2020高中数学第章立体几何初步..7柱、锥、台和球的体积学案.pdf

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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-1.1.7 柱、锥、台和球的体积 学 习 目 标 核 心 素 养 1。了解柱、锥、台和球的体积计算公式（重点）2能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积(重点）3台体的体积及简单几何体的体积计算(难点）1。通过学习柱、锥、台和球的体积公式，培养学生的数学运算核心素养 2借助组合体的体积，提升直观想象的核心素养。1祖暅原理(1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”（2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等 2柱体、锥体、台体

2、和球的体积公式 其中S、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径 名称 体积(V)学必求其心得，业必贵于专精 -2-柱体 棱柱 Sh 圆柱 r2h 锥体 棱锥 错误!Sh 圆锥 错误!r2h 台体 棱台 错误!h（S错误!S)圆台 13h（r2rrr2）球 43R3 1若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4cm、5cm，则长方体的体积为 （)A27 cm3 B60 cm3 C64 cm3 D125 cm3 B 长方体的体积为 34560（cm3）2圆锥的母线长为 5，底面半径为 3，则其体积为()A15 B30 C12 D36 C 圆锥的高h523

3、24，故V错误!32412.学必求其心得，业必贵于专精 -3-3若一个球的直径是 12 cm,则它的体积为_cm3。288 由题意，知球的半径R6 cm，故其体积V错误!R3错误!63288（cm3)求柱体的体积 【例 1】如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为 6 cm，高为 3 cm,下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm,高为 2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm 的圆柱，求此几何体的体积 解 V六棱柱错误!426248错误!(cm3),V圆柱32327(cm3)，V挖去圆柱12（32)5（cm3),此几何体的体积：VV六棱柱V圆柱V挖去圆柱（48错误!22）（cm3)计算柱体体积

4、的关键及常用技巧 学必求其心得，业必贵于专精 -4-1计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高 2常用技巧：（1）充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面,构造直角三角形，从而计算出底面积和高(2)由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关,而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积 1一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等,且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比 解 设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r，则有错误!错误!由得r错误!a,由得 rh2a2,V圆柱r2h错误!a3，V正方体V圆柱a3错误!错误!1错误!2。

5、求锥体的体积【例 2】如图三棱台ABC。A1B1C1中,ABA1B112，求三学必求其心得，业必贵于专精 -5-棱锥A1ABC，三棱锥B.A1B1C，三棱锥C。A1B1C1的体积之比 思路探究 ABA1B112 错误!错误!错误!错误!解 设棱台的高为h，SABCS，则S错误!4S。V错误!错误!SABCh错误!Sh,VCA1B1C113S错误!h错误!Sh.又V台错误!h(S4S2S）错误!Sh，VBA1B1CV台V错误!V错误!错误!Sh错误!错误!错误!Sh，体积比为 124.三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方

6、法 学必求其心得，业必贵于专精 -6-2如图所示，正方体ABCD.A1B1C1D1的棱长为 1，则三棱锥D1。ADC的体积是()A错误!B错误!C错误!D1 A 三棱锥D1。ADC的体积V错误!SADCD1D错误!错误!ADDCD1D错误!错误!错误!。求台体的体积【例 3】已知正四棱台两底面边长分别为20 cm 和 10 cm，侧面积是 780 cm2.求正四棱台的体积 思路探究 可以尝试借助四棱台内的直角梯形求出棱台底面积和高,从而求出体积 解 如图所示，正四棱台ABCD。A1B1C1D1中，A1B110 cm，AB20 cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1

7、的高设O1、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形 学必求其心得，业必贵于专精 -7-由S侧4错误!(1020）E1E780,得EE113，在直角梯形EOO1E1中，O1E112A1B15，OE12AB10,O1O错误!12，V正四棱台错误!12（1022021020)2 800（cm3）故正四棱台的体积为 2 800 cm3。求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系 3 本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为 2 cm和 4 cm，侧棱长为 2 cm，求该棱台的体积”学必求其心得，业必贵于专精

8、 -8-解 如图，正四棱台ABCD。A1B1C1D1中，上、下底面边长分别为 2 cm 和 4 cm，则O1B12 cm，OB2错误!cm，过点B1作B1MOB于点M，那么B1M为正四棱台的高，在RtBMB1中，BB12 cm,MB（22错误!)错误!（cm)根据勾股定理 MB1错误!错误!错误!(cm）S上224(cm2），S下4216（cm2），V正四棱台错误!错误!（4错误!16）错误!错误!28错误!错误!(cm3)求球的体积 学必求其心得，业必贵于专精 -9-【例 4】过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且ABBCCA3 cm，求球的体积和表面积 思路探究

9、解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径，截面圆半径和球心距构成的直角三角形 解 如图，设过A,B，C三点的截面为圆O,连接OO、AO、AO.ABBCCA3（cm），O为正三角形ABC的中心，AO错误!AB错误!（cm）设OAR,则OO错误!R，OO截面ABC，OOAO，AO错误!R错误!（cm),R2（cm），V球错误!R3错误!(cm3）,S球4R216(cm2）即球的体积为错误!cm3，表面积为 16 cm2.学必求其心得，业必贵于专精 -10-球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法 4 如果三个

10、球的半径之比是 123,那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的(）A1 倍 B2 倍 C3 倍 D4 倍 C 半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x，2x,3x，则最大球的半径为 3x,其体积为错误!(3x)3，其余两个球的体积之和为错误!x3错误!(2x）3，错误!（3x)3错误!3。组合体的表面积和体积【例 5】已知某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为 1，则该几何体的体积为（)学必求其心得，业必贵于专精 -11-A24错误!B24错误!C24 D24错误!思路探究 解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图,然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据

11、 A 该几何体是一个长方体挖去一个半圆柱体，其体积等于3243121224错误!。求组合体的表面积与体积的方法 1分析结构特征弄清组合体的组成形式,找准有关简单几何体的关键量 2根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理利用“切割”、“补形的方法求体积 3根据设计的计算方法求值 学必求其心得，业必贵于专精 -12-5如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(）A20 B24 C28 D32 C 由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r,周长为c,圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r2，c2r4,h4，由勾股定理得：l错误!4，S表r2

12、ch错误!cl416828.1本节课的重点是掌握柱体、锥体、台体和球的体积的求法，难点是组合体的表面积 2本节课要重点掌握的规律方法(1)求空间几何体的体积的方法(2)求与组合体有关的体积的方法 3本节课的易错点是求与三视图有关的几何体的体积时，易把相关数据弄错.学必求其心得，业必贵于专精 -13-1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1）夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截,如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等（）(2)锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关()(3）由V锥体错误!Sh，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面(）答案(1)(

13、2)(3)2如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是 4，那么圆柱的体积等于(）A B2 C4 D8 B 设轴截面正方形的边长为a，由题意知S侧aaa2.又S侧4，a2。V圆柱22。3 已知圆锥SO的高为 4，体积为 4，则底面半径r_.错误!由已知得 4错误!r24，解得r错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -14-4一个正三棱锥底面边长为 6，侧棱长为15,求这个三棱锥体积 解 如图所示,正三棱锥S。ABC。设H为正三角形ABC的中心，连接SH,则SH的长即为该正三棱锥的高 连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AHBC.ABC是边长为 6 的正三角形，AE错误!63错误!。AH错误!AE2错误!。在ABC中，SABC错误!BCAE错误!63错误!9错误!。在 RtSHA中，SA15，AH2错误!，SHSA2AH21512错误!。V正三棱锥错误!SABCSH错误!9错误!错误!9。