2010高三数学高考复习回归课本教案：函数.pdf

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1、2010 高考复习数学回归课本：函数 一考试内容：映射.函数.函数的单调性.奇偶性.反函数.互为反函数的函数图像间的关系.指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数.对数.对数的运算性质.对数函数.函数的应用.二考试要求：(1)了解映射的概念，理解函数的概念.(2)了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法.(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数.(4)理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质.(5)理解对数的概念，掌握对数的运算性质.掌握对数函数的概念、图像和性质.(6)能够运用函

2、数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.【注意】函数是高中数学的核心内容，也是学习高等数学的基础.在历年高考试卷中，占分多，比重大.考生在复习函数部分时:一要加深对函数概念、性质的理解；熟练掌握与函数有关的各种解题方法和技巧；紧密联系与本部分有关的知识，掌握综合题的解题通法和技巧.三基础知识:1.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f xaxbxc a;(2)顶点式2()()(0)f xa xhk a;(3)零点式12()()()(0)f xa xxxxa.2.解连不等式()Nf xM常有以下转化形式 11()f xNMN.3.方程0)(xf在),(21kk上有

3、且只有一个实根,与0)()(21kfkf不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程)0(02acbxax有 且 只 有 一 个 实 根 在),(21kk内,等 价 于0)()(21kfkf,或0)(1kf且22211kkabk,或0)(2kf且22122kabkk.4.闭区间上的二次函数的最值 二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在abx2处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当 a0 时，若qpabx,2，则(2)minmaxmax()(),()(),()2bf xff xf pf qa；qpabx,2，maxmax()(),()f xf pf q，

4、minmin()(),()f xf pf q.(2)当 a0)（1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；（2）0)()(axfxf，或)0)()(1)(xfxfaxf，或1()()f x af x()0)f x,或21()()(),()0,1)2f xfxf xaf x,则)(xf的周期 T=2a；(3)0)()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期 T=3a；(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且 1212()1()()1,0|2)f af xf xxxa，则)(xf的周期 T=4a；(5)()()(2)(3)(4)f xf x af xa f xaf

5、xa()()(2)(3)(4)f x f x a f xa f xa f xa,则)(xf的周期 T=5a；(6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a.20.分数指数幂 (1)1mnnmaa（0,am nN，且1n）.(2)1mnmnaa（0,am nN，且1n）.21根式的性质（1）()nnaa.（2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a.22有理指数幂的运算性质(1)(0,)rsr saaaar sQ.(2)()(0,)rsrsaaar sQ.(3)()(0,0,)rrraba b abrQ.注：若a0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的

6、实数 上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.23.指数式与对数式的互化式 logbaNbaN(0,1,0)aaN.24.对数的换底公式 logloglogmamNNa(0a,且1a,0m,且1m,0N).推论 loglogmnaanbbm(0a,且1a,0m n,且1m,1n,0N).25对数的四则运算法则 若 a0，a1，M0，N0，则(1)log()loglogaaaMNMN;(2)logloglogaaaMMNN;(3)loglog()naaMnM nR.26.设函数)0)(log)(2acbxaxxfm,记acb42.若)(xf的定义域为R,则0a，且0;若)(xf的值域为

7、R,则0a，且0.对于0a的情形,需要单独检验.27.对数换底不等式及其推广 若0a,0b,0 x,1xa,则函数log()axybx (1)当ab时,在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为增函数.，(2)当ab时,在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为减函数.推论:设1nm，0p，0a，且1a，则（1）log()logmpmnpn.（2）2logloglog2aaamnmn.四基本方法和数学思想 1.复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法：若已知 f(x)的定义域为a，b,其复合函数 fg(x)的定义域由不等式 ag(x)b 解出即可；若已知 fg(x)的定义域为

8、a,b,求 f(x)的定义域，相当于 xa,b时，求 g(x)的值域（即 f(x)的定义域）；（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定；2.函数的奇偶性（1）若 f(x)是偶函数，那么 f(x)=f(x)=)(xf;（2）定义域含零的奇函数必过原点（可用于求参数）；（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)f(-x)=0或1)()(xfxf（f(x)0）;(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；3.函数图像（或方程曲线的对称性）(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中

9、心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明图像 C1与 C2的对称性，即证明 C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在 C2上，反之亦然；（3）曲线 C1：f(x,y)=0,关于 y=x+a(y=x+a)的对称曲线 C2的方程为 f(ya,x+a)=0(或 f(y+a,x+a)=0);（4）曲线 C1:f(x,y)=0 关于点（a,b）的对称曲线 C2方程为：f(2ax,2by)=0;（5）若函数y=f(x)对xR时，f(a+x)=f(ax)恒成立，则y=f(x)图像关于直线 x=a 对称；（6）函数 y=f(xa)与 y=f(bx)的图像关于直线 x=2ba对称；4.函数的周期性(1)

10、y=f(x)对 xR 时，f(x+a)=f(xa)或 f(x2a)=f(x)(a0)恒成立,则 y=f(x)是周期为 2a 的周期函数；（2）若 y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线 x=a 对称，则 f(x)是周期为 2a的周期函数；（3）若 y=f(x)奇函数，其图像又关于直线 x=a 对称，则 f(x)是周期为 4a的周期函数；（4）若 y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则 f(x)是周期为2ba 的周期函数；（5）y=f(x)的图象关于直线 x=a,x=b(ab)对称，则函数 y=f(x)是周期为 2ba 的周期函数；（6）y=f(x)对 xR 时，f(x+a)=f(x)

11、(或 f(x+a)=)(1xf，则y=f(x)是周期为 2a的周期函数；5.方程 k=f(x)有解kD(D 为 f(x)的值域)；6.af(x)af(x)max,;af(x)af(x)min;7.（1）naabbnloglog(a0,a 1,b0,nR+);(2)l og a N=aNbbloglog(a0,a1,b0,b1);(3)l og a b 的符号由口诀“同正异负”记忆;(4)a log a N=N(a0,a1,N0);8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。9.判断对应是否为映射时，抓住两点：（1）A 中元素必须都有象且唯一；（2）B 中元素不一定都有原象，

12、并且 A 中不同元素在 B中可以有相同的象；10.对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇函数的反函数也是奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;（4）周期函数不存在反函数；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；(5)y=f(x)与 y=f-1(x)互为反函数，设 f(x)的定义域为 A，值域为 B，则有ff-1(x)=x(xB),f-1f(x)=x(xA).11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；12.恒成立问题的处理方法：（1）分离参数

13、法；（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解；13.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：)0f(b)0f(a)(0f(b)0f(a)b)u(a0(0)()()(或）或xhuxguf；14.掌握函数)0();0(cxcxyacbcxacbacxbaxy的图象和性质；函 数 cxacbacxbaxy(b ac0)0(axaxy）定义域),(),(cc),0()0,(值 域),(),(aa),22,(aa 奇偶性 非奇非偶函数 奇函数 单 调 性 当 b-ac0 时:分别在),(),(cc上单调递减；当 b-ac0；1212()()()22xxf xf x

14、f.当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 .9.（04 年广东卷.16）函数110)fxInxx（）（）（的反函数1().fx 10.04 年 湖 南 卷.理 6）设 函 数,0,.0,2)(2xcbxxxxf若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方程xxf)(的解的个数为（C）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 11.设函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f1(x)，f(4)0，则f1(4).12.设f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 y=f(x)的图象关于直线21x对 称，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_.六.课本中

15、习题归纳 一、映射、函数、函数的单调性 1 设映射 f：AB把集合 A 中的元素x映射到集合 B 中的元素21x，则在映射 f 下，象 5 的原象是 。2 从任何一个正整数 n 出发，若 n 是偶数就除以 2，若 n 是奇数就乘 3 再加 1,如此继续下去,现在你从正整数 3 出发，按以上的操作，你最终得到的数不可能是 A，10 B，4 C，2 D，1 3 已 知 函 数2()352f xxx，则(2)f ，(1)f a 。4 已知函数2(1)3f xxx，则()f x 。5 已知2211()f xxxx，则1()f xx 。6 函 数1()2f xx的 定义域 是 ，值 域是 。7 函数()

16、32f xx的定义域是 ，值域是 。8 函 数1()12f xxx 的 定 义 域 是 ，值 域是 。9 函 数()131f xxx的 定 义 域 是 ，值 域是 。10 函 数26()32f xxx的 定 义 域 是 ，值 域是 。11 函数4()2xf xx的定义域是 ，值域是 。12 函 数()3112f xxx 的 定 义 域 是 ，值 域是 。13 函 数24()1xf xx的 定 义 域 是 ，值 域是 。14设15x，且xZ，则 函 数32yx 的 值 域是 。15 设 函 数(0)()(0)x xf xx x,则 不 等 式2()20 xf x x的 解 集是 。16 函数()

17、af xxx在1,)上单调递增，则a的取值范围是 。17函 数()f xx axbc是 奇 函 数，则,a b c满 足 的 条 件是 。18 下列说法不正确的是 A，已知函数()yf x在R上是奇函数，且在(0,)上是增函数，则它在(,0)上也是增函数。B，已知函数()yf x在R上是偶函数，且在(0,)上是增函数，则它在(,0)上是增减函数。C，奇函数()f x若在0 x 处有定义，则必有(0)0f。D，sinyx是奇函数，其中,)2 2x 。二、反函数，函数的图像 1 函数31yx(xR)的反函数是 。2 函数31yx(xR)的反函数是 。3 函数1yx (0)x 的反函数是 。4 函数

18、231xyx (,1)xRx且的反函数是 。5 函数2254yx 5(0,)2x的反函数是 。6 函数21yxx (0)x 的反函数是 。7 函数2lg(1)yxx ()xR的反函数是 。8 函数2xxeey ()xR的反函数是 。9 在直角坐标系内，已知点 A（2，3），则点 A 关于 y 轴对称的点的坐标是 ，点 A 关于x轴对称的点的坐标是 ，点 A 关于直线yx对称的点的坐标是 ，点 A 关于直线yx 对称的点的坐标是 ，点 A 关于原点对称的点的坐标是 ，点 A 关于点（a,b）对称的点的坐标是 ,点 A 关于直线3x 对称的点的坐标是 .10 已知15yxb与3yax互为反函数，则

19、a ，b 。11 若函数yaxb的图像及其反函数1()yfx的图像都经过点(1,2)，则a ，b ；该函数的图像与其反函数的图像交点的个数有 个。12 若函数axybx的反函数是该函数自身，则ab=。13 下列说法不正确的是 （）A，()yf x与1()xfy表示同一函数；B，()yf x与1()yfx的图像关于直线yx对称；C，函数(1)yf x与函数1(1)yfx的图像关于直线yx对称；D，若函数()yf x满足(1)(1)fxfx，则()f x的图像关于直线1x 对称。三、指数函数、对数函数、二次函数、函数的应用 1 把函数2xy 的图像向 个单位，可得到函数22xy的图像。2 把函数2

20、xy 的图像 ，可得到函数22xy的图像。3 把函数2xy 的图像 ，可得到函数212xy的图像。4 下列说法不正确的是 A，函数2xxaay(0,1)aa是奇函数。B，函数(1)()1xxaxf xa(0,1)aa是偶函数。C，若()3xf x，则()()()f xyf xf y。D，若()xf xa (0,1)aa，且12xx，则12121()()()22xxf xf xf。5 函数2()logaf xx的定义域是 ，值域是 。6 函 数2()log(9)af xx的 定 义 域 是 ，值 域是 。7 函数2log()ayaxxa的定义域是R，则 a 的取值范围是 。8 函 数2log()

21、ayaxxa的 值 域 是R，则 a 的 取 值 范 围是 。9 函 数2121xxy的 定 义 域 是 ，值 域是 ，在区间 上，单调递减，它的反函数是 ，它是 函数。（填“奇”或“偶”）10 已知()yf x是奇函数,当0 x 时,()(),f xxx当0 x 时,()f x 11 已知函数10102xxy，探讨它的反函数1()yfx的奇偶性，单调性。12 已知函数1log1axyx(0,1)aa，(1)求()f x的定义域，值域;(2)探讨()f x的奇偶性，单调性;(3)解不等式()0f x。13 有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形 ABCD的形状，它的下底 AB 是 圆 O 的直径，上底 CD 的端点在圆周上，(1)出这个梯形周长y和腰长x间的函数表达式；(2)当腰长x取何值时，梯形周长y有最大值？并求这个最大值。