2020高中数学第章导数及其应用..平均变化率学案2-.pdf

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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-1。1.1 平均变化率 学 习 目 标 核 心 素 养 1。通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率（重点）2了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的情境中，说明平均变化率的实际意义（难点)3平均变化率的正负（易混点）1.通过具体的平均变化率问题，培养数学建模素养 2借助平均变化率的求解，提升数学运算素养。1函数平均变化率 一般地，函数f(x）在区间x1，x2上的平均变化率为错误!。2平均变化率的意义 平均变化率的几何意义是经过曲线yf（x)上两点P（x1，y1），Q(x2，y2)的直线PQ的斜率 因此平均变化率是曲线陡峭程度的“数学必求其心

2、得，业必贵于专精 -2-量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”思考：x，y的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值?提示 x,y可正可负,y也可以为零，但 x不能为零平均变化率错误!可正、可负、可为零 1函数yf（x),自变量x由x0改变到x0 x时，函数的改变量 y为(）Af（x0 x)Bf（x0)x Cf（x0）x Df(x0 x）f（x0)D yf（x0 x)f(x0)，故选 D。2若一质点按规律s8t2运动,则在一小段时间2，2.1内的平均速度是()A4 B4。1 C0。41 D1.1 B 错误!错误!错误!错误!4.1，故选 B.3函数y2x2 在1，2上的平均变化率

3、是_ 2 错误!2。4如图所示为物体甲、乙在时间 0 到t1范围内路程学必求其心得，业必贵于专精 -3-的变化情况，下列说法正确的是_ 在 0 到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；在 0 到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度;在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 在 0 到t0范围内,甲、乙的平均速度都为错误!,故错误;在t0到t1范围内，甲的平均速度为错误!，乙的平均速度为错误!.因为s2s0s1s0,t1t00，所以错误!错误!，故正确,错误 求函数的平均变化率【例 1】（1）函数f(x）错误!在2，6上的平均变化

4、率为_（2)已知函数f（x）x错误!，分别计算f(x）在自变量x从 1变到 2 和从 3 变到 5 时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快 学必求其心得，业必贵于专精 -4-（1)112 错误!错误!错误!.（2）解 自变量x从 1 变到 2 时，函数f(x）的平均变化率为 错误!错误!错误!；自变量x从 3 变到 5 时,函数f(x）的平均变化率为 错误!错误!错误!。因为错误!错误!,所以函数f(x）x错误!在自变量x从 3 变到 5 时函数值变化得较快 1求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量x2x1；第二步，求函数值的增量f（x2)f(x1）；第三步,求平均变化

5、率错误!.2求平均变化率的一个关注点 求点x0附近的平均变化率,可用fx0 xfx0 x的形式 1 如图，函数yf（x）在A，B两点间的平均变化率是_ 学必求其心得，业必贵于专精 -5-1 kAB错误!错误!1，由平均变化率的意义知yf(x)在A，B两点间的平均变化率为1.实际问题中的平均变化率【例 2】在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位:s)存在函数关系h(t)4。9t26.5t10.（1）求运动员在第一个 0.5 s 内高度h的平均变化率；(2)求高度h在 1t2 这段时间内的平均变化率 思路探究（1）求函数h（t)4.9t26.5t10 在区间0

6、,0。5上的平均变化率；（2）求函数h（t)4。9t26.5t10 在区间 1,2上的平均变化率 解(1）运动员在第一个 0。5 s 内高度h的平均变化率为错误!4。05（m/s)（2）在 1t2 这段时间内，高度h的平均变化率为错误!8.2(m/s）学必求其心得，业必贵于专精 -6-实际问题中的平均变化率与函数在某一区间上的平均变化率类似,首先求f(x2）f(x1），再求比值错误!，当函数解析式没有给定时，先根据实际问题求出函数解析式，再重复上述步骤即可 2一质点作直线运动,其位移s与时间t的关系为s（t）t21,该质点在 2 到 2t（t0)之间的平均速度不大于 5，则 t的取值范围是_(

7、0,1 质点在 2 到 2t之间的平均速度为错误!错误!错误!4t，又错误!5，则 4t5,所以 t1，又 t0，所以 t的取值范围是（0,1 平均变化率的应用 探究问题 1函数yf（x)由x1变化到x2时的平均变化率是什么？提示 fx2fx1x2x1。2平均变化率的大小说明什么意义？学必求其心得，业必贵于专精 -7-提示 平均变化率的绝对值越大,表示函数值变化的越快，若平均变化率为负，则表示函数值在减小，若平均变化率为正，表示函数值在增加【例 3】为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试,甲车从 25 m/s 到 0 m/s 花了 5 s，乙车从 18 m/s 到 0 m/s花

8、了 4 s，试比较两辆车的刹车性能 解 甲车速度的平均变化率为02555（m/s2)，乙车速度的平均变化率为错误!4.5(m/s2)，平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好 平均变化率的应用主要有:求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量)的平均变化率等等解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量 3已知气球的体积为V(单位:L）与半径r（单位：dm)之间的函数关系是V（r)错误!r3.(1）求半径r关于体积V的函数r（V)；学必求其心得，业必贵于专精 -8-（2）比较体积V从 0 L 增加到 1 L 和从 1 L 增加到 2 L

9、半径r的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到 0。01）？此结论可说明什么意义？解(1)V错误!r3，r3错误!，r错误!，即r(V)错误!.(2)函数r（V)在区间0,1上的平均变化率约为错误!错误!0.62(dm/L），函数r(V)在区间1,2上的平均变化率约为 错误!错误!错误!0.16(dm/L）显然体积V从 0 L 增加到 1 L 时，半径变化快，这说明气球刚开始膨胀的比较快，随着体积的增大，半径增加的越来越慢 1平均变化率对函数而言，即是函数值的改变量与自变量的改变量的比值即错误!错误!.2平均变化率的几何意义是函数yf（x)图象上两点P1（x1，y1）,P2（x2，y2）所在直线

10、的斜率 3平均变化率的意义：平均变化率的绝对值越大，表示函数值变化得越快，绝对值越小，表示函数值变化得越慢平均变化率的正负只表示变化的方向。学必求其心得，业必贵于专精 -9-1判断(正确的打“”,错误的打“”）（1）x表示x2x1，是相对于x1的一个增量,x可以为零(）(2)y表示f（x2）f(x1），y的值可正可负也可以为零（）（3）错误!表示曲线yf（x）上两点（x1，f(x1)，（x2,f(x2）)连线的斜率（）答案(1）(2）(3）2已知函数yf（x)2x2的图象上点P(1，2）及邻近点Q(1x，2y),则错误!的值为()A4 B4x C42x2 D42x D 错误!错误!42x。3质点运动规律s2t25，则在时间（2，2t)中，相应的平均速度等于_ 82t s（2t)s(2）2（2t）25(2225）2（t）28t。s2ts22t2错误!82t.学必求其心得，业必贵于专精 -10-4已知函数y2x23x5，当x14，且 x1 时,求函数值的改变量 y和平均变化率错误!。解 y2(x1x）23(x1x)5（2x错误!3x15)2（x)22x1x3x 2(x)2(4x13)x。当x14，x1 时，y2(443）121，所以错误!错误!21.