实验一ARIMA模型建立与应用.pdf
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1、 1 实验一 ARIMA 模型建立与应用 一、实验项目:ARIMA 模型建立与预测。二、实验目的 1、准确掌握 ARIMA(p,d,q)模型各种形式和基本原理;2、熟练识别 ARIMA(p,d,q)模型中的阶数 p,d,q 的方法;3、学会建立及检验 ARIMA(p,d,q)模型的方法;4、熟练掌握运用 ARIMA(p,d,q)模型对样本序列进行拟合和预测;三、预备知识(一)模型 1、AR(p)(p 阶自回归模型)tptptttuxxxx2211 其中 ut白噪声序列,是常数(表示序列数据没有 0 均值化)AR(p)等价于ttppuxLLL)1(221 AR(p)的特征方程是:01)(221p
2、pLLLL AR(p)平稳的充要条件是特征根都在单位圆之外。2、MA(q)(q 阶移动平均模型)qtqttttuuuux2211 ttqqtuLuLLLx)()1(221 其中ut是白噪声过程。MA(q)平稳性 MA(q)是由 ut本身和 q 个 ut的滞后项加权平均构造出来的,因此它是平稳的。MA(q)可逆性(用自回归序列表示 ut)ttxLu1)(可逆条件:即1)(L收敛的条件。即(L)每个特征根绝对值大于 1,即全部特征根在单位圆之外。3、ARMA(p,q)(自回归移动平均过程)qtqtttptptttuuuuxxxx22112211 ttqqtpptuLuLLLxLLLxL)()1()
3、1()(221221 ttuLxL)()(ARMA(p,q)平稳性的条件是方程(L)=0 的根都在单位圆外;可逆性条件是方程(L)=0 的根全部在单位圆外。2 4、ARIMA(p,d,q)(单整自回归移动平均模型)差分算子:tdtdttttttttttttxLxxLxLxLxxxxLLxxxxx)1()1()1()1()1(21121 对 d 阶单整序列xtI(d)tdtdtxLxw)1(则 wt 是平稳序列,于是可对 wt 建立 ARMA(p,q)模型,所得到的模型称为 xtARIMA(p,d,q),模型形式是 qtqtttptptttuuuuwwww22112211 ttduLxL)()(
4、由此可转化为 ARMA 模型。(二)模型识别 要建立模型 ARIMA(p,d,q),首先要确定 p,d,q,步骤是:一是用单位根检验法,确定 xtI(d)的 d;二是确定 xt AR(p)中的 p;三是确定 xt MA(q)中的 q。平稳序列自相关函数 0000)var()var(),cov()var()var(),cov(rrxxxxxxxxkkkttkttk 0=1,-k=k(对称)1、平稳 AR(p)的自相关系数和偏自相关系数(1)平稳 AR(p)的自相关系数 tptptttuxxxx2211 i0 pkpkkk2211,k0 平稳 AR(p)的自相关系数是 pkpkkk2211,k0(
5、2)k 阶平稳自回归过程 AR(k)的偏自相关系数 tktkktktktuxxxx2211 jttjtktkkjttkjttkjttxuxxxxxxxx2211 kjkkjkjkj2211 两边同除以0 3 kjkkjkjkj2211 对任意j0都成立。根据10和对称性jj,得到 Yule-Walker 方程组 kkkkkkkkkkkkkkkkk22112211211211 对于给定的 k,1,2,k 已知,每个方程组最后一个解就是相应的偏自相关系数:11,22的,kk。3 是 k=3 的自相关系数,意义:度量平稳序列 xt 与 xt-3 的相关系数,至于中间 xt-1,xt-2 起什么作用无
6、法顾及。33的 k=3 的偏自相关系数。意义:剔除中间变量 xt-1,xt-2 的影响后,度量 xt 与 xt-3 的相关程度。2、平稳 MA(q)的自相关系数和偏自相关系数(1)MA(q)自相关系数 qtqttttuuuux2211 qkqkkxxEqqkkkqkttk,00),(0),1()(112222212 qkqkkrrqqqkkkkk,00),1/()(0,122221110 当 kq 时,k=0,xt 与 xt+k 不相关,这种现象称为截尾,因此可根据自相关系数是否从某一点开始一直为 0 来判断 MA(q)模型的阶数 q。(2)MA(q)偏自相关系数 MA(q)模型对应一个 AR
7、(),通过 AR()来解决 3、ARMA(p,q)有拖尾特征,p 和 q 的识别通过从低阶逐步试探直到合适的模型为止。(三)模型估计 用 Eviews 软件进行估计(四)模型检验 1、用 t 统计量检验模型参数显著性;2、为保证 ARMA(p,q)的平稳性和可逆性,模型特征根皆应在单位圆以外,或倒数在单位圆内;3、用 Q 统计量对残差进行白噪声检验。原假设和备择假设 0:211KH(序列不存在自相关,是白噪声)4 KH,:210不全为 0(序列存在自相关,不是白噪声)统计量)()1(212KKTrTTQKkk 其中上述 r 是样本相关系数,T 是样本容量,分布是极限分布。K 是自相关系数的个数
8、,即最大滞后期。若样本较大,则 K=T/10或 T 的平方根;若样本较小,则 K=T/4。判别规则是:)(2KQ接受原假设,)(2KQ拒绝原假设。(五)模型外推预测 已有 ARMA(p,q)模型 qtqtttptptttuuuuxxxx22112211 和观察值 Xt,Xt-1,Xt-2,X1。把观察值代入,在 t+1 时刻有 1121111211qtqtttptptttuuuuXXXX 上式中,观察值已知,只有误差处理问题。下标大于 t 的误差项,由于未来的误差未知,因此用期望值 0 代替未来的误差。下标从 1 到 t 的误差项,可用残差估计值(要建模时可找到)代替。于是 1 步预测公式:1
9、12111210)1(qtqttptptttuuuXXXX 类似地,2 步预测公式和 l 步预测公式分别是:2132222100)1()2(qtqttptptttuuuXXXX hqtqththtptttuuuphXhXhXhX1121)()2()1()(其中,h-p0 时,0hqtu 四、实验内容 1、ARIMA(p,d,q)模型阶数识别;2、ARIMA(p,d,q)模型估计与检验;3、ARIMA(p,d,q)模型外推预测。五、实验软件环景:Eviews 软件。六、实验步骤:按、以美元对欧元汇率 1993.1 到 2007.12 的月均价数据为例进行实验。(一)创建 Eviews 工作文件(
10、Workfile)从 Eviews 主选单中选“File/New Workfile”,选择“monthly”选项,输入“Start date:1993:01End date:2007:12”。5 (二)录入数据,并对序列进行初步分析 1、导入数据 Quick/Empty Group 在 Ser01 输入数据;改变量名:点击 Ser01 全选第一列,在命令栏输入 EURO。将文件保存命名,注意存放地址。6 2、序列初步分析 选定变量 EURO,双击它,ViewGraphLine,输出 EURO 的曲线 7 从图形看到美元对欧元汇率在2001 年左右处于高位,2002 年以后一直处于下跌态势。数据
11、总体上类似于随机游走过程形式,应该是非平稳的。(三)ARIMA(p,d,q)模型阶数识别 1、确定单整阶数d(1)用不含时间趋势项、解释变量中不含差分项的模型,即对模型ttteuroeuro1进行单位检验(Unit Root Test)。假设0:0H;备择假设0:1H。在工作文件窗口,选定变量EURO,双击它,在EURO页面上,点击ViewUnit Root TestADF,表示已经进入扩展的DF检验。选择Level(对水平变量进行单位根检验,检验系数对应的项EUROt-1)Intercept(不含时间趋势变量)Automatic selecttion(解释变量不含EUROt-1的差分),并且
12、在maximum中选择0(表示差分滞后项数取0,即不含EUROt-1的差分)8 Null Hypothesis:EURO has a unit root Exogenous:Constant Lag Length:0(Automatic based on SIC,MAXLAG=0)t-Statistic Prob.*Augmented Dickey-Fuller test statistic-0.583908 0.8699 Test critical values:1%level -3.466994 5%level -2.877544 10%level -2.575381 *MacKinnon
13、(1996)one-sided p-values.Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable:D(EURO)Method:Least Squares Date:04/11/11 Time:08:24 Sample(adjusted):1993M02 2007M12 Included observations:179 after adjustments Variable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob.EURO(-1)-0.007496 0.012838-0.583908 0.56
14、00 C 0.005875 0.011475 0.511990 0.6093 R-squared 0.001923 Mean dependent var-0.000766 Adjusted R-squared-0.003716 S.D.dependent var 0.020297 S.E.of regression 0.020334 Akaike info criterion-4.941907 9 Sum squared resid 0.073187 Schwarz criterion-4.906293 Log likelihood 444.3006 F-statistic 0.340948
15、Durbin-Watson stat 1.369377 Prob(F-statistic)0.560026 得到结果 1007496.0005875.0tteuroeuro t=(0.511990)(-0.583908)p=(0.6093)(0.5600)要确定差分方程的样本容量 T,原有的样本容量是 180,差分后样本容量是T=179;取=5%,查附表 2,得临界值=-2.88;统计量观察值为t=-0.583908=-2.88,所以接受假设(从概率值大于 0.05 也得到接受的结论),即认为汇率序列(EURO)是非平稳的。(2)对模型ttteuroeuro12,作假设0:0H;备择假设0:1
16、H。在工作文件窗口,选定变量 euro,双击,在 euro 页面上,点击 ViewUnit Root TestADF,表示已经进入扩展的 DF 检验。选择 1st different(对 1 阶差分进行单位根检验,检验系数对应的项是eurot-1)Intercept(不含时间趋势变量)User specifi 取 0(解释变量不含eurot-1的差分)。得到结果 Null Hypothesis:D(EURO)has a unit root Exogenous:Constant Lag Length:0(Automatic based on SIC,MAXLAG=0)t-Statistic Pr
17、ob.*Augmented Dickey-Fuller test statistic-9.676555 0.0000 Test critical values:1%level -3.467205 10 5%level -2.877636 10%level -2.575430 *MacKinnon(1996)one-sided p-values.Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable:D(EURO,2)Method:Least Squares Date:04/11/11 Time:08:36 Sample(adjusted
18、):1993M03 2007M12 Included observations:178 after adjustments Variable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob.D(EURO(-1)-0.691721 0.071484-9.676555 0.0000 C-0.000638 0.001452-0.439553 0.6608 R-squared 0.347267 Mean dependent var-8.27E-05 Adjusted R-squared 0.343559 S.D.dependent var 0.023885 S.E.of
19、regression 0.019352 Akaike info criterion-5.040911 Sum squared resid 0.065909 Schwarz criterion-5.005160 Log likelihood 450.6411 F-statistic 93.63572 Durbin-Watson stat 1.871573 Prob(F-statistic)0.000000 由软件输出结果得到回归模型 12691721.0000638.0tteuroeuro t=(-0.439553)(-9.676555)p=(0.6608)(0.0000)取=5%,求样本容量
20、T,原来样本容量是 180,2 阶差分分后 T=178,查附表 2,得 DF 检验的临界值为=-2.88,对euro 平稳性检验的统计量观察值为t=-9.6765550.05,接受序列不相关的假设,即认为残差序列是白噪声。类似地,对模型 ARIMA(2,1,0)、ARIMA(0,1,1)、ARIMA(1,1,1)、ARIMA(2,1,1)进行估计与检验。ARIMA(1,1,0),ARIMA(2,1,0)、ARIMA(0,1,1)三个检验都通过参数显著性检验,模型平稳性和可逆性检验,残差序列白噪声检验。但是模型 ARIMA(1,1,1)、ARIMA(2,1,1)没有通过检验。16 模型评价与比较
21、 模型 1 1 1 R2 p-Q ARIMA(1,1,0)0.310 0.095 0.340 ARIMA(2,1,0)0.373-0.202 0.126 0.698 ARIMA(0,1,1)0.385 0.122 0.727 R2 和 p-Q 两指标越大越好,ARIMA(1,1,0)不好,在一样好的两模型ARIMA(2,1,0)和 ARIMA(0,1,1)中,ARIMA(2,1,0)用自回归信息预测,所以在预测方面 ARIMA(2,1,0)明显好。最终选择 ARIMA(2,1,0):21202.0373.0tttwww tttxLxw)1(即 21)1(202.0)1(373.0)1(tttx
22、LxLxL 321202.0575.0373.1ttttxxxx(五)模型外推应用 已知 2007:12,2007:11,2007:10 的汇率分别是:0.68686,0.68111,0.70249,利用 ARIMA(2,1,0)模型对 2008 年 1 月美元对欧元汇率进行预测。693.070249.0202.068111.0575.068686.0373.1202.0575.0373.11211tttttuxxxx 附录资料:不需要的可以自行删除 Excel 表格的基本操作教程 Excel 快捷键和功能键 Ctrl 组合快捷键 按键 说明 17 Ctrl+(取消隐藏选定范围内所有隐藏的行。
23、Ctrl+)取消隐藏选定范围内所有隐藏的列。Ctrl+&将外框应用于选定单元格。Ctrl+_ 从选定单元格删除外框。Ctrl+应用“常规”数字格式。Ctrl+$应用带有两位小数的“货币”格式(负数放在括号中)。Ctrl+%应用不带小数位的“百分比”格式。Ctrl+应用带有两位小数的“指数”格式。Ctrl+#应用带有日、月和年的“日期”格式。Ctrl+应用带有小时和分钟以及 AM 或 PM 的“时间”格式。Ctrl+!应用带有两位小数、千位分隔符和减号(-)(用于负值)的“数值”格式。Ctrl+-显示用于删除选定单元格的“删除”对话框。Ctrl+*选择环绕活动单元格的当前区域(由空白行和空白列围
24、起的数据区域)。在数据透视表中,它将选择整个数据透视表。Ctrl+:输入当前时间。Ctrl+;输入当前日期。Ctrl+在工作表中切换显示单元格值和公式。Ctrl+将公式从活动单元格上方的单元格复制到单元格或编辑栏中。Ctrl+将值从活动单元格上方的单元格复制到单元格或编辑栏中。Ctrl+显示用于插入空白单元格的“插入”对话框。Ctrl+1 显示“单元格格式”对话框。Ctrl+2 应用或取消加粗格式设置。Ctrl+3 应用或取消倾斜格式设置。Ctrl+4 应用或取消下划线。Ctrl+5 应用或取消删除线。Ctrl+6 在隐藏对象、显示对象和显示对象占位符之间切换。Ctrl+7 显示或隐藏“常用”
25、工具栏。18 Ctrl+8 显示或隐藏大纲符号。Ctrl+9 隐藏选定的行。Ctrl+0 隐藏选定的列。Ctrl+A 选择整个工作表。如果工作表包含数据,则按 Ctrl+A 将选择当前区域。再次按 Ctrl+A 将选择整个工作表。当插入点位于公式中某个函数名称的右边时,则会显示“函数参数”对话框。当插入点位于公式中某个函数名称的右边时,按 Ctrl+Shift+A 将会插入参数名称和括号。Ctrl+B 应用或取消加粗格式设置。Ctrl+C 复制选定的单元格。如果连续按两次 Ctrl+C,则会显示 Microsoft Office 剪贴板。如果工作表包含数据,则按 Ctrl+A 将选择当前区域。
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