圆的相关定理及其几何证明(含复习资料).pdf

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1、1/151/15 DBCOA圆的相关定理及其几何证明 典题探究 例 1：如图，圆O是ABC的外接圆，过点 C 作圆O的切线交BA的延长线于点D.若3CD，2ABAC，则线段AD的长是 ；圆O的半径是 .例 2：如图，在圆 O 中，直径与弦垂直，垂足为 E（E 在之间），,垂足为 F 若，则 例 3：如图已知PA与圆O相切于A，半径OCOP，AC交PO于B，若1OC,2OP，则PA ，PB 例 4：如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知30BPA，11BC，1PB,则PA ,圆O的半径等于 EFBC6AB5CF CBAEABCOPOPCBA2/152/15 演练方阵 A 档（巩固

2、专练）1如图，已知直线切O于点D，直线交O于点.若23,1PFPD，则O的半径为 ；EFD .2.如图，与切于点，交弦的延长线于点，过点作圆的切线交于点.若，则弦的长为.3.如图：圆 O 的割线经过圆心 O，C 是圆上一点，12，则以下结论不正确的是()A.CBCP B.PCACPABC C.是圆 O 的切线 D.BCBABP 4如图，已知AB是圆O的直径，P在AB的延长线上，PC切圆O于点C，CDOP于D若6CD，10CP，则圆O的半径长为；BP 5 如图所示，以直角三角形ABC的直角边AC为直径作O，交斜边AB于点D，过点D作O的切线，交BC边于点E.则BCBE .6如图，直线与圆相切于点

3、 M,与是圆的两条割线，且APOADBPBOAPC90ACB3,4BCCPDB D C B P A O 3/153/15 EDCBAO，连接、。则下面结论中，错误的结论是()A=90o B C2=D=7如图，AB切圆于点A,AC为圆的直径，BC交圆于点D，E为CD的中点，且5,6,BDAC则CD；AE.8 如 图，PC切 圆O于 点C，割 线PAB经 过 圆 心O，4,8PCPB，则tanCOP ，OBC的面积是 9如图，AB为O的直径,AC切O于点A,且过点C的割线,CMN交AB的延长线于点D,若CMMNND,2 2AC，则CM ，AD OOOABCDMNO4/154/15 10如图，,A

4、B C D是O 上的四个点，过点 B 的切线与DC的延长线交于点 E.若110BCD，则DBE()A.75 B.70 C.60 D.55 B 档（提升精练）1如图，已知O 的弦交半径于点 D,若 434,则的长为 2 如 图,已 知 圆 中 两 条 弦AB与CD相 交 于 点EF,是AB延 长 线 上 一 点,且BFAFCFDF2,2,若CE与圆相切,且27CE,则BE 3如图，AB是半圆O的直径，P在AB的延长线上，PD与半圆O相切于点C，ADPD若4PC，2PB，则CD.EODCBAEBAFDC5/155/15 BCDAOE 4 如图，AB是O的直径，直线DE切O于点D，且与AB延长线交于

5、点C，若CD 3，1CB，则ADE=5 如图，AC为O的直径，OBAC，弦BN交AC于点M 若3OC，1OM，则MN 6如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于,B C两点，3,1PAPB，则ABC=()A70 B60 C45 D30 7 如图所示，内接于圆，60ABC，是圆的切线，A 为切点，交于 E，交圆于 D 若，3，3 3，则 ，ABCOMN6/156/15 8.如图，以ABC的边AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E，EFAB于点F，3AFBF，22BEEC，那么CDE=，CD=.9如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，CE与圆相切交AB延长线上于点E，若2 2DFCF

6、，:4:2:1AF FB BE，则线段CE的长为 10.如图，直线与相切于点，割线经过圆心，弦于点，则 C 档（跨越导练）1.如图，ABC是O的内接三角形，PA是O的切线，PB交AC于点E，交O于点D若PAPE，60ABC，1PD，9PB，则PA；EC PCOCPABOCDABE4PC 8PB CE EDPCBAFEDCBA7/157/15 2.如图，O的直径AB与弦CD交于点P，7,5,15CPPDAP，则DCB 3.如图，AB是圆O的直径，CDAB于D，且2ADBD，E为AD的中点，连接CE 并延长交圆O于F若2CD，则AB，EF 4.如图所示，是圆的直径，点 C 在圆上，过点 B，C 的

7、切线交于点 P，交圆于 D，若 2，1，则，5.AB是圆 O 的直径，D为圆 O 上一点，过D作圆 O 的切线交AB延长线于点C，若DC=22，2BC，则DCAsin OPDCBAPDCBA8/158/15 COPBA 6.如图，已知圆的半径为，从圆外一点引切线和割线，圆心到的距离为，则切线的长为 7.如图，BC是半径为2的圆O的直径，点P 在BC的延长线上，PA是圆O的切线，点A在直径BC上的射影是OC的中点，则ABP=；PB PC 8.如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知2 2PA，4PC，圆 心O到BC的距离为3，则圆O的半径为 9.如图，AB是圆O的直径，P在AB的延

8、长线上，PD切圆O于点C.已知圆O半径为3，2OP，则PC；ACD的大小为 O3OAADABCOAC223AB ADBOCAD9/159/15 10.如图，A，B，C 是O 上的三点，切O 于点 B，D 是CE与O 的交点.若70BAC，则CBE；若2BE，4CE，则CD .典题探究 例 1：答案：1，2 解析：已知CD3，2ABAC，由圆幂定理得2CDDADB，10/1510/15 DBDAAB，所以2CD()DADAAB，可以求出1AD，而CDAD，取AB的中点 E，连接和，则半径R=OC=2.例 2：答案：1 解析：三角形与三角形相似，对应边成比例，所以CFCECECB，即2CECBCF

9、，所以5CE，而1OC=32AB，所以22O2EOCOE，所以1AE.例 3：答案：3,3PAPB 解 析：延 长 与 圆 O 分 别 交 于 点 D 和 点 E，则1PDOPOD，3PEPDDE，由圆幂定理得23PAPDPE，所以3PA，过A点作AFOP交于点F，则1OF=2，所以313PB=+=3222+3.例 4：答案：PA=2 3R=7，解析：由圆幂定理得2PA=PBPC=12，所以PA=2 3，设与交于点 D，延长交圆于 E，则ADDE=BDDC，所以2DE=24，DE=12，所以2R=2+12，R=7.演练方阵 A 档（巩固专练）1：答案：R=3EFD=15。，解析：由圆幂定理得2

10、PD=PEPF，1=PE2+3（），1PE=2-32+3，所以EF=2R=PF-PE=23，R=3，OP=2PD=OD=3，1，所以POD=30，所以1EFD=POD=152。2：答案：45 解析:由圆幂定理得2AP=PBPD=PB(PB+BD)，所以275(5)BD，所以245BD 11/1511/15 3：答案：D 解 析:由 圆 幂 定 理 得22()(2)3PCPA PAABPA PAPAPA，所 以3PCPA，所以 D 选项错误 4：答案：半径7.5,5RBP 解析:6,10,CDCP.所以228DPCPCD，由三角形相似得CDOCDPCP，所以6810OC，所以3107.54ROC

11、，由圆幂定理得2PCBPAP，所以100(15)BP BP，所以5BP 5：答案：12 解析：连接，是圆O的直径，所以CDAB，经过半径的端点 C，而且BCAC，所以BC是圆O的切线，而是圆 O 的切线，所以，所以12BECEBC，所以12BEBC 6：答案：D 解析：因为四边形是圆的内接四边形，所以180BDEBCE。，因为=90BDE。，所以C=90B E。，A 正确；直线与圆相切，由弦切角定理得AMD=MED，而ABD=CED，所以CEM=MED+CED=DMA+DBA，所以 B 正确；由圆幂定理得 2AMADAE，所以选项 C 正确 7：答案：4,2 6CDAE 解析：设CDx，则根据

12、圆幂定理得2ABBDBC，而22(5)36ABCD，所 以2(5)365(5)CDCD，所 以25360CDCD，所 以4CD，而222AEACCDDE，所以2 6AE（8：答案：418tan,35OBCCOPS 解析：由圆幂定理得2PCPAPB，所以168PA，所以2PA，所以半径3,R 3,OC 5OP，所 以 正 切 值4tan3COP，所 以 三 角 形 的 面 积118sin25OBCSOB OCCOP 9：答案：CM=2AD=2 7，12/1512/15 解析：由圆幂定理得2AC=CMCN=CM2CM，所以28=2CM，所以CM=2，而22AD=CD-AC=36-8=2 7 10：

13、答案：B 解析:因为四点共圆，所以A+BCD=180。，而BCD=110。，所以A=70。，又因为与圆相切于点 B，所以DBE=A=70。，所以选项 B 是正确的。B 档（提升精练）1：答案：CD=2 解析：延长交圆于点 E，由相交弦定理得ADDB=CDDE，所以4 3=CD(8-CD)，求出CD=26或，因为是小于 4 的，所以CD=2 2：答案：1BE=2 解析:由相交弦定理得BFAF=DFFC，所以22BF=2，所以BF=1，所以AF=2，而2CE=BEEA，所以7=BE(3)4BE，所以1BE=2 3：答案：12CD=5 解析：设半径为 R，连接，则由圆幂定理得2PC=PBPA，已知P

14、C=4,PB=2，而且OCPD，所以24=2(2+2R)，所以R=3，而PCPOCDOA，所以453CD，125CD 4：答案：60ADE。解析:CD=3CB=1，由圆幂定理得2CD=CBCA，而 3，2，所以 2，连接OD，则ODCD，在Rt ODC中，OD=1，CO=2，CD=3，所以60DOC。，而在三角形中，已知，所以有BD60O。，ADE=ABD=60。5：答案：MN=1 解析：延长交圆于点 D，连接，则BND=90。，而BD=2 3，2BM，由圆幂定理可得MCMAMBMN，所以(31)(31)2MN，所以1MN 6：答案：B 解析：由圆幂定理可得2PAPCPB，所以3PC，2,1B

15、CR，连接，所13/1513/15 以三角形是直角三角形，B 是中点，所以ABOBOA，60ABC。7：答案：P2 3,AC=3 3A 解析：由圆幂定理可得2PPB PDA，所以2P3(33 3)12A，P=2 3A，所以P=4 3B，所484 36AB ，3sin60=6=3 32ACAB。8答案：3 13DE60CD=13C。，解析：设圆心是 O，半径为 R，连接与，所以AF+FB=2R，所以1FB=R2，又因为EFAB，OE=EB，所以OEB是等边三角形，ABE=60。，CDE=ABE=60。，所 以AE=BE tan60=2 3。，所 以22AC=AE-CE=13，由 圆 幂 定 理

16、得CDCA=CECB，所以3 13CD=13 9答案：CE=7 解析：由圆幂定理得22CE=EBEA=7EB，而DFFC=FBFA，所以28=8EB，所以EB=1，所以2CE=7，CE=7 10答案：12CE=5 解析：由圆幂定理得2PC=PAPB，所以16=8PA，所以PA=2，又因为AB=2R=6，所以R=3，所以312CE=PCsinP=455 C 档（跨越导练）1：答案：PA=3,EC=4 解析：依题意根据圆幂定理得2PA=PBPD，所以2PA=9，PA=3，PA=PE=3，DE=2，BE=6，所以PAC=ABC=60。，在三角形中，PE=PA，所以三角形是等边三角形，PE=PA=AE

17、=3，所以BE=PB-PE=6，DE=PE-PD=2，而弦与相交于点 E，所以BEDE=AECE，所以CE=4 14/1514/15 2：答案：DCB=45。解析:由相交弦定理CPPO=APPB，所以PB=7，2R=AP+PB=8，R=4，所以OP=OA,AP=3,连接，则有222OP+OD=PD，所以POD=90。，然后连接，则BD=2R，由正弦定理得BD=2RsinDCB，所以2sin2DCB，DCB是锐角，所以45DCB。3：答案：2 3AB=3EF=3，解析：已知ACB=90。，根据圆幂定理得2CD=ADDB，因为AD=2DB，所以22CD=2DB，所 以CD=2BD=，1，所 以AB

18、=AD+DB=3，DE=1，所 以22CE=CD+DE=3，又因为EAEB=ECEF，所以2 3EF=3 4.答案：3 7PC=3PD=7，解析：连接CB，在ABC中，AB=2AC=1，所以22BC=AB-AC=3，A60C B。，过点 B 和点 C 的切线交于点 P，所以PCB=P C60B。，所以PB=PC=BC=3，在Rt APB中，AB=2,PB=3，所以AP=7，由圆幂定理得2PBPDPA，所以23 77PBPDPA 5：答案：1sinDCA=3 解析：连结,BD OD，是圆 O 的直径，90ADB。，则2C=CBCAD，所以22CA=(2 2)，所 以CA=4，2AB，所 以 半

19、径1R，在Rt COD中，1sin3ODDCAOC 6：答案：A15D 解析：已知圆 O 的半径3R，而圆心 O 到弦的距离等于2 2，所以222 3(2 2)2BC，又因为3AB，5AC，AD是圆 O 的切线，所以2AD 3 515ABAC，所以A15D 7：答案：30ABP。，PB PC=12 解析：点 A 到上的射影 E 是的中点，所以1OEOA2，OP=60A。，又因为O=OBA，15/1515/15 所以ABP=30。，在Rt AOP中，因为AO=2，AOP=60。，所以AP=2 3，所以2AP=PBPC=12 8：答案：半径R=2 解析：已知与圆相切，而是圆的割线，所以根据圆幂定理

20、得到2AP=PBPC，又因为AP=2 2，PC=4，所以PB=2BC=2，又因为点 O 到弦的距离等于3，所以半径R=2 9：答案：PC=1，ACD=75。解析：连接，是圆的直径，点 P 在的延长线上，圆 O 的半径R=3，OP=2，所以PB=2-3，PA=2+3，根据圆幂定理得2PC=PBPA=1，所以PC=1，在Rt OCP中，OCP=90。，CP=1，OP=2，所以OP=30C。，OCA=15。，所以ACD=75。10：答案：CBE=70。，CD=3 解析：已知BE是圆的一条切线，CBE是弦切角，而且有BAC与CBE对应同一条弧，所以BAC=CBE70。，所以根据圆幂定理有2BEEDEC，已知BE=2，EC=4，所以ED=1，所以CD=4-1=3