2023届江苏省南通市如皋市丁堰镇初级中学数学九年级第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.pdf

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1、2022-2023 学年九上数学期末模拟试卷 请考生注意：1请用 2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用 05 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)1我国古代数学著作孙子算经中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”设鸡 x 只，兔 y 只，可列方程组为（）A352294xyxy B354294xyxy C354494xyxy D352494xyxy 2将抛物线 yax2+bx+c向左平移

2、2 个单位，再向下平移 3 个单位得抛物线 y(x+2)2+3，则（）Aa1，b8，c10 Ba1，b8，c16 Ca1，b0，c0 Da1，b0，c6 3如图，AD，BC相交于点 O，ABCD若 AB=1，CD=2，则ABO与DCO的面积之比为 A1:2 B1:4 C2:1 D4:1 4关于x的一元二次方程22m2 xxm40有一个根为0，则m的值应为（）A2 B2 C2或2 D1 5已知3cos4，则锐角的取值范围是（）A030 B3045 C4560 D6090 6下列计算中，结果是6a的是 A24aa B23aa C122aa D2 3()a 7（湖南省娄底市九年级中考一模数学试卷）将

3、数字“6”旋转 180，得到数字“9”，将数字“9”旋转 180，得到数字“6”，现将数字“69”旋转 180，得到的数字是（）A96 B69 C66 D99 8骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化，其体温（）与时间（时）之间的关系如图所示若 y（）表示 0 时到 t时内骆驼体温的温差（即 0 时到 t时最高温度与最低温度的差）则 y与 t之间的函数关系用图象表示，大致正确的是（）A B C D 9若两个相似三角形的周长之比为 14，则它们的面积之比为（）A12 B14 C18 D116 10小明利用计算机列出表格对一元二次方程22100 xx进行估根如表:那么方程22

4、100 xx的一个近似根是（）x 4.1 4.2 4.3 4.4 2210 xx 1.39 0.76 0.11 0.56 A4.1 B4.2 C4.3 D4.4 二、填空题(每小题 3 分,共 24 分)11在一个不透明的袋子中装有 6 个白球和若干个红球，这些球除颜色外无其他差别每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在 0.7 附近，则袋子中红球约有_个 12如图，P 是等边三角形 ABC 内一点，将线段 BP 绕点 B 逆时针旋转 60得到线段 BQ，连接 AQ若 PA=4，PB=5，PC=3，则四边形 APBQ 的面积为_ 13如图，矩形

5、ABCD中，2AB，点E在边CD上，且BCCE，AE的延长线与BC的延长线相交于点F，若CFAB，则tanDAE_.14二次函数 yx2+bx+c 的部分图象如图所示，由图象可知，不等式x2+bx+c0 的解集为_ 15如图，直线lx轴于点P，且与反比例函数11kyx（0 x）及22kyx（0 x）的图象分别交于A、B两点，连接OA、OB，已知OAB的面积为 4，则12kk _ 16计算：2 2sin45cos30+3tan60=_.17阅读对话，解答问题：分别用、表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，则在（，）的所有取值中使关于的一元二次方程220 xaxb有实数根的概率为_ 1

6、8一个容器盛满纯药液 40L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液 10L，则每次倒出的液体是_L 三、解答题(共 66 分)19（10 分）已知，如图，有一块含有 30的直角三角形OAB的直角边BO的长恰与另一块等腰直角三角形ODC的斜边OC的长相等把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且3AB （1）若某开口向下的抛物线的顶点恰好为点A，请写出一个满足条件的抛物线的解析式（2）若把含 30的直角三角形绕点O按顺时针方向旋转后，斜边OA恰好与轴重叠，点A落在点A，试求图中阴影部分的面积（结果保留）20（6 分）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平

7、发展的重要动力2019 年 5 月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注某市一研究机构为了了解 1060 岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了 100 名年龄在该范围内的市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图，如下所示：（1）请直接写出a _，m _，第 3 组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是_度（2）请补全上面的频数分布直方图（3）假设该市现有 1060 岁的市民 300 万人，问 4050 岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少？21（6 分）如图，在 ABC 中，已知 AB=AC=5，BC=6，且 ABCDEF

8、，将 DEF 与 ABC 重合在一起，ABC不动，DEF 运动，并满足：点 E 在边 BC 上沿 B 到 C 的方向运动，且 DE 始终经过点 A，EF 与 AC 交于 M 点 （1）求证：ABEECM；（2）探究：在 DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出 BE 的长；若不能，请说明理由；（3）求当线段 AM 最短时的长度 22（8 分）如图，点 D、O在ABC 的边 AC上，以 CD为直径的O与边 AB相切于点 E，连结 DE、OB，且 DEOB （1）求证：BC是O的切线（2）设 OB与O交于点 F，连结 EF，若 ADOD，DE4，求弦 EF的长 23（8 分）如图

9、，图中每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，ABC在方格纸中的位置如图所示 （1）请在图中建立平面直角坐标系，使得A，B两点的坐标分别为(2,1)A，(1,4)B，并写出C点的坐标；（2）在图中作出ABC绕坐标原点旋转180后的111ABC，并写出1A，1B，1C的坐标 24（8 分）如图，抛物线24yaxbx交x轴于3,0,()(,0)4AB两点，与y轴交于点C，连接,AC BC点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m(1)求此抛物线的表达式；(2)过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q试探究点 P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以,A C Q为顶点的三角形

10、是等腰三角形若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；(3)过点P作PNBC，垂足为点N请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？25（10 分）如图，AB是O的直径，AE是弦，C是弧AE的中点，过点C作O的切线交BA的延长线于点G，过点C作CDAB于点D，交AE于点F.（1）求证：/GCAE；（2）若3sin5EAB，3OD，求AE的长.26（10 分）如图，在ABC 中，ABC90，BD 为 AC 的中线，过点 C作 CEBD 于点 E，过点 A 作 BD 的平行线，交 CE 的延长线于点 F，在 AF 的延长线上截取 FGBD，连接 BG、

11、DF（1）求证：四边形 BDFG 为菱形；（2）若 AG13，CF6，求四边形 BDFG 的周长 参考答案 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)1、D【解析】等量关系为：鸡的只数+兔的只数=35，2鸡的只数+4兔的只数=94，把相关数值代入即可得到所求的方程组 【详解】解：鸡有 2 只脚，兔有 4 只脚，可列方程组为：352494xyxy，故选 D.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组.如何列出二元一次方程组的关键点在于从题干中找出等量关系.2、D【分析】将所得抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移减逆向求出原抛物线的顶点坐标，从而求

12、出原抛物线解析式，再展开整理成一般形式，最后确定出 a、b、c 的值.【详解】解：y(x2)23，抛物线的顶点坐标为（-2，3），抛物线 y=ax2+bx+c 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位长度得抛物线 y(x2)23，-2+2=0，3+3=1，平移前抛物线顶点坐标为（0，1），平移前抛物线为 y=-x2+1，a1，b0，c1 故选 D.【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减；本题难点在于逆运用规律求出平移前抛物线顶点坐标.3、B【解析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案【详解】ABCD，AOBDOC，1 2ABCD，14ABOD

13、COSS，故选 B【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型 4、B【分析】把 x=0 代入方程可得到关于 m的方程，解方程可得 m的值，根据一元二次方程的定义 m-20，即可得答案.【详解】关于x的一元二次方程22240mxxm有一个根为0，240m且20m，解得，2m 故选 B【点睛】本题考查一元二次方程的解及一元二次方程的定义，使等式两边成立的未知数的值叫做方程的解，明确一元二次方程的二次项系数不为 0 是解题关键.5、B【分析】根据锐角余弦函数值在 0到 90中，随角度的增大而减小进行对比即可；【详解】锐角余弦函数值随角度的增大而减小，co

14、s30=32，cos45=22，若锐角的余弦值为34，且233242 则 30 45；故选 B【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的增减性是解题的关键.6、D【解析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则计算后利用排除法求解.【详解】解：A、a2+a4a6，不符合；B、a2a3=a5，不符合；C、a12a2=a10，不符合；D、(a2)3=a6，符合.故选 D.【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错.7、B【解析】现将数字“69”旋转 180，得到的数字是：69，故选 B 8、A【分析】选取 4 时和 8 时的温度，求解

15、温度差，用排除法可得出选项【详解】由图形可知，骆驼 0 时温度为：37 摄氏度，4 时温度为：35，8 时温度为：37 当 t=4 时，y=3735=2 当 t=8 时，y=3735=2 即在 t、y 的函数图像中，t=4 对应的 y 为 2，t=8 对应的 y 为 2 满足条件的只有 A 选项 故选：A【点睛】本题考查函数的图像，解题关键是根据函数的意义，确定函数图像关键点处的数值 9、D【分析】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.【详解】两个相似三角形的周长之比为 14 它们的面积之比为 116 故选 D.【点睛】本题考查相似三角形的性质，本题属于基础应用题，只需学生熟练

16、掌握相似三角形的性质，即可完成.10、C【分析】根据表格中的数据，0 与0.11最接近，故可得其近似根.【详解】由表得，0 与0.11最接近，故其近似根为4.3 故答案为 C.【点睛】此题主要考查对近似根的理解，熟练掌握，即可解题.二、填空题(每小题 3 分,共 24 分)11、1【分析】设袋子中的红球有 x 个，利用红球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等求出即可【详解】解：设袋子中的红球有 x 个，根据题意，得：6xx0.7，解得：x1，经检验：x1 是分式方程的解，袋子中红球约有 1 个，故答案为：1【点睛】此题主要考查概率公式的应用，解题的关键是根据题意列式求解.12、25 364【

17、分析】由旋转的性质可得BPQ 是等边三角形，由全等三角形的判定可得ABQCBP(SAS)，由勾股定理的逆定理可得APQ 是直角三角形，求四边形的面积转化为求两个特殊三角形的面积即可【详解】解：连接 PQ，由旋转的性质可得，BP=BQ，又PBQ=60，BPQ 是等边三角形，PQ=BP，在等边三角形 ABC 中，CBA=60，AB=BC，ABQ=60-ABP CBP=60-ABP ABQ=CBP 在ABQ 与CBP 中 BQBPABQCBPABCB ，ABQCBP(SAS)，AQ=PC，又PA=4，PB=5，PC=3，PQ=BP=5，PC=AQ=3，在APQ 中，因为2229,16,25AQAPP

18、Q，25=16+9，由勾股定理的逆定理可知APQ 是直角三角形，23125 353 46424BPQAPQAPBQSSS 四边形，故答案为：25 364 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定、勾股定理的逆定理及特殊三角形的面积，解题的关键是作出辅助线，转化为特殊三角形进行求解 13、512【分析】设 BC=EC=a,根据相似三角形得到222aa，求出 a 的值，再利用tanDAEtanA 即可求解.【详解】设 BC=EC=a,ABCD，ABFECF，ABECBFCF,即222aa 解得 a=51（-51舍去）tanDAEtanF=2ECaCF=512 故答案为：512.【点睛】此

19、题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及正切的定义.14、x5.【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），然后写出抛物线在 x 轴下方所对应的自变量的范围即可【详解】抛物线的对称轴为直线 x=2，而抛物线与 x轴的一个交点坐标为(5,0)，所以抛物线与 x轴的另一个交点坐标为(1,0)，所以不等式x2+bx+c0 的解集为 x5.故答案为 x5.考点：二次函数图象的性质 15、1【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：AOP的面积为112k，BOP的面积为212k，然后两个三角形面积作差即可求出结果【详解】解：根据反比例函数k的几何意

20、义可知：AOP的面积为112k，BOP的面积为212k，AOB的面积为121122kk，1211422kk，128kk.故答案为 1【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义，本题属于基础题型 16、4 3【分析】先求出各个特殊角度的三角函数值，然后计算即可【详解】2345,30,60322sincostan 原式=232 23 34 322 故答案为4 3【点睛】本题考查特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键。17、14【解析】试题分析：用列表法易得（a，b）所有情况,看使关于 x 的一元二次方程 x3-ax+3b=3 有实数根的情况占总情况

21、的多少即可 试题解析：（a，b）对应的表格为：方程 x3-ax+3b=3 有实数根，=a3-8b3 使 a3-8b3 的（a，b）有（3，3），（4，3），（4，3），p（3）=31124 考点：3列表法与树状图法；3根的判别式 18、1【分析】设每次倒出液体 xL，第一次倒出后还有纯药液（40 x），药液的浓度为4040 x，再倒出 xL 后，倒出纯药液4040 xx，利用 40 x4040 xx 就是剩下的纯药液 10L，进而可得方程【详解】解：设每次倒出液体 xL，由题意得：40 x4040 xx=10，解得：x=60（舍去）或 x=1 答：每次倒出 1 升 故答案为 1【点睛】本题考查

22、一元二次方程的应用 三、解答题(共 66 分)19、（1）23+3 3yx；（2）2764S阴影【分析】（1）在 RtOBA 中，由AOB=30，AB=3 利用特殊角的正切值即可求出 OB 的长度，从而得出点 A 的坐标，利用顶点式即可求出函数解析式；（2）在 RtOBA 中，利用勾股定理即可求出 OA 的长度，在等腰直角三角形 ODC 中，根据 OC 的长度可求出 OD的长，结合图形即可得出阴影部分的面积为扇形 AOA的面积减去三角形 ODC 的面积，结合扇形与三角形的面积公式即可得出结论【详解】解：（1）在Rt OBA中，30AOB，3AB 26OAAB 2222633 3OBOAAB(3

23、,3 3)A 抛物线的解析式是23+3 3yx （2）由（1）可知6OA，由题意得60AOC 2606360AOASOA扇形 在Rt ODC中，45,3 3DOCOCOB 2127S44ODCOC 27-S64ODCAOASS阴影扇形【点睛】本题考查了勾股定理、特殊角的三角函数值、扇形的面积以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是：（1）求出点 A的坐标；（2）利用分割图形求面积法求出阴影部分的面积本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，将不规则的图形的面积表示成多个规则图形的面积之和（差）的形式是关键 20、（1）25，20，126；（2）见解析；（2）60 万人【分析】（1）用抽样人数第

24、 1 组人数第 3 组人数第 4 组人数第 5 组人数，可得 a的值，用第 4 组的人数抽样人数100%可以求得 m的值，用 360第 3 组人数在抽样中所占的比例可得第 3 组在扇形统计图中所对应的圆心角的度数；（2）根据（1）中 a的值，可以将频数分布直方图补充完整；（3）用市民人数第 4 组(4050 岁年龄段)的人数在抽样中所占的比例可以计算出 4050 岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少【详解】（1）a=1005352015=25，m%=(20100)100%=20%，第 3 组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是：36035100126 故答案为：25，20，126；（2）由（1）

25、知，20 x30 有 25 人，补全的频数分布直方图如图所示；（3）3002010060(万人)答：4050 岁年龄段的关注本次大会的人数约有 60 万人【点睛】本题考查了频数分布直方图、频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 21、（1）证明见解析；（2）BE=1 或116；（3）165【解析】试题分析：（1）由 AB=AC，根据等边对等角，可得B=C，又由 ABCDEF 与三角形外角的性质，易证得CEM=BAE，则可证得：ABEECM；（2）首先由AEF=B=C，且AMEC，可得 AEAM，然后分别从 AE=EM 与 AM=EM 去分析，注

26、意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；（3）先设 BE=x，由 ABEECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得 CM=-15（x-3）2+95，利 用二次函数的性质，继而求得线段 AM 的最小值 试题解析：（1）证明：AB=AC，B=C，ABCDEF，AEF=B，又AEF+CEM=AEC=B+BAE，CEM=BAE，ABEECM；（2）解：AEF=B=C，且AMEC，AMEAEF，AEAM；当 AE=EM 时，则 ABEECM，CE=AB=5，BE=BC-EC=6-5=1，当 AM=EM 时，则MAE=MEA，MAE+BAE=MEA+CEM，即CAB=CEA，又C=C，CAEC

27、BA，CEACACCB CE=2256CBAC BE=6-251166 BE=1 或116（3）解：设BE=x，又ABEECM，CMCEBEAB 即：65CMxx CM=22619(3)555xxxs AM=-5-CM=2116(3)55x 当 x=3 时，AM 最短为165 考点：相似形综合题 22、（1）见解析；（2）1【分析】（1）连接 OE，根据切线的性质得到 OEAB，根据平行线的性质得到BOCEDO，BOEDEO，根据全等三角形的性质得到OCBOEB90，于是得到 BC 是O的切线；（2）根据直角三角形的性质得到 ODDE1，推出四边形 DOFE 是平行四边形，得到 EFOD1【详

28、解】（1）证明：连接 OE，以 CD 为直径的O与边 AB相切于点 E，OEAB，DEOB，BOCEDO，BOEDEO，OEOD，EDODEO，BOCBOE，OBOB，OCOE，OCBOEB（SAS），OCBOEB90，BC是O的切线；（2）解：AEO90，ADOD，ED12AOOD，ODDE1，DEOF，DEODOF，四边形 DOFE是平行四边形，EFOD1，弦 EF的长为 1 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键 23、（1）图形见解析，C点坐标(3,3)；（2）作图见解析，1A，1B，1C的坐标分别是(2,1)(1,4

29、)()3,3【分析】（1）根据已知点的坐标，画出坐标系，由坐标系确定 C 点坐标；（2）由关于原点中心对称性画111ABC，可确定写出1A，1B，1C的坐标【详解】解：（1）(2,1)A，把(2,1)A向左平移两个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到原点 O,建立如下图的直角坐标系，C（3，-3）；（2）分别找到,A B C的对称点1A，1B，1C，顺次连接1A，1B，1C，111ABC即为所求，如图所示，1A（-2，1），1B（-1，4），1C（-3，3）【点睛】本题考查了作图-旋转变换，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键 24、(1)211433yxx；(2)存在，()1

30、,3Q或5 2 85 2,22；(3)当2m 时，PN的最大值为：2 23【解析】(1)由二次函数交点式表达式，即可求解；(2)分ACAQACCQCQAQ、三种情况，分别求解即可；(3)由2211sin44233PNPQPQNmmm即可求解【详解】解：(1)由二次函数交点式表达式得：2()()()3412ya xxa xx，即：124a，解得：13a ，则抛物线的表达式为211433yxx；(2)存在，理由：点、ABC的坐标分别为3,04,()()(04)0,、，则5,7,4 2,45ACABBCOABOBA，将点BC、的坐标代入一次函数表达式：ykxb并解得：4yx ，同理可得直线 AC的表

31、达式为：443yx，设直线AC的中点为4()3,2M，过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为34，同理可得过点M与直线AC垂直直线的表达式为：3748yx，当ACAQ时，如图 1，则5ACAQ，设：QMMBn，则7AMn，由勾股定理得：2272)5(nn，解得：3n 或 4(舍去 4)，故点()1,3Q；当ACCQ时，如图 1，5CQ，则4 25BQBCCQ，则85 22QMMB，故点5 2 85 2,22Q；当CQAQ时，联立并解得：252x(舍去)；故点 Q的坐标为：()1,3Q或5 2 85 2,22；(3)设点21)1,433(P mmm，则点4(),Q mm，OBOC，45ABCOC

32、BPQN ，2221122 2sin4423633 PNPQPQNmmmmm，206，PN有最大值，当2m 时，PN的最大值为：2 23【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系 25、（1）见解析；（2）8AE 【分析】（1）连接 OC，交 AE 于点 H根据垂径定理得到 OCAE根据切线的性质得到 OCGC，于是得到结论；（2）根据三角函数的定义得到 sinOCD=3sin5EAB 连接 BEAB 是O的直径，解直角三角形即可得到结论【详解】（1）证明：连接

33、OC，交AE于点H.C是弧AE的中点，OCAE GC是O的切线，OCGC，90OHAOCG，/GCAE;（2）OCAE，CDAB，OCDEAB.3sinsin5OCDEAB.在Rt CDO中，3OD，5OC，10AB 连接BE AB是O的直径，90AEB.在Rt AEB中，3sin5BEEABAB，6BE，在 RtAEB 中，6BE，AB=10，22221068AEABBE.【点睛】本题考查了切线的性质，三角函数的定义，平行线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键 26、（1）证明见解析；（2）1【分析】（1）由 BD=FG，BD/FG 可得四边形 BDFG 是平行四边形，根据 CEBD 可得C

34、FACED90，根据直角三角形斜边中线的性质可得 BD=DF=12AC，即可证得结论；（2）设 GFx，则 AF13x，AC2x，利用勾股定理列方程可求出 x 的值，进而可得答案【详解】（1）AGBD，BDFG，四边形 BGFD 是平行四边形，CFBD，BD/AG，CFACED90，点 D 是 AC 中点，DF12AC，ABC90，BD 为 AC 的中线，BD12AC，BDDF，平行四边形 BGFD 是菱形（2）设 GFx，则 AF13x，AC2x，在 RtACF 中，CFA90，AF2+CF2AC2，即（13x）2+62（2x）2，解得：x5，x413（舍去），四边形 BDFG 是菱形，四边形 BDFG 的周长4GF1【点睛】本题考查菱形的判定与性质及直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质是解题关键