高中数学12三角函数.pdf

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1、三角函数 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形.按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角.射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边.2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.3.终边相同的角的表示：（1）终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)2()kkZ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角1825的终边相同，且绝对值最

2、小的角的度数是，合弧度.（答：25；536）（2）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上)()kkZ.（3）终 边 与终 边 关 于x轴 对 称2()kk Z.（4）终 边 与终 边 关 于y轴 对 称2()kkZ.（5）终 边 与终 边 关 于 原 点 对 称2()kkZ.（6）终 边 在x轴 上 的 角 可 表 示 为：,kkZ；终边在y轴上的角可表示为：,2kkZ；终边在坐标轴上的角可表示为：,2kkZ.如的终边与6的终边关于直线xy 对称，则_.（答：Zkk,32）4、与2的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若是第二象限角，则2是第_象限角.（答：一、三）5.弧长公式：|l

3、R，扇形面积公式：211|22SlRR，1 弧度(1rad)57.3.如已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积.（答：22cm）6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P(,)x y是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220rxy，那么sin,cosyxrr，tan,0yxx，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点 P 的位置无关.如（1）已知角的终边经过点P(5，12)，则cossin的值为.（答：713）；（2）设是 第 三、四 象 限 角，mm432sin，则m的取值范围是_（答：（1，)23）；（3）若0|cos|cossin

4、|sin|，试判断)tan(cos)cot(sin的符号（答：负）提醒：三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦；7.三角函数线的特征是：正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线 OM“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A处(起点是A)”.提醒：三角函数线（也可三角函数图像）对由角范围研究三角函数值的范围有重要意义，三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式.如（1）若08，则sin,cos,tan的大小关系为_.y T A x B S O M P(答：tansincos)；（2）若为锐角，则,sin,tan的大小关系为_（答：sin

5、tan）；（3）函数)3sin2lg(cos21xxy的定义域是_（答：2(2,2()33kkkZ）（4）xxxcossin,2,0的范围是 的定义域和值域。）求函数（xy2cos215 （）122120cossinxx，如图：sinx 22 ，25424012kxkkZy 8.同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式：xxxxxtancossin,1cossin22 同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值.在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函

6、数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值.如（1）函数sintancoscoty的值的符号为_（答：大于 0）；（2）若220 x，则使xx2cos2sin12成立的x的取值范围是_（答：0,4,43）；（3）已知53sinmm，)2(524cosmm，则tan_（答：125）；（4）已知11tantan，则cossincos3sin_；2cossinsin2_（答：35；513）；（5）已知a200sin，则160tan等于 A、21aa B、21aa C、aa21 D、aa21（答：B）；（6）已 知xxf3cos)(cos，则)3

7、0(sinf的值为_（答：1）.特别提醒：（1）在运用公式时，要注意公式及其变式的结构特点及适用条件.（2）利用平方关系时要注意符号的选取，取决于角所在的象限（3）在需要的情况下，,122 yx AyAxsincos可考虑换元._),(,2222nmnyxmqp如_的最小值为则qypx.（答：mn）.9.三角函数诱导公式（2k）的本质是：奇变偶不变（对k而言，指k取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步 骤：（1）负 角 变 正 角，再 写 成2k+,02；(2)转化为锐角三角函数.如（1）97costan()sin2146的值

8、为_（答：2323）；（2）已 知54)540sin(，则)270cos(_，若为第二象限角，则)180tan()360cos()180sin(2_.（答：54；1003）10、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：提醒：（1）公式之间的联系是怎样的？（2）熟悉公式的各种变形及公式的范围，tantantan1tantan.如（1）下列各式中，值为12的是 A、1515sincos B、221212cossin C、222 5122 5tan.tan.D、1302cos（答：C）；（2）命题 P：0tan(AB)，命题 Q：0tan A tanB，则 P 是 Q 的 A、充要条件 B、充分

9、不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件（答：C）；（3）已知35sin()coscos()sin，那么2cos的值为_（答：725）；（4）131080sinsin的值是_（答：4）；(5)已知0tan110a，求0tan50的值（用a 表示）甲求得的结果是313aa，乙求得的结果是212aa，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是_（答：甲、乙都对）11.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧

10、有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如()()，2()()，2()()，22，222等），如（1）已知2tan()5，1tan()44，那么tan()4的值是_（答：322）；（2）已知02，且129cos()，223sin()，求cos()的值（答：490729）；（3）已知,为锐角，sin,cosxy，3cos()5，则y与x的函数关系为_（答：23431(1)555yxxx）(2)三角函数名互化(切割化弦)，如（1）求值sin50(13 tan10)（答：1）；（2）已知sincos21,tan()1 cos23，求tan

11、(2)的值（答：18）(3)公式变形使用以及逆用 如)tantan1)(tan(tantan sin =tan cos ，sin cos=212 sin 2，2tansincos1cos1sin xxxtan1tan1)4tan(等 如（1）已知 A、B 为锐角，且满足tantantantan1ABAB，则cos()AB_（答：22）；(2)设ABC中，33tan Atan Btan Atan B，34sin Acos A，则此三角形是 _三角形（答：等边）74cos72cos7cos)3(=(答：81)(4)三角函数次数的降升(降幂公式：21 cos2cos2，21 cos2sin2与升幂公

12、式：21cos22cos，21 cos22sin).利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项 进 行 升 降 幂 处 理 (1 sin 可 化 为2cos1，再用升次公式)；22cos2sinsin1，22cos2sinsin1等 从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化 如(1)若32(,)，化简111122222cos为_（答：sin2）；（2）函数255 3f(x)sin xcos xcos x532(xR)的单调递增区间为_（答：51212k,k(kZ)）(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同).如（1）tan(

13、cossin)sintancotcsc（答：sin）；（2）求证：21tan1 sin21 2sin1tan22；（3）化简：42212cos2cos22tan()sin()44xxxx（答：1cos22x）(6)常值变换主要指“1”的变换（221sincosxx22sectantancotxxxx tansin42等），如已知tan2，求22sinsincos3cos（答：35）.(7)正余弦“三兄妹sincos sin cosxxxx、”的内存联系“知一求二”，特别提醒：（1）x4与x4互余，都与x2存在“倍半”关系，（2）xxxxcossincossin与存在“平方”关系 如（1）若 s

14、incosxxt，则sincosxx _（答：212t)，特别提醒：这里2,2t；（2）若1(0,),sincos2，求tan的值.（答：473）；（3）已知2sin 22sin1tank()42，试用k表示sincos的值（答：1k）.12、辅 助 角 公 式 中 辅 助 角 的 确 定：，sincossin22baba)sin,(cos2222babbaa在求 最 值、化 简 时 起 着 重 要 作 用.特 别 地，sincossin24 sincossin323 如（1）若方程sin3cosxxc有实数解，则c的取值范围是_.（答：2,2）；（2）当函数23ycos xsin x取得最大

15、值时，tanx的值是_(答：32)；（3）如果 sin2cos()f xxx是奇函数，则tan=(答：2)；（4）求值：20sin6420cos120sin3222_(答：32)13、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sinyx和余弦函数cosyx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,222的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象.14、正弦函数sin()yx xR、余弦函数cos()yx xR的性质：（1）定义域：都是 R.（2）值域：都是1,1，对sinyx，当22xkkZ时，y取最大值 1；当322xkkZ时，y取最小值1；对cosyx

16、，当2xkkZ时，y取最大值1，当2xkkZ时，y取最小值 1.如（1）若函数sin(3)6yabx的最大值为23，最小值为21，则a_，b（答：1,12ab或1b ）；（2）函 数xxxfcos3sin)(（2,2x）的值域是_（答：1,2）；（3）若2，则6ycossin的最大值和最小值分别是_、_（答：7；5）；（4）函数2()2cos sin()3sin3f xxxxsincosxx的最小值是_，此时x_（答：2；()12kkZ）；（5）己 知21cossin，求cossint的变化范围（答：10,2）；（6）若cos2sin2sin22，求22sinsiny的最大、最小值（答：1ma

17、xy，222miny）.特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？（3）周期性：sinyx、cosyx的最小正周期都是2；()sin()f xAx和()cos()f xAx的 最 小 正 周 期 都 是2|T.如(1)若3sin)(xxf，则(1)(2)(3)(2003)ffff _（答：0）；(2)函数4()cosf xx2sincosxx4sin x的最小正周期为 _（答：）；(3)设函数)52sin(2)(xxf，若对任 意Rx都 有)()()(21xfxfxf成立，则|21xx 的最小值为_（答：2）（4）奇 偶 性 与 对 称 性：正 弦 函 数sin(

18、)yx xR是 奇 函 数，对 称 中 心 是,0kkZ，对称轴是直线2xkkZ；余弦函数cos()yx xR是 偶 函 数，对 称 中 心 是,02kkZ，对 称 轴 是 直 线xkkZ（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点）.如（1）函数522ysinx的奇偶性是_（答：偶函数）；（2）已知函数31f(x)axbsin x(a,b为常数），且57f()，则5f()_（答：5）；提醒：相邻的两对称轴、两零点的距离是半个周期（5）单调性：sin2,222yxkkkZ在上单调递增，在32,222kkkZ单调递减；cosyx在2,2kkkZ上单调

19、递减，在2,22kkkZ上单调递增.特别提醒，别忘了kZ！15、形如sin()yAx的函数：（1）几个物理量：A振幅；1fT频率（周期的倒数）；x相位；初相；（2）函数sin()yAx表达式的确定：A 由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，看最值定 A：2最小值最大值A，看周期定：T2 可通过移图，最值点，初始零点（距原点最近且在图像递增段上的零点）来确定 如图列出()()xx1202 解条件组求、值 如()sin()(0,0f xAxA，|)2的图象如图所示，则()f x_（答：15()2sin()23f xx）；（3）函数sin()yAx图象的画法：“五点法”设Xx，令X0，3,2

20、22求出相应的x值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法.（4）函数sin()yAxk的图象与sinyx图象间的关系：函数sinyx的图象纵坐标不变，横坐标向左（0）或向右（0）平移|个单位得sinyx的图象；函数sinyx图象的纵坐标不变，横 坐 标 变 为 原 来 的1，得 到 函 数sinyx的 图 象；函 数23题图29YX-223sinyx图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到函数sin()yAx的图象；函数sin()yAx图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k）或向下（0k），得到sinyAxk的图象.要特别注意，若由sinyx得到sinyx

21、的图象，则向左或向右平移应平移|个单位，如（1）函数2sin(2)14yx的图象经过怎样的变换才能得到sinyx的图象？（答：2sin(2)14yx向上平移1 个单位得2sin(2)4yx的图象，再向左平移8个单位得2sin 2yx的图象，横坐标扩大到原来的 2 倍得2sinyx的图象，最后将纵坐标缩小到原来的12即得sinyx的图象）；(2)要得到函数cos()24xy的图象，只需把函数sin2xy 的图象向_平移_个单位（答：左；2）；（3）将函数72sin(2)13yx图像，按向量a平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出a；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在

22、但不唯一，模最小的向量(,1)6a）；（4）若函数 cossin0,2f xxx x的图 象与直线yk有且仅有四个不同的交点，则k的取值范围是 （答：1,2)）（5）研究函数sin()yAx性质的方法：类比于研究sinyx的性质，只需将sin()yAx中 的x看 成sinyx中的x，但在求sin()yAx的单调区间时，要特别注意 A 和的符号，通过诱导公式先将化正.函数+xAsin=y是奇函数kZk 函数+xAsin=y是偶函数Zkk2 函数+xAcos=y是奇函数Zkk2 函 数+xAcos=y是 偶 函 数Zkk 。过最值点为对称轴，则若)(00 xxAxf)(20Zkkx 若，则，为对称

23、点，反之也对。f xx0000)(0Zkkx 在当)(RIIx，求+xAsin=y的值域时可借助单位圆（三角函数线）与三角函数图像.注：三角函数的性质一般是化为)sin(xAy(0,0A)在用公式求解（不是所有的周期函数都有最小正周期，如常函数f(x)c（c为常数）是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正周期）B+xAsin=y的值域为,BABA而非,BABA 如（1）函数23ysin(x)的递减区间是_（答：51212k,k(kZ)）；（2）1234xylog cos()的递减区间是_（答：336644 k,k(kZ)）；（3）函数)cos(sincos2xxxy的图象的对称中心和对称

24、轴分别是_、_（答：128k(,)(kZ)、28kx(kZ)）；（4）已知3f(x)sin(x)cos(x)为 偶函数，求的值.（答：6k(kZ)）（5）设函数)22,0,0)(sin()(AxAxf的图象关于直线32x对称，它的周期是，则 A、)21,0()(的图象过点xf B、()f x在区 间52,123上 是 减 函 数 C、)0,125()(是的图象的一个对称中心xf D、()f x的最大值是 A（答：C）；（6）对于函数 2sin 23fxx给出下列结论：图象关于原点成中心对称；图象关于直线12x成轴对称；图象可由函数2sin 2yx的图像向左平移3个单位得到；图 像 向 左 平

25、移12个 单 位，即 得 到 函 数2cos2yx的图像.其中正确结论是_（答：）；（7）已知函数()2sin()f xx图象与直线1y 的交点中，距离最近两点间的距离为3，那么此函数的周期是_（答：）16、正切函数tanyx的图象和性质：（1）定义域：|,2x xkkZ.遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数的定义域了吗？（2）值域是 R，在上面定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线ya的两个相邻交点之间的距离是一个周期.绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变

26、量加绝对值，其周期性不变，其它不定.如xyxysin,sin2的周期都是,但sinyx cos x的周期为2，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626yxyx，|tan|yx的周期不变；（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02kkZ，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处.（5）单 调 性：正 切 函 数 在 开 区 间,22kkkZ内都是增函数.但要注意在整个定义域上不具有单调性.如下图：17.三角形中的有关公式：(1)内角和定理：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特

27、殊性，解题可不能忘记！tan()yAx三角函数图象几何性质xOyx=x1x=x2x4邻中心|x3-x4|=T/2邻轴|x1-x2|=T/2无穷对称中心:由y=0确定无穷对称轴:由y=A或-A确定y=Asin(x+)x34T邻中心轴相距sin()yAx三角函数图象几何性质xOyx=x1x=x2x4邻中心|x3-x4|=T/2邻渐近线|x1-x2|=T无穷对称中心:由 y=0或 y无意义确定y=Atan(x+)x3无对称轴任意一条y轴的垂线与正切函数图象都相交,且相邻两交点的距离为一个周期！tan()yAx任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内

28、角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理：2sinsinsinabcRABC(R 为三角形外接圆的半径).注 意：正 弦 定 理 的 一 些 变 式：sinsinsini a b cABC；sin,sin,sin22abiiABCRR2cR；2 sin,2 sin,2 siniii aRA bRB bRC；已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.(3)余弦定理：2222222cos,cos2bcaabcbcAAbc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状或求角.(4)面积公式：111sin()222aSahabCr abc（其

29、中r为三角形内切圆半径）.如ABC中，若CBABA22222sinsincoscossin，判断ABC的形状（答：直角三角形）.特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要 注 意ABC这 个 特 殊 性：,sin()sin,sincos22ABCABCABC；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.解斜三角形的常规思维方法是：已知两角和一边（如 A、B、C），由 A+B+C=求 C，由正弦定理求 a、b 已知两边和夹角（如 a、b、c），应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C=，求另一角 已知两边和其中一边的对

30、角（如 a、b、A），应用正弦定理求 B，由 A+B+C=求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c 边，要注意解可能有多种情况 已知三边 a、b、c，应余弦定理求 A、B，再由 A+B+C=，求角 C（2）与三角形有关的结论 在ABC中，BABA sinsin 在非直角 ABC中，CBACBAtantantantantantan 在ABC中，12tan2tan2tan2tan2tan2tanACCBBA A，B，C 成等差数列的充分必要条件是B=60 ABC 是正三角形的充分必要条件是A，B，C 成等差数列且a，b，c 成等比数列 若 k2 且 sin2k1+cos2k1=1，则 sin=1，co

31、s=0 或 sin=0,cos=1，若 sin2k+cos2k=1，则 sin=1，cos=0或 sin=0,cos=1.如（1）ABC中，A、B 的对边分别是 ab、，且A=60 6 4,a,b，那么满足条件的ABC A、有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答：C）；（2）在ABC中，AB 是sin Asin B成立的_条件（答：充要）；（3）在ABC中，112(tan A)(tan B)，则2log sinC_（答：12）；(4)在ABC中，a,b,c分别是角A、B、C所对的边，若(abc)(sin Asin B3sinC)asinB，则C_（答：60）；（5）在ABC中，若

32、其 面 积2224 3abcS，则C=_（答：30）；（6）在ABC中，60 1A,b，这个三角形的面积为3，则ABC外接圆的直径是_（答：2 393）；（7）在ABC 中，a、b、c 是角 A、B、C 的对边，213,cos,cos32BCaA则=，22bc的最大值为 （答：1 93 2;）；（8）在ABC 中 AB=1，BC=2，则角 C 的取值范围是（答：06C）；（9）设 O 是锐角三角形 ABC 的外心，若75C，且,AOBBOCCOA的面积满足关系式3AOBBOCCOASSS，求A（答：45）12cos2sin2)10(2CBAABC中，（）求角；1C （）若，求的值。222222

33、2abcABcoscos11cos2cos112CBA）由已知式得：解（，又CBA 01coscos22CC或（舍）coscosCC 121 又，03CC （）由正弦定理及得：212222abc223342222sinsinsinsinABC 121234 coscosAB 432cos2cosBA 18.反三角函数：（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：arcsin a表示一个角，这个角的 正 弦 值 为a,且 这 个 角 在,2 2 内(11)a.(2)反 正弦arcsin x、反余 弦arccos x、反正切arctan x的取值范围分别是)2,2(,0,2,2.在用反三角表示两异

34、面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？(0,0,0,22，,0，),0,2 19、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）.如（1）若,(0,)，且tan、tan是方程2560 xx的两根，则求的值_（答：34）；（2）ABC中，3sin4cos6,4sin3cos1ABBA，则C_（答：3）；（3）若02且0sinsinsin，0coscoscos，求的值（答：23）.20.最值常见类型 二次型xbxaysi

35、nsin2)sin(coscossinxxbxxay)sin(xAy型：xxcxbxaycossincossin22，xbxaycossin dxcbxaysinsin，dxcbxaycossinxdxcxbxaycossincossin，xrxxqxpxcxxbxay2222coscossinsincoscossinsin探究：已知：23150sin90sin30sin222 23125sin65sin5sin222 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：_=23（*）并给出（*）式的证明.一般形式:23)120(sin)60(sinsin222 证明 左边=2)2402cos(12)1202cos(122cos1)2402cos()1202cos(2cos2123120sin2sin120cos2cos2cos2123240cos2cos240sin2sin=2sin232cos212sin232cos212cos21232sin232cos212sin232cos212cos2123=右边23 原式得证.（将一般形式写成 2223sin(60)sinsin(60),22223sin(240)sin(120)sin2等均正确，其证明过程可参照给分.）