高中数学基本不等式知识点归纳及练习题_1.pdf

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1、 高中数学基本不等式知识点归纳及练习题 2 高中数学基本不等式的巧用 1基本不等式：abab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号 2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)baab2(a，b 同号)；(3)abab22(a，bR)；(4)a2b22ab22(a，bR)3算术平均数与几何平均数 设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为ab2，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数 4利用基本不等式求最值问题 已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，

2、xy 有最小值是 2 p.(简记：积定和最小)(2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是p24.(简记：和定积最大)一个技巧 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 a2b22ab 逆用就是aba2b22；ab2 ab(a，b0)逆用就是 abab22(a，b0)等还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等 两个变形(1)a2b22ab22ab(a，bR，当且仅当 ab 时取等号)；3(2)a2b22ab2 ab21a1b(a0，b0，当且仅当 ab 时取等号)这两个不等式链用处很大，注意掌握它们 三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失

3、误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可 (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致 应用一：求最值 例 1：求下列函数的值域（1）y3x 212x 2 （2）yx1x 解题技巧：技巧一：凑项 例 1：已知54x，求函数14245yxx的最大值。技巧二：凑系数 例 1.当时，求(82)yxx的最大值。技巧三：分离 例 3.求2710(1)1xxyxx 的值域。4 5 6 关系是 .解：（1）y3x

4、212x 2 23x 212x 2 6 值域为 6，+）（2）当x0 时，yx1x 2x1x 2；当x0 时，yx1x=（x1x）7 2x1x =2 值域为（，22，+）解：因450 x，所以首先要“调整”符号，又1(42)45xx不是常数，所以对42x要进行拆、凑项，5,5404xx，11425434554yxxxx 231 当且仅当15454xx，即1x 时，上式等号成立，故当1x 时，max1y。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。解析：由知，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8xx为定值，故只需

5、将(82)yxx凑上一个系数即可。当，即x2 时取等号 当x2 时，(82)yxx的最大值为 8。评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。8 当,即时,421)591yxx（当且仅当x1 时取“”号）解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1+10544=5ttttytttt）当,即t=时,4259ytt（当t=2 即x1 时取“”号）。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将

6、式子分开再利用不等式求最值。即化为()(0,0)()Aymg xB ABg x，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。解：令24(2)xt t，则2254xyx22114(2)4xtttx 因10,1ttt，但1tt解得1t 不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt 在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且ba33 定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：ba33 和都是正数，ba33 632332baba 9 当ba33 时等号成立，由2ba及ba33 得1 ba即当1

7、 ba时，ba33 的最小值是 6 错解：0,0 xy，且191xy，1992212xyxyxyxyxy 故 min12xy。错因：解法中两次连用基本不等式，在2xyxy等号成立条件是xy，在1992xyxy等号成立条件是19xy即9yx,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：190,0,1xyxy，199106 1016yxxyxyxyxy 当且仅当9yxxy时，上式等号成立，又191xy，可得4,12xy时，min16xy。分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式aba 2b 22。

8、同时还应化简1y 2 中y2前面的系数为 12，x1y 2 x 21y 22 2 x12 y 22 下面将x，12 y 22 分别看成两个因式：10 x12 y 22 x 2(12 y 22 )22 x 2y 22 12 2 34 即x1y 2 2 x 12 y 22 34 2 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a302bb1，ab302

9、bb1 b2 b 230bb1 由a0 得，0b15 令tb+1，1t16，ab2t 234t31t 2（t16t）34t16t 2t16t 8 ab18 y 118 当且仅当t4，即b3，a6 时，等号成立。11 法二：由已知得：30aba2b a2b2 2 ab 30ab2 2 ab 令uab 则u22 2 u300，5 2 u3 2 ab 3 2，ab18，y118 点评：本题考查不等式abba2）（Rba,的应用、不等式的 解 法 及 运 算 能 力；如 何 由 已 知 不 等 式230abab）（Rba,出发求得ab的范围，关键是寻找到abba与之间的关系，由此想到不等式abba2）

10、（Rba,，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.变式：1.已知a0，b0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，ab2 a 2b 22，本题很简单 3x 2y 2（3x）2（2y）2 2 3x2y 2 5 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。12 W0，W23x2y2 3x 2y 102 3x 2y 10(3x)2(2y)2 10(3x2y)20 W 20 2 5 变式:求函数152152()22yxxx 的最大值

11、。解析：注意到21x与52x的和为定值。22(2152)42(21)(52)4(21)(52)8yxxxxxx 又0y，所以02 2y 当且仅当21x=52x，即32x 时取等号。故max2 2y。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又1121abcbcaaaa，可由此变形入手。解：a、b、cR，1abc。1121abcbcaaaa。同理121acbb，121abcc。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 1112221118bcacababcabc。当且仅当13abc时取等号。解：令,0,0,xyk xy191xy，991.xyxykxky1091yxkkxky 10312kk 。16k ，,16m 13 分析：1 ba 0lg,0lgba 21Q（pbabalglg)lglg QababbaRlg21lg)2lg(RQP。