2020高中数学第2章圆锥曲线与方程章末复习课讲义2-.pdf

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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-第 2 章 圆锥曲线与方程 圆锥曲线的定义及应用【例1】(1)已知动点M的坐标满足方程5错误!3x4y12|，则动点M的轨迹是（)A椭圆 B双曲线 C抛物线 D以上都不对(2）在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上,离心率为错误!.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为 16,那么C的方程为_（1）C（2)错误!错误!1（1）把轨迹方程 5错误!|3x4y12|写成x2y2错误!.动点M到原点的距离与它到直线 3x4y120 的距离相学必求其心得，业必贵于专精 -2-等点M的轨迹是以原点为焦点，直线 3x4y120 为

2、准线的抛物线(2）设椭圆方程为错误!错误!1(ab0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图所示，则ABF2的周长为AB|AF2|BF2AF1AF2BF1|BF24a16,a4.又离心率e错误!错误!,c2错误!，b2a2c28，椭圆C的方程为错误!错误!1.“回归定义解题的三点应用 应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形，利用几何意义去解决 提醒：

3、应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件 学必求其心得，业必贵于专精 -3-1点P是抛物线y28x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的坐标是（2，3），求PM|PF的最小值，并求出此时点P的坐标 解 抛物线y28x的准线方程是x2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x2 的距离，过点P作PD垂直于准线x2，垂足为D，那么PM|PF|PM|PD|.如图所示，根据平面几何知识，当M,P,D三点共线时，PM|PF|的值最小，且最小值为MD|2(2）4，所以|PMPF的最小值是 4.此时点P的纵坐标为 3，所以其横坐标为错误!，即点P的坐标是错误!。圆锥曲线的方程【例 2】（1)已知中心在原点的椭

4、圆C的右焦点为F（1,0），离心率等于12，则C的方程是()A.x23y241 B。错误!错误!1 C.错误!错误!1 D.错误!错误!1 学必求其心得，业必贵于专精 -4-(2）已知抛物线y28x的准线过双曲线错误!错误!1(a0，b0）的一个焦点,且双曲线的离心率为 2，则该双曲线的方程为_(1)D(2）x2y231 （1)由题意得错误!,解得错误!，则b2a2c23，故椭圆方程为错误!错误!1.（2）由题意得错误!,解得错误!,则b2c2a23，因此双曲线方程为x2错误!1。求圆锥曲线方程的一般步骤 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤（1)定形指的是

5、二次曲线的焦点位置与对称轴的位置(2）定式-根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2ny21(m0，n0)(3）定量-由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小 2(1）以x轴为对称轴，通径长为 8,顶点为坐标原点的抛物线学必求其心得，业必贵于专精 -5-方程是(）Ay28x By28x Cy28x或y28x Dx28y或x28y C 由题意知 2p8，故选 C。（2)焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为 2，到左顶点的距离为 3 的椭圆的标准方程是()A。错误!错误!1 B.错误!y21 C.y24错误!

6、1 Dx2错误!1 A 依题意，得a2，ac3，故c1,b错误!错误!，故所求椭圆的标准方程是错误!错误!1。圆锥曲线的几何性质 C1：x24y2【例 3】(1)如图所示，F1，F2是椭圆1 与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1,C2在第学必求其心得，业必贵于专精 -6-二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是(）A。错误!B.错误!C。错误!D。错误!（2）已知ab0,椭圆C1的方程为错误!错误!1，双曲线C2的方程为错误!错误!1,C1与C2的离心率之积为错误!，则C2的渐近线方程为_ 思路探究(1）由椭圆可求出|AF1|AF2|,由矩形求出|AF12AF2|2，

7、再求出|AF2AF1|即可求出双曲线方程中的a，进而求得双曲线的离心率（2)根据离心率的关系列出关于a，b的方程，求出错误!,再求渐近线方程（1）D(2）x错误!y0（1）由椭圆可知|AF1AF2|4，|F1F2|2错误!.因为四边形AF1BF2为矩形，所以AF12AF22|F1F2|212，所以 2|AF1|AF2|(AF1AF2|）2（AF1|2|AF2|2)学必求其心得，业必贵于专精 -7-16124，所 以（AF2 AF1|）2|AF1|2|AF222|AF1|AF21248,所以AF2|AF12错误!，因此对于双曲线有a2，c3，所以C2的离心率e错误!错误!.（2)设椭圆C1和双曲

8、线C2的离心率分别为e1和e2，则e1错误!，e2错误!.因为e1e2错误!，所以错误!错误!，即错误!4错误!，所以错误!错误!。故双曲线的渐近线方程为ybax错误!x，即x错误!y0.求解离心率的三种方法（1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2b2c2(a2b2c2)以及e错误!，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法（2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面学必求其心得，业必贵于专精 -8-

9、几何性质以及椭圆（双曲线）的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系,使问题更形象、直观 3已知椭圆错误!错误!1（ab0）的半焦距是c，A,B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若ABO的面积是错误!c2，则这一椭圆的离心率是（)A。12 B.错误!C。错误!D。错误!A 错误!ab错误!c2,即a2（a2c2）12c4，所以（a23c2)（a24c2)0，所以a24c2，a2c,故e错误!错误!.直线与圆锥曲线的位置关系【例 4】已知椭圆错误!错误!1(ab0)经过点（0，错误!），离心率为12,左、右焦点分别为F1（c,0），F2(c，0）(1）求椭圆的方程

10、；(2)若直线l：y错误!xm与椭圆交于A，B两点，与以F1F2学必求其心得，业必贵于专精 -9-为直径的圆交于C,D两点，且满足错误!错误!，求直线l的方程 思路探究（1）利用定义解题(2)利用勾股定理和弦长公式来解 解(1）由题设知错误!解得a2，b3,c1，椭圆的方程为错误!错误!1。（2）由(1）知，以F1F2为直径的圆的方程为x2y21，圆心到直线l的距离d错误!，由d1 得|m|0 是直线与双曲线相交的充分不必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 0,当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件

11、 2相切:0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切 3相离:0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离 4已知椭圆E:错误!错误!1（ab0），其焦点为F1，F2，离心率为错误!，直线l:x2y20 与x轴，y轴分别交于点A，B。学必求其心得，业必贵于专精 -11-（1）若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若线段AB上存在点P满足PF1|PF2|2a，求a的取值范围 解(1）由椭圆的离心率为错误!，得a错误!c，由A(2，0),得a2，c错误!,b错误!，椭圆方程为错误!错误!1。(2）由e错误!,设椭圆方程为错误!错误!1，联立错误!得 6y28y4a20，若线段AB上存在点P满足|PF1PF2|2a，则线段AB与椭圆E有公共点,等价于方程 6y28y4a20 在y 0,1 上有解 设f（y)6y28y4a2，错误!即错误!错误!a24，故a的取值范围是错误!a2。