函数零点学生版.pdf

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1、函数零点 一、基础知识 1.函数零点定义 对于函数()yf x=，把方程()0f x=的实数根称为函数()f x的零点.函数()f x的零点 零点不是一个“点”只是一个“点”的横坐标，是一个实数.2.函数零点存在定理 若函数()yf x=在区间,a b上是一条 不断地曲线，且有()()0f af b，那么函数()f x在,a b（）内至少存在一个零点.即存在(),ca b使的()0f c=，这个c也就是方程()0f x=的解.3.二分法的定义 对于在,a b连续不断且的函数()yf x=，通过不断把函数()f x的所在的区间，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.4.

2、用二分法求函数()f x零点近似值（1）确定零点0 x的初始区间,a b，验证()()0f af b；（2）求区间求区间,a b（）的中点c；（3）计算()f c，并进一步确定零点所在的区间：若()=0f c，则c就是函数的零点；若()()0f a f c，（此时()0,xa c则令bc=；若()()0f c f b，（此时()0,xc b则令ac=）；（4）判断是否达到精确度：即若ab，则得到零点近似值a（或b）；否则重复（2）（4）.二、课堂练习 1.零点存在定理 例 1设0 x是函数()4f xlnxx=+的零点，则0 x所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)变

3、式 1函数2()f xlnxx=的零点所在的大致区间是()A(1,2)B(2,)e C(,3)e D(3,)+变式 2若abc，则函数()()()()()()()f xxa xbxbxcxc xa=+的两个零点分别位于区间()A(,)a b 和(,)b c内 B(,)a和(,)a b内 C(,)b c和(,)c+内 D(,)a 和(,)c+内 变式 3 x表示不超过x的最大整数，例如，11=，3.54=，2.12=若0 x是函数2()f xlnxx=的零点，则0(x=)A1 B2 C3 D4 变式 4判断下列函数零点的个数，并指出方程的根所在长度为 1 的区间（1）()3f xlgxx=+；（

4、2）()237xf xx=+；（3）2()f xlnxx=2.二分法求函数零点 例 1用二分法研究函数3()31f xxx=+的零点时，第一次经计算(0)0f，(0.5)0f，可得其中一个零点0 x_，第二次应计算_ 以上横线上应填的内容为()A(0,0.5)，(0.25)f B(0,1)，(0.25)f C(0.5,1)，(0.75)f D(0,0.5)，(0.125)f 变式 1 用二分法研究函数31()()2f xxln x=+的零点时，第一次经计算(0)0f，1()02f，可得其中一个零点0 x ，第二次应计算 3.数形结合法求函数零点 3.1两个函数的交点 例 1设函数21()1(0

5、)2f xlgxxx=+，则()(f x )A在区间(0,1)和(1,2)内均没有零点 B在区间(0,1)内没有零点，而在区间(1,2)内有零点 C在区间(1,2)内没有零点，而在区间(0,1)内有零点 D在区间(0,1)和(1,2)内均有零点 变式 1已知函数()yf x=的周期为 2，当 1x，1时2()f xx=，那么函数()yf x=的图象与函数5|log|yx=的图象的交点共有()A5 个 B6 个 C8 个 D10 个 例 2已知a，b，c均为正实数，若122logaa=，122logbb=，21()log2cc=则a，b，c的大小关系为 （用“连接）变式 1已知函数2|21|,1

6、()(),1xxf xlogxm x+=，若1231()()()(f xf xf xx=、2x、3x互不相等），且123xxx+的取值范围为(1,8)，则实数m的值为()A0 B1 C1 D2 变式 2已知函数|(010)()16(10)2lgxxf xxx=+，若a，b，c互不相等，且f（a）f=（b）f=（c），则abc的取值范围是()A(1,10)B(5,6)C(10,12)D(20,24)例 3已知函数2()|3|f xxx=+，若方程()|1|0f xa x=恰有4 个互异的实数根，则实数a的取值范围为 变式 1已知函数241,1()610,1xxf xxxx+=+关于x的不等式()

7、220f xmxm的解集是1(x，23)(xx，)+，若1230 x x x，则实数m的取值范围是 例 4 已知函数2()|2|f xxx=+，xR 若方程()|2|0f xa x=恰有 4 个互异的实数根，则实数a的取值范围为 变式 1已知xR，符号 x表示不超过x的最大整数，若函数()(0)xf xa xx=有且仅有 3 个零点，则实数a的取值范围是()A3(4，45 B43，3)2 C3(4，3)2 D3(4，4453，3)2 3.2复合函数零点 例 1 设定义域为R的函数2|(0)()2(0)lgxxf xxx x=则关于x的函数22()3()1yfxf x=+的零点的个数为()A3

8、B7 C5 D6 变式 1已知函数222,1()2|(1)|,1xxf xlogxx+=，则函数3()()2()2F xf f xf x=的零点个数是 变式 2已知函数()yf x=和()yg x=在 2，2的图象如图所示：给出下列四个命题：方程()0g g x=有且仅有 3 个根 方程()0g f x=有且仅有 4 个根 方程()0f f x=有且仅有 5 个根 方程()0f g x=有且仅有 6 个根 其中正确的命题的序号是 例 2关于x的方程222(1)|1|0 xxk=，给出下列四个命题：存在实数k，使得方程恰有 2 个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有 4 个不同的实根；存在实数k

9、，使得方程恰有 5 个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有 8 个不同的实根 其中真命题的个数是()A0 B1 C2 D4 变式 1 关于x的方程2(21)(32)|21|120 xxkk+=有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 例 3若关于x的方程2|2xkxx=+有四个不同的实根，则实数k的取值范围是 变式 1已知函数()|3f xx=，关于x的方程2()4|()|0fxf xk+=恰有 8 个不同的实根，则实数k的取值范围是 三、课后练习 1已知函数()1xf xex=+，则它的零点在所在区间为()A(2,1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)2函数()34xf x=的零点所在区

10、间为()A(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)3定义域和值域均为 a，a（常数0)a 的函数()yf x=和()yg x=的图象如图所示，给出下列四个命题：（1）方程()0f g x=有且仅有三个解；（2）方程()0g f x=有且仅有三个解；（3）方程()0f f x=有且仅有九个解；（4）方程()0g g x=有且仅有一个解 那么，其中正确命题的个数是()A（1）（4）B（2）（3）C（1）（3）D（2）（4）4 若关于x的方程11()(23)()042xxmmm+=在(,1)上有唯一实数解，则实数m的取值范围()A(0，23或34 B(0，23 C(0，29或14 D(0，29

11、 5已知函数22,()52,xxaf xxxx a+=+，若函数()()2g xf xx=恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A 1，1)B 1，2)C 2，2)D0，2 6已知函数()f x是定义在(，0)(0，)+上的偶函数，当(0,)x+时，2(1),02()1(2),22xxf xf xx=，则函数2()8()6()1g xfxf x=+的零点个数为()A20 B18 C16 D14 7关于x的方程2(|1)|1|0 xxk=，给出下列四个命题 存在实数k，使得方程恰有 2 个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有 4 个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有 5 个不同的实根；存

12、在实数k，使得方程恰有 7 个不同的实根 其中正确的命题个数是()A3 B2 C1 D0 8已知函数2()2f xxx=，1,0()1,04xxg xxxx+=+，若函数()yg f xa=有 4 个零点，则实数a的取值范围是()A(0，1 B1(2，1 C1(2，5)4 D1，5)4 9已知函数1,0(),0kxxf xlnx x+=，则下列关于函数()1yf f x=+的零点个数的判断正确的是()A当0k 时，有 3 个零点；当0k 时，有 2 个零点 B当0k 时，有 4 个零点；当0k 时，有 1 个零点 C无论k为何值，均有 2 个零点 D无论k为何值，均有 4 个零点 11已知定义

13、在R上的函数()f x满足f（1）0=，当1x 时，()|1|f xln x=，设函数()()(g xf xm m=为常数）的零点个数为n，则n的所有可能值构成的集合为()A0，4 B3，4 C0，3，4 D0，1，3，4 12已知函数2|2|,1()(),1axxf xxax+=函数()2()g xf x=，若函数()()yf xg x=恰有 4 个不同的零点，则实数a的取值范围为 13已知函数3|()|,0()64,0lgxxf xxxx=+，关于x的函数2()()3yf xbf x=+有 8 个不同的零点，则实数b的取值范围为 14 已知函数22,1()(1),1xxf xxa x=+，

14、若关于x的函数1()()2g xxf x=只有一个零点，则实数a的取值范围是 15设定义域为R的函数，若关于x的函数2|,0()2,0lgxxf xxx x=，若关于x的函数22()2()1yfxbf x=+有 8 个不同的零点，则实数b的取值范围是 16对于实数a和b，定义运算“*”：22,*,aab a ba bbab ab=设()(21)*(1)f xxx=，且关于x的方程为()()f xm mR=，恰有三个互不相等的实数根1x，2x，3x，求123x x x的取值范围 1.声明：所有试题来自于网络，由山羊老师整理，恳请各位老师或者同学多多指点，提提意见。相互交流，共同提高！如想需要 w

15、ord 版亲自操刀修改可以联系山羊老师（扫描下方微信二维码即可）。2.学生如想补习（线上&线下（重庆本地学生）或者免费获取其他专题资料也可咨询山羊老师 QQ：448058929 函数零点 一、基础知识 1.函数零点定义 对于函数()yf x=，把方程()0f x=的实数根称为函数()f x的零点.函数()f x的零点零点不是一个“点”只是一个“点”的横坐标，是一个实数.2.函数零点存在定理 若函数()yf x=在区间,a b上是一条 不断地曲线，且有()()0f af b，那么函数()f x在,a b（）内至少存在一个零点.即存在(),ca b使的()0f c=，这个c也就是方程()0f x=

16、的解.3.二分法的定义 对于在,a b连续不断且的函数()yf x=，通过不断把函数()f x的所在的区间，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.4.用二分法求函数()f x零点近似值（1）确定零点0 x的初始区间,a b，验证()()0f af b；（2）求区间求区间,a b（）的中点c；（3）计算()f c，并进一步确定零点所在的区间：若()=0f c，则c就是函数的零点；若()()0f a f c，（此时()0,xa c则令bc=；若()()0f c f b，（此时()0,xc b则令ac=）；（4）判断是否达到精确度：即若ab，则得到零点近似值a（或b）；否则

17、重复（2）（4）.二、课堂练习 1.零点存在定理 例 1设0 x是函数()4f xlnxx=+的零点，则0 x所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)【解答】解：0 x是函数()4f xlnxx=+的零点，f（2）220ln=，f（3）310ln=，函数的零点0 x所在的区间为(2,3)，故选：C 变式 1函数2()f xlnxx=的零点所在的大致区间是()A(1,2)B(2,)e C(,3)e D(3,)+【解答】解：对于函数2()f xlnxx=在(0,)+上是连续函数，由于f（2）22120lnlnlnelne=，f（e）230lnelnlnee=，故f（2）f（

18、e）0，根据零点存在定理可知，函数2()f xlnxx=的零点所在的大致区间是(2,)e，故选：B 变式 2若abc，则函数()()()()()()()f xxa xbxbxcxc xa=+的两个零点分别位于区间()A(,)a b 和(,)b c内 B(,)a和(,)a b内 C(,)b c和(,)c+内 D(,)a 和(,)c+内【解答】解：abc，f（a）()()0ab ac=，f（b）()()0bc ba=，f（c）()()0ca cb=，由函数零点存在判定定理可知：在区间(,)a b，(,)b c内分别存在一个零点；又函数()f x是二次函数，最多有两个零点，因此函数()f x的两个零

19、点分别位于区间(,)a b，(,)b c内 故选：A 变式 3 x表示不超过x的最大整数，例如，11=，3.54=，2.12=若0 x是函数2()f xlnxx=的零点，则0(x=)A1 B2 C3 D4【解答】解：函数2()f xlnxx=在定义域(0,)+上连续，且是增函数，f（2）210ln=，f（3）2303ln=，又0 x是函数2()f xlnxx=的零点，0(2,3)x，故02x=，故选：B 变式 4判断下列函数零点的个数，并指出方程的根所在长度为 1 的区间（1）()3f xlgxx=+；（2）()237xf xx=+；（3）2()f xlnxx=【解答】解：（1）()3f xl

20、gxx=+在(0,)+上是增函数，f（2）223210lglg=+=，f（3）33330lglg=+=，在区间(2,3)内函数()f x存在唯一的一个零点；（2）()237xf xx=+在R上是增函数，f（1）23720=+=，f（2）46730=+=在区间(1,2)内函数存在唯一的零点；（3）2()f xlnxx=在(0,)+上是增函数 f（2）210ln=，f（3）2303ln=，在区间(2,3)内函数存在唯一的一个零点 2.二分法求函数零点 例 1用二分法研究函数3()31f xxx=+的零点时，第一次经计算(0)0f，(0.5)0f，可得其中一个零点0 x_，第二次应计算_ 以上横线上

21、应填的内容为()A(0,0.5)，(0.25)f B(0,1)，(0.25)f C(0.5,1)，(0.75)f D(0,0.5)，(0.125)f【解答】解：由题意可知：对函数3()31f xxx=+，(0)0f，(0.5)0f，且函数在区间(0,0.5)上连续，可得其中一个零点0(0.0.5)x，使得0()0f x=，根据二分法的思想可知在第二次计算时应计算(0.25)f，所以答案为：(0,0.5)，(0.25)f 故选：A 变式 1 用二分法研究函数31()()2f xxln x=+的零点时，第一次经计算(0)0f，1()02f，可得其中一个零点0 x 1(0,)2，第二次应计算 【解答

22、】解：(0)0f，1()02f，1(0)()02ff，其中一个零点01(0,)2x；第二次应计算的()f x的值为1012()()24ff+=；故答案为：1(0,)2，1()4f 3.数形结合法求函数零点 3.1两个函数的交点 例 1设函数21()1(0)2f xlgxxx=+，则()(f x )A在区间(0,1)和(1,2)内均没有零点 B在区间(0,1)内没有零点，而在区间(1,2)内有零点 C在区间(1,2)内没有零点，而在区间(0,1)内有零点 D在区间(0,1)和(1,2)内均有零点【解答】解：由21()102f xlgxx=+=，(0)x，得2112lgxx=，(0)x，作出函数(

23、)g xlgx=和21()12m xx=的图象，由图象可知两个函数有两个交点，即函数有两个零点，f（1）1111022lg=+=，f（2）212212102lglg=+=，当0 x，()0f x，在区间(0,1)和(1,2)内各有一个零点，故选：D 变式 1已知函数()yf x=的周期为 2，当 1x，1时2()f xx=，那么函数()yf x=的图象与函数5|log|yx=的图象的交点共有()A5 个 B6 个 C8 个 D10 个【解答】解：当 1x，1时，2()f xx=，()0f x，1；又函数()yf x=是最小正周期为 2 的函数，当xR时，()0f x，1 5|log|yx=的图

24、象即把函数5logyx=的图象在x轴下方的对称的反折到x轴的上方，且(0 x，1时，函数单调递减，0y，)+；(1,)x+时，函数5logyx=单调递增，(0,)y+，且5log 51=据以上画出图象如图所示：根据以上结论即可得到：函数()()yf x xR=的图象与5|log|yx=的图象的交点个数为 5 故选：A 例 2已知a，b，c均为正实数，若122logaa=，122logbb=，21()log2cc=则a，b，c的大小关系为 abc （用“连接）【解答】解：由题意可知，122alog a=，121()2blog b=，21()2clog c=，利用函数2xy=，1()2xy=，12

25、logyx=，2logyx=的图象交点的位置，即可判断：abc，故答案为：abc 变式 1已知函数2|21|,1()(),1xxf xlogxm x+=，若1231()()()(f xf xf xx=、2x、3x互不相等），且123xxx+的取值范围为(1,8)，则实数m的值为()A0 B1 C1 D2【解答】解：作出()f x的图象，如图所示，可令123xxx，则有图知点1(x，0)，2(x，0)，关于直线12x=对称，所以121xx+=，又123xxx+的取值范围为(1,8)，所以329x，由于1231()()()(f xf xf xx=、2x、3x互不相等），结合图象可知点A的坐标为(9

26、,3)，代入函数解析式，得23log(9)m=，解得1m=故选：C 变式 2已知函数|(010)()16(10)2lgxxf xxx=+，若a，b，c互不相等，且f（a）f=（b）f=（c），则abc的取值范围是()A(1,10)B(5,6)C(10,12)D(20,24)【解答】解：作出函数()f x的图象如图，不妨设abc，则16(0,1)2lgalgbc=+，1ab=，10612c+，则(10,12)abcc=，故选：C 例 3已知函数2()|3|f xxx=+，若方程()|1|0f xa x=恰有4 个互异的实数根，则实数a的取值范围为(0，1)(9，)+【解答】解：由()|1|0yf

27、 xa x=得()|1|f xa x=，作出函数()yf x=，()|1|yg xa x=的图象，当0a，()0f x，()0g x，两个函数的图象 不可能有 4 个交点，不满足条件；则0a，此时(1),1()|1|(1),1a xxg xa xa xx=，当30 x 时，2()3f xxx=，()(1)g xa x=，当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时23(1)xxa x=，即2(3)0 xa xa+=，则由2(3)40aa=，即21090aa+=，解得1a=或9a=，当9a=时，()9(1)g xx=，(0)9g=，此时不成立，此时1a=，要使两个函数有四个零点，则此时01a，若1a，

28、此时()(1)g xa x=与()f x，有两个交点，此时只需要当1x 时，()()f xg x=有两个不同的零点即可，即23(1)xxa x+=，整理得2(3)0 xa xa+=，则由2(3)40aa=，即21090aa+，解得1a（舍去）或9a，综上a的取值范围是(0，1)(9，)+故答案为：(0，1)(9，)+变式 1已知函数241,1()610,1xxf xxxx+=+关于x的不等式()220f xmxm的解集是1(x，23)(xx，)+，若1230 x x x，则实数m的取值范围是 1(4,)2 【解答】解：画出函数()yf x=的图象，x的不等式()220f xmxm，即为()(2

29、)2f xm x+，作出直线(2)2ym x=+，其恒过定点(2,2)，由解集是1(x，23)(xx，)+，若1230 x x x，可得10 x，20 x，30 x，结合图象可得0m，当直线(2)2ym x=+经过(0,1)时，可得221m+=，解得12m=；当直线(2)2ym x=+与直线14yx=平行时，4m=由直线(2)2ym x=+在()yf x=的上方，可得 142m 故答案为1(4,)2 例 4 已知函数2()|2|f xxx=+，xR 若方程()|2|0f xa x=恰有 4 个互异的实数根，则实数a的取值范围为(0，1)(9，)+【解答】解：方程()|2|0f xa x=，即为

30、()|2|f xa x=，即有2|2|2|xxa x+=，显然2x=不是方程的根，则22|2xxax+=，令2xt=，则4|5|att=+有 4 个不相等的实根，画出4|5|(0)yttt=+的图象，如右图：在41t 时，445251tttt+=在2x 时，459tt+，则要使直线ya=和4|5|ytt=+的图象有四个交点，则a的范围是(0，1)(9，)+，故答案为(0，1)(9，)+变式 1已知xR，符号 x表示不超过x的最大整数，若函数()(0)xf xa xx=有且仅有 3 个零点，则实数a的取值范围是()A3(4，45 B43，3)2 C3(4，3)2 D3(4，4453，3)2【解答

31、】解：由()(0)xf xa xx=，得 xax=，若0 x，设()xg xx=，则当01x，0 x=，此时()0g x=，当12x，1x=，此时1()g xx=，此时1()12g x，当23x，2x=，此时2()g xx=，此时2()13g x，当34x，3x=，此时3()g xx=，此时3()14g x，当45x，4x=，此时4()g xx=，此时4()15g x，作出函数()g x的图象，要使()xf xax=有且仅有三个零点，即函数()g xa=有且仅有三个零点，则由图象可知3445a，若0 x，设()xg xx=，则当10 x，1x=，此时1()g xx=，此时()1g x，当21x

32、，2x=，此时2()g xx=，此时1()2g x，当32x，3x=，此时3()g xx=，此时31()2g x，当43x，4x=，此时4()g xx=，此时41()3g x，当54x，5x=，此时5()g xx=，此时51()4g x，作出函数()g x的图象，要使()xf xax=有且仅有三个零点，即函数()g xa=有且仅有三个零点，则由图象可知4332a，综上，实数a的取值范围是3(4，4453，3)2 故选：D 3.2复合函数零点 例 1 设定义域为R的函数2|(0)()2(0)lgxxf xxx x=则关于x的函数22()3()1yfxf x=+的零点的个数为()A3 B7 C5

33、D6【解答】解：根据题意，令22()3()10fxf x+=，得()1f x=或1()2f x=作出()f x的简图：由图象可得当()1f x=或1()2f x=时，分别有 3 个和 4 个交点，若关于x的函数22()3()1yfxf x=+的零点的个数为 7 故选：B 变式 1 已知函数222,1()2|(1)|,1xxf xlogxx+=，则函数3()()2()2F xf f xf x=的零点个数是 4 【解答】解：令()f xt=，函数3()()2()2F xf f xf x=的零点个数问题3()202f tt=的根的个数问题 即()yf t=，322yt=+的图象如图（1），结合图象可

34、得3()202f tt=的根10t=，2(1,2)t 方程()0f x=有 1 解，2()f xt=有 3 解，综上，函数3()()2()2F xf f xf x=的零点个数是 4 故答案为：4 变式 2已知函数()yf x=和()yg x=在 2，2的图象如图所示：给出下列四个命题：方程()0g g x=有且仅有 3 个根 方程()0g f x=有且仅有 4 个根 方程()0f f x=有且仅有 5 个根 方程()0f g x=有且仅有 6 个根 其中正确的命题的序号是 【解答】解：由图象可得2()2g x，2()2f x，由于满足方程()0g g x=的()g x值有 2 个，而结合图象可

35、得，每个()g x值对应 2 个不同的x值，故满足方程()0g g x=的x值有 4 个，即方程()0g g x=有且仅有 4 个根，故不正确；满足()0g x=的有两个，一个值处于2与1间，另一个值处于 0 与 1 间，由图象可知，满足()f x值为该两值的有134+=个点，因此该方程有且仅有 4 个根 故正确 由于满足方程()0f f x=的()f x有 3 个不同的值，从图中可知，一个()f x等于 0，一个()(2f x ，1)，一个()(1f x，2)而当()0f x=对应了 3 个不同的x值；当()(2f x ，1)时，只对应一个x值；当()(1f x，2)时，也只对应一个x值 故

36、满足方程()0f f x=的x值共有 5 个，故正确 由于满足方程()0f g x=的()g x有三个不同值，由于每个值()g x对应了 2 个x值，故满足()0f g x=的x值有 6 个，即方程()0f g x=有且仅有 6 个根，故正确 故答案为：例 2关于x的方程222(1)|1|0 xxk=，给出下列四个命题：存在实数k，使得方程恰有 2 个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有 4 个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有 5 个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有 8 个不同的实根 其中真命题的个数是()A0 B1 C2 D4【解答】解：由222(1)|1|0 xxk=，得222(1

37、)|1|kxx=，令()()422224232,11(1)1,(11)xxxxf xxxxxx+=或 当01x 时，由42()f xxx=，得32()422(21)fxxxxx=，当2(0,)2x时，()0fx，()f x单调递减，当2(2x，1)时，()0fx，()f x单调递增，()f x有极小值为21()24f=当1x时，由42()32f xxx=+，得32()462(23)fxxxxx=，当6(1,)2x时，()0fx，()f x单调递减，当6(2x，)+时，()0fx，()f x单调递增()f x有极小值为63()24f=又()f x为偶函数，作出函数()f x的图象如图：由图可知，

38、直线yk=与()yf x=的图象可以是 2、4、5、8 个交点 正确的命题是4 个 故选：D 变式 1 关于x的方程2(21)(32)|21|120 xxkk+=有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 1|2k k=或0k 【解答】解：设|21|xt=，则原方程转化为2(32)120tktk+=由图象可知，当1t时，|21|xt=，有一个解 当01t时，|21|xt=，有 2 个解，当0t=时，|21|xt=，有一个解 所以要使关于x的方程2(21)(32)|21|120 xxkk+=有三个不相等的实数根，则方程2(32)120tktk+=的根满足 10t=，201t或者11t，201t

39、若10t=，则120k+=，解得12k=，此时方程为2102tt=，对应方程的根为0t=或12t=，满足条件 若11t，201t，设2()(32)12f ttktk=+，则有(0)0(1)0ff，即(0)120(1)0fkfk=+=，所以解得0k 综上：实数k的取值范围是1|2k k=或0k 故答案为：1|2k k=或0k 例 3若关于x的方程2|2xkxx=+有四个不同的实根，则实数k的取值范围是 1k 【解答】解：由于关于x的方程2|2xkxx=+有四个不同的实根，0 x=是此方程的 1 个根，故关于x的方程2|2xkxx=+有 3 个不同的非零的实数解 方程(2),01(2),0 x x

40、xx xxk+=+有 3 个不同的非零的实数解，即函数1yk=的图象和函数(2),0()(2),0 x xxg xx xx+=+的图象有 3 个交点，画出函数()g x的图象，如图所示：故101k，解得1k，故答案为：1k 变式 1已知函数()|3f xx=，关于x的方程2()4|()|0fxf xk+=恰有 8 个不同的实根，则实数k的取值范围是(3,4)【解答】解：关于x的方程2()4|()|0fxf xk+=2(|3)4|3|0 xxk+=2(|3)4|3|xxk+=，函数2()()|()|g xfxf x=+图象，如图所示，由图象知，当2()()4|()|g xfxf x=+图象与直线

41、yk=有 8 个交点时，实数k的取值范围为(3,4)，故答案为(3,4)三、课后练习 1已知函数()1xf xex=+，则它的零点在所在区间为()A(2,1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)【解答】解：()1xf xex=+的图象在R上连续，2(2)210fe=+，(1)1 10fe=+，(0)1010f=+，f（1）11 10e=+，f（2）222110ee=+=，故f（1）f（2）0，故选：D 2函数()34xf x=的零点所在区间为()A(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)【解答】解：因为()34xf x=，所以f（1）3410=，f（2）23450=，所以根据根的存在性定

42、理可知在区间(1,2)内，函数存在零点 故选：C 3定义域和值域均为 a，a（常数0)a 的函数()yf x=和()yg x=的图象如图所示，给出下列四个命题：（1）方程()0f g x=有且仅有三个解；（2）方程()0g f x=有且仅有三个解；（3）方程()0f f x=有且仅有九个解；（4）方程()0g g x=有且仅有一个解 那么，其中正确命题的个数是()A（1）（4）B（2）（3）C（1）（3）D（2）（4）【解答】解：（1）()g xa，a，方程()0f g x=有且仅有三个解，正确；（2）()f xa，a，方程()0g f x=有且仅有一个解，故不正确；（3）方程()0f f x

43、=的解最多有九个解，因此不正确；（4）()g xa，a，方程()0g g x=有且仅有一个解，正确 综上可得：正确的是（1）（4）故选：A 4 若关于x的方程11()(23)()042xxmmm+=在(,1)上有唯一实数解，则实数m的取值范围()A(0，23或34 B(0，23 C(0，29或14 D(0，29【解答】解：设1()2xt=，则当(,1)x 时，1(,)2t+，此时，由题意，得2(23)0mtmtm+=，1(,)2t+有唯一实数解，2331212tmtttt=+，1(,)2t+有唯一实数解，令1()2u ttt=+，由对勾函数的性质可知，当1(,)2t+时，1()2u ttt=+

44、在1(,1)2单调递减，在1,)2+上单调递增，3()yu t=在1(,1)2单调递增，在1,)2+上单调递减，且当12t=时，3213()2yu=，当1t=时34y=，结合3()yu t=的图象可知，若ym=与3()yu t=的图象有唯一交点，即方程11()(23)()042xxmmm+=在1(,)2+上有唯一实数解，此时m的取值范围是2|03mm或34m=故选：A 5已知函数22,()52,xxaf xxxx a+=+，若函数()()2g xf xx=恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A 1，1)B 1，2)C 2，2)D0，2【解答】解：函数22,()52,xxaf xxxx

45、a+=+，2522xxx+=，可得2320 xx+=，解得1x=，2x=2yx=+与2yx=的交点为：2x=，4y=，函数()yf x=与2yx=的图象如图：函数()()2g xf xx=恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是：12a 故选：B 6已知函数()f x是定义在(，0)(0，)+上的偶函数，当(0,)x+时，2(1),02()1(2),22xxf xf xx=，则函数2()8()6()1g xfxf x=+的零点个数为()A20 B18 C16 D14【解答】解：(0 x，2时，2()(1)f xx=，又1()(2)2f xf x=，当(0,)x+时，即将()f x在区间(0，2

46、图象依次向右移 2 个单位的同时再将纵坐标缩短为原来的12倍，得到函数()f x在(0,)+上的图象关于y轴对称得到(,0)的图象如图所示：令()0g x=，得1()2f x=或1()4f x=，即12y=与14y=两条直线截函数()yf x=图象共 16 个交点，所以函数()g x共有 16 个零点 故选：C 7关于x的方程2(|1)|1|0 xxk=，给出下列四个命题 存在实数k，使得方程恰有 2 个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有 4 个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有 5 个不同的实根；存在实数k，使得方程恰有 7 个不同的实根 其中正确的命题个数是()A3 B2 C1 D0【

47、解答】解：关于x的方程222(1)|1|0 xxk=可化为222(1)(1)0(1xxkx=或1)x（1）或222(1)(1)0(11)xxkx+=（2）当2k=，即2k=时，方程（1）的解为3，方程（2）无解，原方程恰有 2 个不同的实根 当14k=，即14k=时，方程（1）有两个不同的实根62，方程（2）有两个不同的实根22，即原方程恰有 4 个不同的实根 当0k=时，方程（1）的解为1，1+，2，方程（2）的解为0 x=，原方程恰有 5 个不同的实根 当29k=，即29k=时，方程（1）的解为153，2 33，方程（2）的解为33，63，即原方程恰有 8 个不同的实根 三个命题都是真命题

48、 故选：A 8已知函数2()2f xxx=，1,0()1,04xxg xxxx+=+，若函数()yg f xa=有 4 个零点，则实数a的取值范围是()A(0，1 B1(2，1 C1(2，5)4 D1，5)4【解答】解：当220 xx，即2x或0 x时，2()21yg f xxx=+，故()yg f x=在(，2上是增函数，1maxy=，()yg f x=在0，)+上是减函数，1maxy=；当220 xx，即20 x 时，221()24(2)yg f xxxxx=+，而22yxx=在(2,1)上是增函数，在(1,0)上是减函数；且2021xx，1()4yg xxx=+在1(0,)2上是减函数，

49、在1(2，1)上是增函数；令2122xx解得，(2x，2222)(22+，0)；令2122xx解得，22(2x+，22)2；故221()24(2)yg f xxxxx=+在22(2,)2+上是减函数，在22(2+，1)上是增函数，在22(1,)2 上是减函数，在22(2，0)上是增函数；且2222()()122f gf g+=，5(1)4f g=；故()yg f x=在(，2上是增函数，1maxy=，()yg f x=在0，)+上是减函数，1maxy=；作其图象如图，结合图象可知，实数a的取值范围是1，5)4，故选：D 9已知函数1,0(),0kxxf xlnx x+=，则下列关于函数()1y

50、f f x=+的零点个数的判断正确的是()A当0k 时，有 3 个零点；当0k 时，有 2 个零点 B当0k 时，有 4 个零点；当0k 时，有 1 个零点 C无论k为何值，均有 2 个零点 D无论k为何值，均有 4 个零点【解答】解：分四种情况讨论（1）1x 时，0lnx，()1()1yf f xln lnx=+=+，此时的零点为11exe=；（2）01x时，0lnx，()11yf f xklnx=+=+，则0k 时，有一个零点，0k 时，10klnx+没有零点；（3）若0 x，1 0kx+时，2()11yf f xk xk=+=+，则0k 时，1kx，2k xk，可得20k xk+，y有一