高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案).pdf

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1、 高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)2 函数的单调性和奇偶性 例 1 （1）画出函数 y-x2+2x+3 的图像，并指出函数的单调区间 解：函数图像如下图所示，当 x0 时，y-x2+2x+3-（x-1）2+4；当 x0 时，y-x2-2x+3-（x+1）2+4 在（-，-1和0，1上，函数是增函数：在-1，0和1，+）上，函数是减函数 评析 函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上（2）已知函数 f（x）x2+2（a-1）x+2 在区间（-，4上是减函数，求实数 a 的取值范围 分析 要充分运用函数的单调性是以对称轴为

2、界线这一特征 解：f（x）x2+2（a-1）x+2x+（a-1）-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是 x1-a因为在 3 区间（-，1-a上 f（x）是单调递减的，若使 f（x）在（-，4上单调递减，对称轴 x1-a 必须在 x=4的右侧或与其重合，即 1-a4，a-3 评析 这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合 例 2 判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）-（2）f（x）（x-1）解：（1）f（x）的定义域为 R因为 f（-x）-x+1-x-1 x-1-x+1-f（x）所以 f（x）为奇函数（2）f（x）的定义域为x-1x1，不关于原点对称所以

3、f（x）既不是奇函数，也不是偶函数 评析 用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：（1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称（2）计算 f（-x），并与 f（x）比较，判断 f（-x）f（x）或 f（-x）-f（x）之一是否成立f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查 f（-x）f（x）0 4 5 6 影响，一开始就在（0，+）内任取 x1x2，展开证明这样就不能保证-x1，-x2，在（-，0）内的任意性而导致错误 避免错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地展开证明活动 例 5 讨论函数 f（x）（a0）在区间（-1，1）内的单调性 分析 根据函数的单调性定义求解 解：设-1

4、x1x2，则 f（x1）-f（x2）-x1，x2（-1，1），且 x1x，x1-x20，1+x1x20，（1-x21）（1-x22）0 于是，当 a0 时，f（x1）f（x2）；当 a0 时，f（x1）f（x2）故当 a0 时，函数在（-1，1）上是增函数；当 a0 时，函数在（-1，1）上为减函数 评析 根据定义讨论（或证明）函数的单调性的 7 一般步骤是：（1）设 x1、x2是给定区间内任意两个值，且 x1x2；（2）作差 f（x1）-f（x2），并将此差式变形；（3）判断 f（x1）-f（x2）的正负，从而确定函数的单调性 例 6 求证：f（x）x+（k0）在区间（0，k上单调递减 解：

5、设 0 x1x2k，则 f（x1）-f（x2）x1+-x2-0 x1x2k，x1-x20，0 x1x2k2，f（x1）-f（x2）0 f（x1）f（x2），f（x）x+中（0，k上是减函数 评析 函数 f（x）在给定区间上的单调性反映了函数 f（x）在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质因此，若要证明 f（x）在a,b上是增函数（减函数），就必须证明对于区间a,b上 8 任意两点 x1，x2，当 x1x2时，都有不等式 f（x1）f（x2）（f（x1）f（x2）类似可以证明：函数 f（x）x+（k0）在区间k，+上是增函数 例 7 判断函数 f（x）的奇偶性 分析 确定函数的定义域

6、后可脱去绝对值符号 解：由 得函数的定义域为-1，1这时，x-22-x f（x），f（-x）f（x）且注意到 f（x）不恒为零，从而可知，f（x）是偶函数，不是奇函数 评析 由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性，若不作深入思考，便会作出其非奇非偶的判断但隐含条件（定义域）被揭示之后，函数的奇偶性就非常明显了这样看来，解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题过程 9 函数奇偶性练习 一、选择题 1已知函数f（x）ax2bxc（a0）是偶函数，那么g（x）ax3bx2cx（）A奇函数 B偶函数 C既奇又偶函数 D非奇非偶函数 2已知函数f（x）ax2

7、bx3ab是偶函数，且其定义域为a1，2a，则（）A31a，b0 Ba1，b0 Ca1，b0 Da3，b0 3已知f（x）是定义在 R 上的奇函数，当x0 时，f（x）x22x，则f（x）在 R 上的表达式是（）Ayx（x2）By x（x1）Cy x（x2）Dyx（x2）4已知f（x）x5ax3bx8，且f（2）10，那么f（2）等于（）A26 B18 C10 D10 5函数1111)(22xxxxxf是（）A偶函数 B奇函数 C非奇非偶函数 D既是奇函数又是偶函数 10 6若)(x，g（x）都是奇函数，2)()(xbgaxf在（0，）上有最大值 5，则f（x）在（，0）上有（）A最小值5 B

8、最大值5 C最小值1 D最大值3 二、填空题 7函数2122)(xxxf的奇偶性为_（填奇函数或偶函数）8若y（m1）x22mx3 是偶函数，则m_ 9 已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若11)()(xxgxf，则f（x）的解析式为_ 10已知函数f（x）为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f（x）0 的所有实根之和为_ 三、解答题 11设定义在2，2上的偶函数f（x）在区间0，2上单调递减，若f（1m）f（m），求实数m的取值范围 12已知函数f（x）满足f（xy）f（xy）2f（x）f（y）（xR，yR），且f（0）0，试证f（x）是偶函数 11 13.已知函数f（x）是奇函

9、数，且当x0 时，f（x）x32x21，求f（x）在 R 上的表达式 14.f（x）是定义在（，55，）上的奇函数，且f（x）在5，）上单调递减，试判断f（x）在（，5上的单调性，并用定义给予证明 15.设函数yf（x）（xR 且x0）对任意非零实数 12 x1、x2满足f（x1x2）f（x1）f（x2），求证f（x）是偶函数 函数的奇偶性练习参考答案 1 解析：f（x）ax2bxc为偶函数，xx)(为奇函数，g（x）ax3bx2cxf（x）)(x满足奇函数的条件 答案：A 2解析：由f（x）ax2bx3ab为偶函数，得b0 又定义域为a1，2a，a12a，31a故选 A 3解析：由x0 时，

10、f（x）x22x，f（x）为奇函数，当x0 时，f（x）f（x）（x22x）x22xx（x2）,)0()0()2()2()(xxxxxxxf即f（x）x（|x|2）13 答案：D 4解析：f（x）8x5ax3bx为奇函数，f（2）818，f（2）818，f（2）26 答案：A 5解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f（x）f（x）0 答案：B 6解析：)(x、g（x）为奇函数，)()(2)(xbgxaxf为奇函数 又f（x）在（0，）上有最大值 5，f（x）2 有最大值 3 f（x）2 在（，0）上有最小值3，f（x）在（，0）上有最小值1 答案：C 7答案：奇函数 8答案：0 解析：因为函数

11、y（m1）x22mx3为偶函数，f（x）f（x），即（m1）（x）22m（x）3（m1）x22mx3，整理，得m0 9解析：由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，可 得11)()(xxgxf，联 立11)()(xxgxf，11)1111(21)(2xxxxf 答案：11)(2xxf 10 答案：0 11 答案：21m 14 12证明：令xy0，有f（0）f（0）2f（0）f（0），又f（0）0，可证f（0）1令x0，f（y）f（y）2f（0）f（y）f（y）f（y），故f（x）为偶函数 13解析：本题主要是培养学生理解概念的能力 f（x）x32x21因f（x）为奇函数，f（0）0 当x0 时，

12、x0，f（x）（x）32（x）21x32x21，f（x）x32x21 因此，.)0()0()0(12012)(,2323xxxxxxxxf 点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力 14解析：任取x1x25，则x1x25 因f（x）在5，上单调递减，所以f（x1）f（x2）f（x1）f（x2）f（x1）f（x2），即单调减函数 点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化 15解析：由x1，x2R 且不为 0 的任意性，令x1x21 代入可证，f（1）2f（1），f（1）0 15 又令x1x21，f1（1）2f（1）0，（1）0又令x11，x2x，f（x）f（1）f（x）0f（x）f（x），即f（x）为偶函数 点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x1x21，x1x21 或x1x20等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可