(完整版)山东科技大学概率统计简明教程主编卓相来第六章习题详细答案石油大学出版社.pdf

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1、习题六 1.设总体X)6,(N,从中抽取容量为 25 的一个样本,求样本方差2S小于 9.1 的概率.解 X)6,(N,由22)1(Sn)1(2n,于是 222225 19.1(1)9.12436.412436.466nSP SPpp 1 0.050.95.2.设1210,XXX是取自正态总体2(0,0.3)N的样本,试求10211.44iiPX.解：由212niiXu2()n，于是 102102212211.441.4410160.10.30.3iiiiXPXPP.3.设总体X(,4)N a,nXXX,21是取自总体X的一个样本,X为样本均值,试问样本容量n分别为多大时,才能使以下各式成立，

2、210.1;20.1;310.95.E XaE XaP Xa 解（1）因为X4(,),N an所以4Xan(0,1),N从而24Xan2(1),于是 2241,0.1,40.4XaEE Xannn所以（2）因为4Xan(0,1),N所以 2222222001222,242222xxxXaxExedxxedxedn 所以242 20.1,2E Xann从而800254.7,255.nn故（3）因为 1111210.95,244444XaXanP XaPPnnnnn 所以0.975,1.96=0.9751.9615.37,16.22nnnn而，从而，故 4.已知总体X),10(2N,为未知,123

3、4,XXXX总体X的一个样本,2XS、分别为样本均值和样本方差（1）构造一个关于X的统计量Y,使得)3(tY;（2）设92.1s,求使100.95PX的.解（1）22222211030,1,1,3,2nSXSNn 221021023.33XXYtSS（2）221022101210.95,SXPXPtnSSS 所以2210.025,4,3.1824,1.92,3.0551.StnnSS 5.为了估计总体均值,抽取足够大的样本,以 95%的概率使样本均值偏离总体均值不超过总体标准差的 25%,试求样本容量.解 0.250.25444XuXunnXunP XuPPPnn2195%,0.975,1.9

4、6,61.4656,62.444nnnnn 所以所以样本容量6.从总体X)2,12(2N中抽取容量为 5 的样本521,XXX，试求(1)样本的极小值小于 10 的概率;(2)样本的极大值大于 15 的概率.解（1）125125min,101min,10PXXXPXXX 55111210 121101122iiiiXP XP 511110.5785.i （2）125125max,151max,15PXXXPXXX 555111215 12111.510.93320.2923.22iiiXP 7.从两个正态总体中分别抽取容量为 25 和 20 的两个独立样本,算得样本方差依次为2162.7S，2

5、225.6S,若两总体方差相等,求随机抽取的两个样本的样本方差之比2221SS大于6.257.62的概率是多少？解 22212112222122/1,124,19/SSSF nnFS，所以2211222262.72.450.025.25.6SSPPSS 8.设nXXX,21是总体),(2NX的一个样本,样本方差,)(11212niiXXnS证明12)(42nSD.证 因为)1()1(222nSn，而)1(2)1(2nnD，所以12)1(2)1()1(1)(4242222nnnSnnDSD.9.设12,XX分别是取自正态总体),(2N的容量均为n的相互独立的两个样本的样本均值，试确定n,使得两个

6、样本均值之差超过的概率大于01.0.解 221212(,),(,),(0,1),2XXXN uXN uNnnn 1212121220.01,22222XXXXnnnP XXPPnn 0.995,2.575,13.22nnn 10.设总体()X,nXXX,21为总体X的一个样本.X,2S分别为样本均值和样本方差，试求(1)（12,nXXX）的分布律;(2)2(),(),()E XD XE S 解 (1)因为,!ixiiieP Xxx所以11112,.!niixnnnniiiineP XxXxP Xxx xx(2),1,2,iiE XD Xin 所以 211111,nniiiiE XEXD XDX

7、nnn 2222222111111111nnniiiiiiE SEXXEXnXEXnXnnn 2211.1nnnn 11.从总体)6,4.3(2N中抽取容量为n的样本,如要求其样本均值位于区间)4.5,4.1(内的概率不小于95.0,问样本容量n至少应取多大？解 363.4(3.4,),(0,1),6XXNNnn 3.41.45.4210.95,3336nXnnPXPn 0.975,35.3nn 12.设样本观察值nxxx,21的平均值为x,样本方差为2xS,作变换caxyii 得nyyy,21的样本平均值为y,样本方差为2yS,试证 222,.xyxacy Sc S 证 11,niixxn

8、1111111111,nnnniiiiiiiixaayyxaxnaxnnccncncncc 所以.xacy 22222111111nnxiiiiSxnxacyn acynn 22222211221niiiaacyc yn aacyc yn 2222111221nniiiicyacynacync yn 222221.1niyicynyc Sn 13.设nXXX,21是来自正态总体),(2N的一个样本，试求随机变量niiXX12)(的数学期望和方差.解：因为2(),iiE Xu D X所以222(),iE Xu 2(),E Xu D Xn 所以222().E Xun 22222111(),nnni

9、iiiiiEXXEXnXE XnE X 222221.n un unn 令21(),niiYXX由2211(),1niiSXXn得21,YnS 由定理 2 得222211,nSYn 所以 2421,D YYDn即 421.D Yn 14.设521,XXX来自正态总体)1,0(N的一个样本，（1）试求常数BA,使得2543221)()(XXXBXXA服从2分布,并且指出它的自由度；（2）试求常数,m n,使得22212345()()m XXn XXX服从F分布,并且指出它的自由度.解（1）因为(0,1),iXN,所以34512(0,1),(0,1).23XXXXXNN由2分布的定义知 22234

10、512()()2,23XXXXX 故11,2.23ABn自由度 （2）因为 222122,XX由F分布的定义知22212345()2,1,23XXXXXF 故1211,2,1.23mBnn自由度 15.设X是总体X的样本均值,试证当Xc 时,niicX12)(达到最小.证 222222211111()22nnnnniiiiiiiiiiXcXcXncXnXnXcXnc 22211.nniiiiXXn XcXX 故当Xc 时，niicX12)(达到最小.16.设总体 X 服从标准正态分布，X1，X2，Xn是来自总体 X 的一个简单随机样本，试问统计量 Y=niiiiXXn62512)15(，n5 服从何种分布？16.2522222211(5),(5)iniiiiXXXn 且12与22相互独立.所以 2122/5(5,5)/5XYFnXn.