小学数学解题方法解题技巧之两差法.pdf

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1、第一章 小学数学解题方法解题技巧之两差法 解应用题时，首先确定一个标准数（即 1 倍数），再根据已知的两数差与倍数差，用除法求出 1 倍数，然后以此为基础，用乘法求出另一个数的解题方法，叫做两差法。用两差法一般是解答差倍问题。差倍问题的数量关系是：两数差倍数差=1 倍数 1 倍数倍数=几倍数 较小数+两数差=较大数 例 1 某厂女职工人数是男职工人数的 6 倍，男职工比女职工少 65 人。这个厂男女职工共有多少人？（适于四年级程度）解：根据“人数差倍数差=1 倍数”，有：65（6-1）=13（人）那么，这个厂男女职工共有的人数是：13（6+1）=91（人）答略。例 2 小李买 3 本日记本，小

2、华买同样的 8 本日记本，比小李多用 2.75元。小李、小华两人分别用去多少钱？（适于五年级程度）解：小华比小李多用 2.75元（总价差），是因为小华比小李多买（8-3）本（数量差）日记本，用这两个差求出每本日记本的价钱。小李用的钱数是：0.553=1.65（元）小华的钱数是：0.558=4.40（元）答略。例 3 甲、乙两数的差是 28，甲数是乙数的 3 倍。问甲乙两数各是多少？（适于四年级程度）解：甲-乙=28，甲是乙的 3 倍，那么乙就是 1 倍数，28 所对应的倍数是 3-1=2（倍），则乙数可以求出。解法是：28（3-1）=14乙数 143=42甲数 答：甲数是 42，乙数是 14。

3、例 4 一个植树小组植树。如果每人栽 5 棵，还剩 14 棵；如果每人栽 7 棵，就缺4 棵。这个植树小组有多少人？一共有多少棵树苗？（适于五年级程度）解：把题中的条件简要摘录如下：每人 5 棵 剩 14 棵 每人 7 棵 缺 4 棵 比较两次分配的情况可看出，由于第二次比第一次每人多栽（7-5）棵，一共要多栽（14+4）棵树。根据两次每人栽的棵数差和所栽总棵数的差，可求出植树小组的人数，然后再求出原有树苗的棵数。（14+4）（7-5）=9（人）人数 59+14=59（棵）棵数 答略。例 5 用一个杯子向一个空瓶里倒水。如果倒进 3 杯水，连瓶共重 440 克；如果倒进 5 杯水，连瓶共重 6

4、00 克。一杯水和一个空瓶各重多少克？（适于五年级程度）解：解这类题，要先找出“暗差”的等量关系，再找解题的最佳方法。这道题的“暗差”有两个：一个是 5-3=2（杯），另一个是 600-440=160（克）。这里两个暗差的等量关系是：2 杯水的重量=160 克。这样就能很容易求出一杯水的重量：1602=80（克）一个空瓶的重量：440-803=200（克）答略。*例 6 甲从西村到东村，每小时步行 4 千米。3.5 小时后，乙因有急事，从西村出发骑自行车去追甲，每小时行 9 千米。问乙需要几小时才能追上甲？（适于高年级程度）解：乙出发时，甲已经行了（43.5）千米，乙每行 1 小时便可比甲每小

5、时多行（9-4）千米，那么（43.5）千米中含有几个（9-4）千米，乙追上甲就需要多少个小时。所以：答：乙需 2.8 小时才能追上甲。例 6 是典型的“追及问题”。由此可知，追及问题也可以利用两差法来解答。*例 7 某电风扇厂生产一批电风扇。原计划每天生产 120 台电风扇，实际每天比原计划多生产 30 台，结果提前 12 天完成任务。这批电风扇的生产任务是多少台？（适于高年级程度）解：在同样的时间（计划天数）里，实际比原计划多生产电风扇的台数是：（120+30）12。因为实际每天比原计划多生产 30 台，因此：计划完成任务的天数是 60 天，那么这批电风扇的生产任务就是：12060=7200

6、（台）答略。*例 8 甲每小时走 5 千米，乙每小时走 4 千米，两人同走一段路，甲比乙少用了3 小时。问这段路长多少千米？（适于五年级程度）解：解答这道题应从“差异”入手。因为凡是发生差异必定有它的道理。题中的差异是“甲比乙少用了 3 小时”，抓住它作如下追问，即可发现解题途径。为什么会“甲比乙少用了 3 小时”？因为甲比乙的速度快。（1）在 3 个小时里甲比乙多走多少千米的路呢？在 3 小时里甲比乙正好多走：43=12（千米）（2）甲每小时可以追上乙多少千米呢？5-4=1（千米）（3）走完这 12 千米的差数甲要走几小时呢？121=12（小时）（4）这段路长多少千米？512=60（千米）综

7、合算式：543（5-4）=5121=512=60（千米）答略。解：此题是“差倍”问题的变形。答略。两堆煤原来各有多少吨？（适于六年级程度）解：这里已知两堆煤的总数和运走的总数，不知道两堆煤在总数中占多大比率，也无法把运走的煤分为甲堆运走的和乙堆运走的。虽然知道甲堆运 知道，无法发生联系，因此这两个分率无法参加运算。本题的难点在于两堆煤运走的分率不同，若分率相同，分析就会有所进展。然后再看假设引出了什么差异。已知条件告诉我们共运走 180 吨，与方才算得的162吨相差 180-162=18（吨），为什么会产生这 18 吨的差异呢？270-120=150（吨）甲堆 答略。*例 11 祖父给兄弟二人

8、同样数目的零花钱，祖母给了哥哥 1100 日元，给了弟弟550 日元，这样兄弟二人所得到的零花钱数的比为 75。求祖父给兄弟二人的钱数都是多少日元？（适于六年级程度）解：因为祖父给兄弟二人的钱数相同，所以祖母给兄弟二人的钱数之差，就是他们分别得到的所有零花钱钱数之差。1100-550=550（日元）由兄弟二人所得到的零花钱钱数的比为 75 可知，把哥哥的钱看成是 7 份的话，弟弟的钱数就是 5 份，它们相差：7-5=2（份）所以，每一份的钱数是：5502=275（日元）哥哥有零花钱：2757=1925（日元）其中祖父给的是：1925-1100=825（日元）答：祖父给兄弟二人的钱都是 825

9、日元。*例 12 一位牧羊人赶着一群羊走过来，小明问他：“你的羊群里有山羊、绵羊各几只？”牧羊人说：“山羊的只数加上 99 只就是绵羊的只数，绵羊的只数加上 99只就是山羊的 3 倍，你去算吧。”请你帮助小明算一算。（适于五年级程度）解：由“山羊的只数加上 99 只就是绵羊的只数”知道，绵羊比山羊多 99 只。由“绵羊的只数加上 99 只就是山羊的 3 倍”知道，绵羊的只数加上 99 只后，绵羊的只数比山羊多（99+99）只。此时，如果把山羊只数看作 1 倍，绵羊只数就是 3 倍，比山羊多（3-1）倍，这（3-1）倍正好是（99+99）只（图 22-1）。用除法可以求出 1倍数（山羊只数），再

10、用加法就可以求出绵羊只数。（99+99）（3-1）=1982=99（只）山羊只数 99+99=198（只）绵羊只数 答略。*例 13 某工厂有大、小两个车间。如果从小车间调 10 人到大车间，则大车间的人数是小车间的 3 倍；如果从大车间调 30 人到小车间，则两个车间的人数相等。求大、小两个车间各有多少人？（适于高年级程度）解：根据“如果从大车间调 30 人到小车间，则两个车间的人数相等”知道，大车间比小车间多 302 人；根据“如果从小车间调 10 人到大车间，则大车间的人数是小车间的 3 倍”知道，这样调动后，大车间比小车间多（302+102）人。把调动后小车间的人数看作 1 倍数，则大

11、车间的人数就是 3 倍数，比小车间的人数多（3-1）倍数，这（3-1）倍数正好是（302+102）人。用除法可以求出 1 倍数（调动后，小车间人数），加上 10 就得小车间原有人数。（302+102）（3-1）+10=8024+10=50（人）（小车间原有人数）50+302=110（人）（大车间原有人数）答略。在差倍问题中，有一类比较特殊，这就是年龄问题。年龄问题一般用差倍问题的解题思路、计算公式来分析、解答。但要注意年龄问题所单独具有的“定差”特点，即大、小两个年龄，相当于大、小两个数，无论现在、过去、将来，这两个年龄的差不变。抓住这个特点，再利用差倍问题的数量关系和解题方法，便可解答年龄问

12、题。*例 14 今年哥哥 18 岁，弟弟 8 岁。问几年前哥哥的年龄是弟弟的 3 倍？（适于高年级程度）解：作图 22-2。哥哥和弟弟年龄之差（18-8）岁始终不变。把几年前弟弟的年龄看作 1 倍数，哥哥的年龄就是 3 倍数，比弟弟多（3-1）倍数，这（3-1）倍数正好对应于（18-8）岁。用除法可以求出 1 倍数，就是几年前弟弟的年龄，再用减法便可求出几年前哥哥的年龄是弟弟的 3 倍。8-（18-8）（3-1）=3（年）答略。*例 15 今年父亲 40 岁，儿子 4 岁。问几年后父亲的年龄是儿子的 4 倍？（适于高年级程度）解：作图 22-3。父子年龄之差（40-4）岁始终不变。把几年后儿子的年龄看作 1 倍数，父亲的年龄就是 4 倍数，比儿子多（4-1）=3 倍数，这（4-1）倍数正好对应于（40-4）岁。用除法可求出 1 倍数，即几年后儿子的年龄，再用减法便可求出几年后父亲的年龄是儿子的 4 倍。（40-4）（4-1）-4=363-4=8（年）答略。