高三数学(理)一轮复习讲义83圆的方程(人教A版).pdf

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1、第 3 讲 圆的方程 最新考纲 1掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程 2初步了解用代数方法处理几何问题.知 识 梳 理 1圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程 标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心 C(a，b)半径为 r 一般 x2y2DxEyF0 充要条件：D2E24F0 圆心坐标：D2，E2 半径 r 2.点与圆的位置关系(1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系(2)三种关系：圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点 M(x0，y0)(x0a)2(y0b)2r2点在圆上；(x0a)2(y0b)2r2点在圆外；(x0a)2(

2、y0b)2r2点在圆内 辨 析 感 悟 1对圆的方程的理解(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程 x2y2a2表示半径为 a 的圆()(3)方程 x2y24mx2y5m0 表示圆()(4)(2013江西卷改编)若圆 C 经过坐标原点和点(4,0)且与直线 y1 相切，则圆 C的方程是(x2)2y322254.()2对点与圆的位置关系的认识(5)若点 M(x0，y0)在圆 x2y2DxEyF0 外，则 x20y20Dx0Ey0F0.()(6)已知圆的方程为x2y22y0，过点 A(1,2)作该圆的切线只有一条()感悟提升 1一个性质 圆心在任一弦的中垂线上，如(4)中可设圆心为(2，b

3、)2三个防范 一是含字母的圆的标准方程中注意字母的正负号，如(2)中半径应为|a|；二是注意一个二元二次方程表示圆时的充要条件，如(3)；三是过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况，如(6).考点一 求圆的方程【例 1】根据下列条件，求圆的方程(1)求过 P(4，2)，Q(1,3)两点，且在 y 轴上截得的线段长为 4 3的圆的方程 (2)已知圆的半径为 10，圆心在直线 y2x 上，圆被直线 xy0 截得的弦长为4 2.解(1)设圆的方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)将 P，Q 点的坐标分别代入得 4D2

4、EF20，D3EF10，令 x0，由得 y2EyF0.由已知|y1y2|4 3，其中 y1，y2是方程的两根，所以(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48.解、组成的方程组得 D2，E0，F12或 D10，E8，F4.故所求圆的方程为 x2y22x120 或 x2y210 x8y40.(2)法一 设圆的方程为(xa)2(yb)210.由圆心在直线 y2x 上，得 b2a.由圆在直线 xy0 上截得的弦长为 4 2，将 yx 代入(xa)2(yb)210，整理得 2x22(ab)xa2b2100.由弦长公式得 2 ab22a2b2104 2，化简得 ab2.解、得 a2，b4 或 a2

5、，b4.故所求圆的方程为(x2)2(y4)210 或(x2)2(y4)210.法二 根据图形的几何性质：半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形如图，由勾股定理，可得弦心距 dr24 222 108 2.又弦心距等于圆心(a，b)到直线 xy0 的距离，所以 d|ab|2，即|ab|2 2.又已知 b2a.解、得 a2，b4 或 a2，b4.故所求圆的方程是(x2)2(y4)210 或(x2)2(y4)210.规律方法 求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理如：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任意弦的中垂线上；两圆相切时，切点与两圆心三点

6、共线(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式 【训练 1】(1)(2014济南模拟)若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)21 C(x2)2(y1)21 D(x3)2(y1)21(2)已知圆 C 经过 A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则 C 的方程为_ 解析(1)由于圆心在第一象限且与 x 轴相切，故设圆心为(a,1)

7、，又由圆与直线4x3y0 相切，得|4a3|51，解得 a2 或12(舍去)故圆的标准方程为(x2)2(y1)21.故选 A.(2)依题意设所求圆的方程为(xa)2y2r2，将 A，B 点坐标分别代入方程得 5a21r2，1a29r2，解得 a2，r210.所以所求圆的方程为(x2)2y210.答案(1)A(2)(x2)2y210 考点二 与圆有关的最值问题【例 2】已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求 yx 的最大值和最小值；(3)求 x2y2的最大值和最小值 解 原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆(1)yx的几

8、何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yxk，即 ykx.当直线 ykx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值，此时|2k0|k21 3，解得 k 3(如图 1)所以yx的最大值为3，最小值为3.(2)yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距，当直线 yxb 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时|20b|2 3，解得 b2 6(如图 2)所以 yx 的最大值为2 6，最小值为2 6.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图 3)又圆心到原点的距离为 2020022，所以 x2y2的最大值是(2

9、 3)274 3，x2y2的最小值是(2 3)274 3.规律方法 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如 ybxa形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如 taxby 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题【训练 2】(2014金华十校联考)已知 P 是直线 l：3x4y110 上的动点，PA，PB 是圆 x2y22x2y10 的两条切线，C 是圆心，那么四边形 PACB 面积的最小值是()A.2 B2 2 C.3 D2 3 解析 圆的标准方程为(x1)2(y1)21，

10、圆心为 C(1,1)，半径为 r1，根据对称性可知，四边形 PACB 的面积为 2SAPC212|PA|r|PA|PC|2r2，要使四边形 PACB 的面积最小，则只需|PC|最小，最小时为圆心到直线 l：3x4y110 的距离 d|3411|32421052.所以四边形 PACB 面积的最小值为|PC|2minr241 3.答案 C 考点三 与圆有关的轨迹问题【例 3】在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2，在y 轴上截得线段长为 2 3.(1)求圆心 P 的轨迹方程；(2)若 P 点到直线 yx 的距离为22，求圆 P 的方程 审题路线(1)设圆心 P

11、为(x，y)，半径为 r由圆的几何性质得方程组消去 r可得点 P 的轨迹方程(2)设点 P(x0，y0)由点到直线的距离公式可得一方程点 P 在第(1)问所求曲线上可得一方程以上两方程联立可解得 P 点坐标与圆 P 的半径得到圆 P 的方程 解(1)设 P(x，y)，圆 P 的半径为 r.由题设 y22r2，x23r2.从而 y22x23.故 P 点的轨迹方程为 y2x21.(2)设 P(x0，y0)，由已知得|x0y0|222.又 P 在双曲线 y2x21 上，从而得|x0y0|1，y20 x201.由 x0y01，y20 x201得 x00，y01.此时，圆 P 半径 r 3.由 x0y0

12、1，y20 x201得 x00，y01.此时，圆 P 的半径 r 3.故圆 P 的方程为 x2(y1)23 或 x2(y1)23.规律方法 求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：(1)直接法：根据题设条件直接列出方程；(2)定义法：根据圆的定义写出方程；(3)几何法：利用圆的性质列方程；(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式【训练 3】已知直角三角形 ABC 的斜边为 AB，且 A(1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点 C 的轨迹方程；(2)直角边 BC 中点 M 的轨迹方程 解(1)法一 设顶点 C(x，y)，因为 ACBC，且 A，B，C 三点不共线，所以 x

13、3且 x1.又 kACyx1，kBCyx3，且 kACkBC1，所以yx1yx31，化简得 x2y22x30.因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y22x30(x3 且 x1)法二 设 AB 中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|12|AB|2，由圆的定义知，动点 C 的轨迹是以 D(1,0)为圆心，2 为半径长的圆(由于 A，B，C 三点不共线，所以应除去与 x 轴的交点)所以直角顶点 C 的轨迹方程为(x1)2y24(x3 且 x1)(2)设点 M(x，y)，点 C(x0，y0)，因为 B(3,0)，M 是线段 BC 的中点，由中点坐标公式得 xx03

14、2(x3 且 x1)，yy002，于是有 x02x3，y02y.由(1)知，点 C 在圆(x1)2y24(x3 且 x1)上运动，将 x0，y0代入该方程得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点 M 的轨迹方程为(x2)2y21(x3 且 x1)1确定一个圆的方程，需要三个独立条件“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质 2解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算 3求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使

15、解题思路简化，而且还能减少计算 量如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题 方法优化 7利用几何性质巧设方程求半径 【典例】在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 yx26x1 与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆 C 的方程 一般解法(代数法)曲线 yx26x1 与 y 轴的交点为(0,1)，与 x 轴交点是(32 2，0)，(32 2，0)，设 圆 的 方 程 是x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0)，则 有 1EF0，32 22D32 2F0，32 22D32 2F0，解得 D6，E2，F1，故圆的方程是 x2y26x2y10.优美解法(几何法)曲线 yx26x

16、1 与 y 轴的交点为(0,1)，与 x 轴的交点为(32 2，0)，(32 2，0)故可设 C 的圆心为(3，t)，则有 32(t1)2(2 2)2t2，解得 t1.则圆 C 的半径为32t123，所以圆 C 的方程为(x3)2(y1)29.反思感悟 一般解法(代数法)：可以求出曲线 yx26x1 与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式 优美解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题【自主体验】1圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，与 y 轴相切，与

17、 x 轴相交于 点 A，B，若|AB|3，则该圆的标准方程是_ 解析 根据|AB|3，可得圆心到 x 轴的距离为12，故圆心坐标为1，12，故所求圆的标准方程为(x1)2y1221.答案(x1)2y1221 2已知圆 C 的圆心与抛物线 y24x 的焦点关于直线 yx 对称，直线 4x3y20 与圆 C 相交于 A，B 两点，且|AB|6，则圆 C 的方程为_ 解析 设所求圆的半径是 r，依题意得，抛物线 y24x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线 4x3y20 的距离 d|40312|42321，则 r2d2|AB|2210，因此圆 C 的方程是 x2(y1

18、)210.答案 x2(y1)210 基础巩固题组 (建议用时：40 分钟)一、选择题 1(2014长春模拟)已知点 A(1，1)，B(1,1)，则以线段 AB 为直径的圆的方程是()Ax2y22 Bx2y2 2 Cx2y21 Dx2y24 解析 AB 的中点坐标为(0,0)，|AB|1121122 2，圆的方程为 x2y22.答案 A 2若圆 x2y22ax3by0 的圆心位于第三象限，那么直线 xayb0 一定不经过()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解析 圆 x2y22ax3by0 的圆心为a，32b，则 a0，b0.直线 y1axba，k1a0，ba0，直线不经过第四象限

19、 答案 D 3(2014银川模拟)圆心在 y 轴上且过点(3,1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是()Ax2y210y0 Bx2y210y0 Cx2y210 x0 Dx2y210 x0 解析 设圆心为(0，b)，半径为 r，则 r|b|，圆的方程为 x2(yb)2b2，点(3,1)在圆上，9(1b)2b2，解得 b5，圆的方程为 x2y210y0.答案 B 4两条直线 yx2a，y2xa 的交点 P 在圆(x1)2(y1)24 的内部，则实数 a 的取值范围是()A.15，1 B.，15(1，)C.15，1 D.，151，)解析 联立 yx2a，y2xa，解得 P(a,3a)，(a1)2(3

20、a1)24，15a1，故应选 A.答案 A 5(2014东营模拟)点 P(4，2)与圆 x2y24 上任一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24 C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21 解析 设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ 的中点为 M(x，y)，则 x4x02，y2y02，解得 x02x4，y02y2.因为点 Q 在圆 x2y24 上，所以 x20y204，即(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21.答案 A 二、填空题 6已知点 M(1,0)是圆 C：x2y24x2y0 内的一点，那么过点 M 的最短弦所在直线的方程

21、是_ 解析 过点 M 的最短弦与 CM 垂直，圆 C：x2y24x2y0 的圆心为 C(2,1)，kCM10211，最短弦所在直线的方程为 y01(x1)，即 xy10.答案 xy10 7(2014南京调研)已知直线 l：xy40 与圆 C：(x1)2(y1)22，则圆C 上各点到 l 的距离的最小值为_ 解析 由题意得 C 上各点到直线 l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线 l 的距离减去半径，即|114|2 2 2.答案 2 8若圆 x2(y1)21 上任意一点(x，y)都使不等式 xym0 恒成立，则实数 m 的取值范围是_ 解析 据题意圆 x2(y1)21 上所有的点都在直线 x

22、ym0 的右上方，所以有 1m0，|1m|21.解得 m1 2.故 m 的取值范围是1 2，)答案 1 2，)三、解答题 9求适合下列条件的圆的方程：(1)圆心在直线 y4x 上，且与直线 l：xy10 相切于点 P(3，2)；(2)过三点 A(1,12)，B(7,10)，C(9,2)解(1)法一 设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有 b4a，3a22b2r2，|ab1|2r，解得 a1，b4，r2 2.圆的方程为(x1)2(y4)28.法二 过切点且与 xy10 垂直的直线为 y2x3，与 y4x 联立可求得圆心为(1，4)半径 r 1324222 2，所求圆的方程为(x1)2(y

23、4)28.(2)法一 设圆的一般方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则 1144D12EF0，491007D10EF0，8149D2EF0.解得 D2，E4，F95.所求圆的方程为 x2y22x4y950.法二 由 A(1,12)，B(7,10)，得 AB 的中点坐标为(4,11)，kAB13，则 AB 的垂直平分线方程为 3xy10.同理得 AC 的垂直平分线方程为 xy30.联立 3xy10，xy30得 x1，y2，即圆心坐标为(1,2)，半径 r 112212210.所求圆的方程为(x1)2(y2)2100.10设定点 M(3,4)，动点 N 在圆 x2y24 上运动，以 O

24、M，ON 为邻边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹 解 如图所示，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标为 x2，y2，线段 MN 的中点坐标为x032，y042.由于平行四边形的对角线互相平分，故x2x032，y2y042.从而 x0 x3，y0y4.N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.因此所求轨迹为圆：(x3)2(y4)24，但应除去两点95，125和215，285(点 P 在直线 OM 上时的情况)能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题 1(2014东莞调研)已知圆 C：x2y2mx40 上存在两点关于直线 xy30 对称，则实数 m 的

25、值为()A8 B4 C6 D无法确定 解析 圆上存在关于直线 xy30 对称的两点，则 xy30 过圆心m2，0，即m230，m6.答案 C 2(2014烟台二模)已知抛物线 y22px(p0)上一点 M(1，m)(m0)到其焦点 F的距离为 5，则以 M 为圆心且与 y 轴相切的圆的方程为()A(x1)2(y4)21 B(x1)2(y4)21 C(x1)2(y4)216 D(x1)2(y4)216 解析 抛物线的焦点为Fp2，0，准线方程为 xp2，所以|MF|1p25，解得 p8，即抛物线方程为 y216x，又 m216，m0，所以 m4，即 M(1,4)，所以半径为 1，所以圆的方程为(

26、x1)2(y4)21.答案 A 二、填空题 3已知平面区域 x0，y0，x2y40恰好被面积最小的圆 C：(xa)2(yb)2r2及其内部所覆盖，则圆 C 的方程为_ 解析 由题意知，此平面区域表示的是以 O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又OPQ 为直角三角形，故其圆心为斜边 PQ 的中点(2,1)，半径为|PQ|2 5，圆 C 的方程为(x2)2(y1)25.答案(x2)2(y1)25 三、解答题 4已知圆 x2y2x6ym0 和直线 x2y30 交于 P，Q 两点，且 OPOQ(O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径

27、解 法一 将 x32y，代入方程 x2y2x6ym0，得 5y220y12m0.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 y1，y2满足条件：y1y24，y1y212m5.OPOQ，x1x2y1y20.而 x132y1，x232y2.x1x296(y1y2)4y1y2274m5.故274m512m50，解得 m3，此时(20)245(12m)20(8m)0，圆心坐标为12，3，半径 r52.法二 如图所示，设弦 PQ 中点为 M，且圆 x2y2x6ym0 的圆心为O112，3，设 M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由法一知，y1y24，x1x22，x0 x1x221，y0y1y222.即 M 的坐标为(1,2)则以 PQ 为直径的圆可设为(x1)2(y2)2r21.OPOQ，点 O 在以 PQ 为直径的圆上(01)2(02)2r21，即 r215，|MQ|2r21.在 RtO1MQ 中，|O1Q|2|O1M|2|MQ|2.1624m41212(32)25.m3，圆心坐标为12，3，半径 r52.