 4 AMNBAMPCCPNBSSS曲边梯形曲边梯形曲边梯形1 2 y x o=312116n nnn=111126nn 取极限 1111limlim1263nnn

5、SSnn【习题精练】1.函数 2f xx在区间1,iinn上，（）A.f x的值变化很小 B.f x的值变化很大 C.f x的值不变化 D.当 n 很大时，f x的值变化很小 答案：D 2.当 n 很大时，函数 2f xx在区间1,iinn上的值，可以用下列函数值近似代替的是 （）A.1fn B.2fn C.ifn D.0f 答案：C 3.“以直代曲”中，函数 f x在区间1,iix x上的近似值等于（）A.只能是左端点的函数值 if x B.只能是右端点的函数值1if x C.可以是该区间内任一点的函数值 if（1,iiix x）D.以上答案均正确 答案：C 4.设 f x在,a b上连续，

6、将,a bn 等分，在每个小区间上任取i，则 bfx dxa是（）A.1limninif B.1limninibafn C.1limniinif D.11limniiinif 答案：B 5.设 f x在,a b上连续，则 f x在,a b上的平均值为（）A.2f af b B.bfx dxa C.12bf x dxa D.1bf x dxaba 答案：D 6.已知和式1123(0)ppppPnpn当 n+时，无限趋近于一个常数 A，则 A 可用定积分表示为 （）Adxx101 Bdxxp10 Cdxxp10)1(Ddxnxp10)(答案：B 7.下列定积分为 1 是 （）Adxx10 Bdxx

7、10)1(Cdx101 Ddx1021 答案：C 8.求由1,2,yxeyx围成的曲边梯形的面积时，若选择为积分变量，则积分区间为（）A 0，2e B 0，2 C 1，2 D 0，1 答案：B 9.由 y=cosx 及 x 轴围成的介于 0 与 2之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 答案：20|cos|x dx或204cos xdx。10.计算1201x dx=。答案：4。提示：这是求单位圆落在第一象限内部分的面积。11.利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正是负 （1）340sin dx x；（2）01e dxx；（3）1213ln dx x 答案：（1）正 (2)正 (3)负。

8、利用定积分的几何意义，比较下列定积分的大小 10dx x，120dxx，130dxx。答案：10dx x 120dxx130dxx。12.计算下列定积分：121(1)(1)d3xx；41(2)(3)dxx；20(3)cos dx x；232(4)dxx。答案：(1)52；(2)452；(3)0；(4)0。13.利用定积分表示图中四个图形的面积：答案：(1)adxxS02；(2)212dxxS；(3)012022 1)1(1)1(dxxdxxS；(4)badxS 【课下练习】1.设函数 0f x，则当ab时，定积分 bfx dxa的符号（）A.一定是正的 B.一定是负的 C.当0ab时是正的，当

9、0ab时是负的 D以上结论都不对 答案：A 2.下列式子中不成立的是（）A.22sincos00 xdxxdx B.22sin:cos00 xdxxdx C.sincos00 xdxxdx D.sincos00 x dxxdx 答案：C 3.1321(tansin)xxxx dx=（）A0 B.13202(tansin)xxxx dx C03212(tansin)xxxx dx D。13202|tansin|xxxx dx 答案：A x a y=x2 (1x 2 y=x2 (2)y y y=(x-1)2 O x 2(3)x a b y=1(4)y y 4.由直线1,xyxy，及轴所围成平面图形

10、的面积为（）Adyyy101 B。dxxx2101 Cdyyy2101 D。dxxx101 答案：C 5.和式111122nnn当 n+时，无限趋近于一个常数 A，则 A 用定积分可表示为 。答案：dxx1011。6.曲线1,0,2yxxy，所围成的图形的面积可用定积分表示为 答案：dxx102)1(7.计算曲边三角形的面积的过程大致为：分割；以直代曲；作和；逼近。试用该方法计算由直线 x=0，x=1，y=0 和曲线 y=x2所围成的曲边三角形的面积。（下列公式可供使用：12+22+n2=1(1)(21)6n nn）答案：13 8.求由曲线1yx与1,3,0 xxy所围的图形的面积.答案：6 9.计算20()f x dx，其中,2,01,()5,12.xxf xx 答案：6 10.弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力 F(x)=kx（k 是正的常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长 b 所做的功。答案：可用“分割；以直代曲；作和；逼近”求得：202bkbWkxdx。