2017年中考数学压轴题练习《正方形问题》.pdf

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1、-1 如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 的两侧作正方形 BEFG和正方形 DMNK，恰好使得 N、A、F 三点在一直线上，连接MF 交线段 AD 于点 P，连接 NP，设正方形 BEFG 的边长为 x，正方形 DMNK 的边长为 y（1）求 y 关于 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围；（2）当NPF 的面积为 32 时，求 x 的值；（3）以 P 为圆心，AP 为半径的圆能否与以 G 为圆心，GF 为半径的圆相切？如果能，请求出 x 的值，如果不能，请说明理由 解析：（1）正方形 BEFG、正方形 DMNK、正方形 ABCD EF90O，AEMC，MCNK AENK，KNAEAF

2、 KNAEAF，NK EA KA EF ，即 y x6 y6 x yx6（0 x 6）（2）由（1）知 NKAE，ANAF 正方形 DMNK，APNM，FP PM AF AN 1 FPPM，SMNP SNPF 32 S正方形DMNK 2SMNP 64 y8，x2（3）连接 PG，延长 FG 交 AD 于点 H，则 GHAD 易知：AP y 2 ，AHx，PH y 2 x，HG6；PGAPGF y 2 x 当两圆外切时 在 RtGHP 中，PH 2HG 2PG 2，即(y 2 x)26 2(y 2 x)2 解得：x33 3（舍去）或 x33 3 当两圆内切时 在 RtGHP 中，PH 2HG 2

3、PG 2，即(y 2 x)26 2(y 2 x)2 方程无解 所以，当 x3 33 时，两圆相切 N K G C E D F A B P M-2 已知：正方形 ABCD 的边长为 1，射线 AE 与射线 BC 交于点 E，射线 AF 与射线 CD 交于点 F，EAF45，连接 EF（1）如图 1，当点 E 在线段 BC 上时，试猜想线段 EF、BE、DF 有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（2）设 BEx，DFy，当点 E 在线段 BC 上运动时（不包括点 B、C），求 y 关于 x 的函数解析式，并指出 x 的取值范围；（3）当点 E 在射线 BC 上运动时（不含端点 B），点 F 在射线

4、CD 上运动试判断以 E 为圆心，以BE 为半径的E 和以 F 为圆心，以 FD 为半径的F 之间的位置关系；（4）如图 2，当点 E 在 BC 的延长线上时，设 AE 与 CD 交于点 G问：EGF 与EFA 能否相似？若能相似，求出 BE 的长，若不可能相似，请说明理由 解析：（1）猜想：EFBEDF 证明：将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90，得ABF，易知点 F、B、E 在同一直线上（如.图 1）AFAF FAE1323904545EAF 又 AEAE，AFEAFE EFFEBEBFBEDF（2）在 RtEFC 中，EC 2FC 2EF 2 EC1x，FC1y，EFxy(1x)2(1y

5、)2(xy)2 A B D C E F 图 1 A B D C E F G 图 2 A B D C E F 图 1 F 1 2-y 1x 1x（0 x 1）（3）当点 E 在点 B、C 之间时，由（1）知 EFBEDF，故此时E 与F 外切；当点 E 在点 C 时，DF0，F 不存在.当点 E 在 BC 延长线上时，将ADF 绕点 A 顺时针旋转 90，得ABF（如图 2）则 AFAF，12，BFDF，FAF90 FAEEAF45 又 AEAE，AFEAFE EFEFBEBFBEDF 此时E 与F 内切 综上所述，当点 E 在线段 BC 上时，E 与F 外切；当点 E 在 BC 延长线上时，E

6、 与F 内切（4）EGF 与EFA 能够相似，只要当EFGEAF45 即可 此时 CECF 设 BEx，DFy，由（3）知 EFxy 在 RtCFE 中，CE 2CF 2EF 2(x1)2(1y)2(xy)2 y x1 x1（x 1）由 CECF，得 x11y，即 x11 x1 x1 化简得 x 22x10，解得 x11 2（舍去），x21 2 EGF 与EFA 能够相似，此时 BE 的长为 1 2 3 已知：如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，B90，AD2，BC6，AB3E 为 BC 边上一点，以 BE 为边作正方形 BEFG，使正方形 BEFG 和梯形 ABCD 在 BC 的同侧（

7、1）当正方形的顶点 F 恰好落在对角线 AC 上时，求 BE 的长；（2）将（1）问中的正方形 BEFG 沿 BC 向右平移，记平移中的正方形 BEFG 为正方形 BEFG，当点 E 与点 C 重合时停止平移 设平移的距离为 t，正方形 BEFG 的边 EF 与 AC 交于点 M，连接 BD，BM，DM是否存在这样的 t，使BDM 是直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形 BEFG 与ADC 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与 tA B D C E F G 图 2 F 1 2-之间的函数关系式以及自变量 t 的取值范围 解析：（1

8、）如图，设正方形 BEFG 的边长为 x 则 BEFGBGx AB3，BC6，AGABBG3x GFBE，AGFABC AG AB GF BC ，即 3x 3 x 6 解得 x2，即 BE2（2）存在满足条件的 t，理由如下：如图，过 D 作 DHBC 于点 H 则 BHAD2，DHAB3 由题意得：BBHEt，HB|t2|，EC4t 在 RtBME 中，BM 2BE 2ME 22 2(2 1 2 t)2 1 4 t 22t8 EFAB，MECABC ME AB EC BC ，即 ME 3 4t 6 ，ME2 1 2 t 在 RtDHB 中，BD 2DH 2BH 23 2(t2)2t 24t1

9、3 过 M 作 MNDH 于点 N 则 MNHEt，NHME2 1 2 t DNDHNH3(2 1 2 t)1 2 t1 在 RtDMN 中，DM 2DN 2MN 2 5 4 t 2t1（）若DBM90，则 DM 2BM 2BD 2 即 5 4 t 2t1(1 4 t 22t8)(t 24t13)，解得 t 20 7 （）若BMD90，则 BD 2BM 2DM 2 B A C D B A C D 备用图 B A C D 图 E F G B A C D 图 E F G H B M N-即 t 24t13(1 4 t 22t8)(5 4 t 2t1)，解得 t13 17，t23 17 0t 4，t

10、3 17（）若BDM90，则 BM 2BD 2DM 2 即 1 4 t 22t8(t 24t13)(5 4 t 2t1)，此方程无解 综上所述，当 t 20 7 或3 17 时，BDM 是直角三角形（3）当 0t 4 3 时，S 1 4 t 2 当 4 3 t 2 时，S 1 8 t 2t 2 3 当 2t 10 3 时，S 3 8 t 22t 5 3 当 10 3 t 4 时，S 1 2 t 5 2 提示：当点 F 落在 CD 上时，如图 FE2，EC4t，DH3，HC4 由FECDHC，得 FE EC DH HC 即 2 4t 3 4 ，t 4 3 当点 G 落在 AC 上时，点 G 也在

11、 DH 上（即 DH 与 AC 的交点）t2 当点 G 落在 CD 上时，如图 GB2，BC6t 由GBCDHC，得 GB BC DH HC 即 2 6t 3 4 ，t 10 3 当点 E 与点 C 重合时，t4 当 0t 4 3 时，如图 MFt，FN 1 2 t SSFMN 1 2 t 1 2 t 1 4 t 2 当 4 3 t 2 时，如图 B A C D 图 E F G B M N B A C D 图 E F G B M N P Q B A C D 图 E F G B H B A C D 图 E F G B H-PFt 4 3 ，FQ 3 4 PF 3 4 t1 SFPQ 1 2(t

12、4 3 )(3 4 t1)3 8 t 2t 2 3 SSFMN SFPQ 1 4 t 2(3 8 t 2t 2 3 )1 8 t 2t 2 3 当 2t 10 3 时，如图 BM 1 2 BC 1 2(6t)3 1 2 t GM2(3 1 2 t)1 2 t1 S梯形GMNF 1 2(1 2 t1 1 2 t)2t1 SS梯形GMNF SFPQ(t1)(3 8 t 2t 2 3 )3 8 t 22t 5 3 当 10 3 t 4 时，如图 PB 3 4 BC 3 4(6t)9 2 3 4 t GP2(9 2 3 4 t)3 4 t 5 2 S梯形GPQF 1 2(3 4 t 5 2 3 4 t1)2 3 2 t 7 2 SS梯形GMNF S梯形GPQF(t1)(3 2 t 7 2 )1 2 t 5 2 B A C D 图 E F G B P Q M N B A C D 图 E F G B P Q N M