2020高中数学第1章立体几何初步简单几何体的再认识.球学案.pdf

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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-73 球 学 习 目 标 核 心 素 养 1。了解球的体积和表面积公式（重点)2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题。(难点）1.通过学习球的体积、表面积公式培养直观想象素养。2.通过求球的体积和表面积提升数学运算素养。1球的体积 球的半径为R，那么它的体积V球错误!R3.2球的表面积 球的半径为R，那么它的表面积S球4R2.思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？提示：球没有底面，球面不能展开成平面图形 1如果两个球的体积之比为 827，那么这两个球的表面积之比为（)A827 B23 C49 D29 学必求其心得，业必贵于专精 -2-C 错误!错误!82

2、7,rR23，S1S249.2如图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积之比是(）A32 B23 C12 D11 D 设球的半径为R，则球的表面积S表4R2，圆柱的侧面积S侧2R2R4R2，所以S表S侧11.3将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A。错误!B.错误!C.错误!D.错误!A 由题意得,球的直径为正方体的棱长，即球的半径为 1，所以V球错误!13错误!.4 用一个平面截半径为 25 cm 的球，截面圆的面积是 225 cm2，学必求其心得，业必贵于专精 -3-则球心到截面的距离为_ cm。20 由题意知，球的半径R25（cm

3、)，易知截面圆的半径r15(cm）,则球心到截面的距离d错误!20（cm)球的体积与表面积【例 1】(1）球的体积是错误!,则此球的表面积是()A12 B16 C。错误!D。错误!(2)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，则圆锥侧面积与球面面积之比是_(1）B（2)错误!(1)错误!R3错误!，故R2，球的表面积为 4R216。(2）设圆锥的底面半径为r,高为h，母线长为l，球的半径为R,则由题意得错误!错误!(2R)2h错误!R3，Rh,r2h，lr2h25h,S圆锥侧rl2h错误!h2错误!h2，S球4R24h2，错误!错误!错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -4-求球的

4、体积与表面积的方法 1要求球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解.2半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两个要素，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了.1(1）已知球的直径为 2，求它的表面积和体积；（2)已知球的体积为错误!，求它的表面积 解(1）因为直径为 2，所以半径R1，所以表面积S球4R24124，体积V球错误!R3错误!13错误!。(2)因为V球错误!R3错误!，所以R327，R3，所以S球43236.球的表面积及体积的应用【例 2】一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水

5、面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？学必求其心得，业必贵于专精 -5-思路探究 设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式解决 解 设PAB所在平面为轴截面，AB为水平面,设球未取出时,水面高PCh，球取出后水面高PHx,如图所示 AC3r，PC3r，以AB为底面直径的圆锥的容积为 V圆锥错误!AC2PC 错误!（错误!r）23r3r3，V球错误!r3.球取出后水面下降到EF，水的体积为 V水错误!EH2PH 错误!(PHtan 30）2PH错误!x3。而V水V圆锥V球,即错误!x33r3错误!r3，x错误!r.故球取出后水面的

6、高为315r。1画出截面图是解答本题的关键 2球的体积和表面积有着非常重要的应用在具体问题中,要学必求其心得，业必贵于专精 -6-分清涉及的是体积问题还是表面积问题,然后再利用等量关系进行计算 2圆柱形容器的内壁底面半径为 5 cm，两个直径为 5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球,则容器的水面将下降多少？解 设取出小球后,容器中水面下降h cm,两个小球的体积为V球2错误!错误!3错误!，此体积即等于它们在容器中排出水的体积V52h,所以错误!52h，所以h错误!（cm），即若取出这两个小球，则容器的水面将下降错误!cm.与球有关的切、接问题 探究问题 1一个正方体的内切

7、球与其外接球的体积之比是多少？提示：设正方体的棱长为a,则它的内切球的半径为错误!a，它的外接球的半径为错误!a，故所求的比为 13错误!.2长方体一个顶点上的三条棱长分别为3，4，5，若它的八个学必求其心得，业必贵于专精 -7-顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是多少？提示：设长方体的体对角线长为l,球半径为R，则错误!所以R错误!,所以S球4R250.【例 3】已知直三棱柱ABC.A1B1C1的 6 个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4,ABAC，AA112，则球O的直径为（）A。错误!B2错误!C13 D3错误!C 如图，由已知条件可知，当ABAC时，BC中点D为ABC外接圆的圆

8、心，因为三棱柱是直三棱柱，所以DE中点M为球心，又DEAA112，52。设ABC外接圆半径为r，则r错误!即EC1错误!.球O的半径RMC1错误!错误!.故球的直径为 13.1本例若将直三棱柱改为“棱长为 4 的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少?解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直学必求其心得，业必贵于专精 -8-径,正方体的棱长即为其内切球的直径设该正方体外接球的半径为R,内切球的半径为r.又正方体的棱长为 4，故其体对角线长为 4错误!，从而V外接球错误!R3错误!(2错误!)332错误!，V内切球错误!r3错误!23错误!.2本例若将直三棱柱改为“正四面体

9、”，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少?解 设正四面体棱长为a,则正四面体表面积为S14错误!a2错误!a2，其内切球半径r为正四面体高的错误!,即r错误!错误!a错误!a,因此内切球表面积为S24r2错误!,则错误!错误!错误!。3.本例中若将直三棱柱改为“侧棱和底面边长都是 3错误!的正四棱锥”，则其外接球的半径是多少？解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为 3错误!错误!6,高为错误!3,因此底面中心到各顶点的距离均等于 3,所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为 3.空间几何体与球接、切问题的求解方法：学必求其心得，业必贵于专精

10、-9-（1）求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2）若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa,PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 4R2a2b2c2求解（其R为球的半径)1球的体积和表面积公式 设球的半径为R(1）体积公式：V错误!R3。（2)表面积公式:S4R2.2用一个平面截球所得截面的特征(1)用一个平面去截球，截面是圆面（2）球心和截面圆心的连线垂直于截面（3）球心到截面的距离d与球的半径R以及截面的半径r

11、，有下面的关系r错误!.3常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或学必求其心得，业必贵于专精 -10-半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来计算 1思考辨析(1)球的表面积等于它的大圆面积的 2 倍(）(2）两个球的半径之比为 12，则其体积之比为 14.（3)球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面 答案(1)(2）(3）2若球的体积与其表面积数值相等,则球的半径等于(）A.错误!B1 C2 D3 D 由题设球半径为r,则 4r2错误!r3，可得r3，故选 D.3表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为 64 的球相切，则这个多面体的体积为（)A。错误!Q BQ C.错误!Q D2Q C 4R264R4，V错误!QR错误!Q，故选 C.4某几何体的三视图如图所示(单位:m)：学必求其心得，业必贵于专精 -11-(1)求该几何体的表面积（结果保留)；（2）求该几何体的体积（结果保留）解 由三视图可知，该几何体是一个四棱柱和一个半球构成的组合体，且半球的直径为 2，该四棱柱为棱长为 2 的正方体(1）该几何体的表面积为 S2R2622R224（m2)(2)该几何体的体积为 V12错误!R323错误!8（m3）