中考复习三角形专题一含答案.pdf

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1、 中考复习三角形专题一含答案 The pony was revised in January 2021 2018 年 02 月 28 日刘笑天的初中数学组卷 一选择题（共 12 小题）1如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，则 mn 等于（）A2 B3 C4 D无法确定 2如图，在四边形 ABCD 中，AB=CD，BA 和 CD 的延长线交于点 E，若点 P 使得 SPAB=SPCD，则满足此条件的点 P（）A有且只有 1 个 B有且只有 2 个 C组成E 的角平分线 D组成E 的角平分线所在的直线（E 点除外）3如图，AD 是ABC 的角平分线，则 AB：AC

2、等于（）ABD：CD BAD：CD CBC：AD DBC：AC 4如图，在ABC 中，A=36，AB=AC，BD 是ABC 的角平分线若在边 AB 上截取BE=BC，连接 DE，则图中等腰三角形共有（）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 5平面直角坐标系中，已知 A（2，2）、B（4，0）若在坐标轴上取点 C，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点 C 的个数是（）A5 B6 C7 D8 6如图，已知ABC 的面积为 12，AD 平分BAC，且 ADBD 于点 D，则ADC 的面积是（）A10 B8 C6 D4 7如图，在下列三角形中，若 AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的

3、是（）A B C D 8如图，P 为边长为 2 的正三角形内任意一点，过 P 点分别作三边的垂线，垂足分别为D，E，F，则 PD+PE+PF 的值为（）A B C2 D2 9如图，ABC 的面积为 20，点 D 是 BC 边上一点，且 BD=BC，点 G 是 AB 上一点，点 H在ABC 内部，且四边形 BDHG 是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（）A5 B10 C15 D20 10如图，在四边形 ABCD 中，ABC=90，AB=BC=2，E、F 分别是 AD、CD 的中点，连接 BE、BF、EF若四边形 ABCD 的面积为 6，则BEF 的面积为（）A2 B C D3 二填空题（共 1

4、4 小题）11如图，在ABC 中，已知1=2，BE=CD，AB=5，AE=2，则 CE=12如图，ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别为 40、50、60其三条角平分线交于点 O，则 SABO：SBCO：SCAO=13如图，在ABC 中，B=40，三角形的外角DAC 和ACF 的平分线交于点 E，则AEC=14如图，矩形 EFGH 内接于ABC，且边 FG 落在 BC 上，若 ADBC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么 EH 的长为 15在三角形纸片 ABC 中，C=90，B=30，点 D（不与 B，C 重合）是 BC 上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若 EF 的长度为 a，

5、则DEF 的周长为 （用含 a 的式子表示）16如图，RtABC 中，B=90，AB=4，BC=3，AC 的垂直平分线 DE 分别交 AB，AC 于D，E 两点，则 CD 的长为 17如图，ABC 中，C=90，CA=CB，点 M 在线段 AB 上，GMB=A，BGMG，垂足为 G，MG 与 BC 相交于点 H若 MH=8cm，则 BG=cm 18如图 14，在直角边分别为 3 和 4 的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图 10 中有 10 个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为 S1，S2，S3，S10，则 S1+S2+S3+S10=19如图，在ABC

6、 中，CD 是高，CE 是中线，CE=CB，点 A、D 关于点 F 对称，过点 F 作FGCD，交 AC 边于点 G，连接 GE若 AC=18，BC=12，则CEG 的周长为 20如图，等边三角形的顶点 A（1，1）、B（3，1），规定把等边ABC“先沿 x 轴翻折，再向左平移 1 个单位”为一次变换，如果这样连续经过 2017 次变换后，等边ABC的顶点 C 的坐标为 21如图，在ABC 中，AB=BC=4，AO=BO，P 是射线 CO 上的一个动点，AOC=60，则当PAB 为直角三角形时，AP 的长为 22如图，在一张长为 7cm，宽为 5cm 的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为 4cm

7、的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为 23在ABC 中，AB=13，AC=20，BC 边上的高为 12，则ABC 的面积为 24如图，在四边形 ABCD 中，ABC=90，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5，则四边形ABCD 的面积为=，BD 的长为 三解答题（共 4 小题）25如图，在四边形 ABCD 中，A=C=45，ADB=ABC=105（1）若 AD=2，求 AB；（2）若 AB+CD=2+2，求 AB 26如图：在矩形 ABCD 中，AD=60cm，CD=120cm，E、F 为 AB 边的三等分点

8、，以 EF 为边在矩形内作等边三角形 MEF，N 为 AB 边上一点，EN=10cm；请在矩形内找一点 P，使PMN 为等边三角形（画出图形，并直接写出PMF 的面积）27如图，已知 RtABC 中，ACB=90，CD 是斜边 AB 上的中线，过点 A 作 AECD，AE分别与 CD、CB 相交于点 H、E，AH=2CH（1）求 sinB 的值；（2）如果 CD=，求 BE 的值 28如图，ACB 和DCE 均为等腰三角形，点 A，D，E 在同一直线上，连接 BE（1）如图 1，若CAB=CBA=CDE=CED=50 求证：AD=BE；求AEB 的度数（2）如图 2，若ACB=DCE=120，

9、CM 为DCE 中 DE 边上的高，BN 为ABE 中 AE 边上的高，试证明：AE=2CM+BN 2018 年 02 月 28 日刘笑天的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一选择题（共 12 小题）1如图，两个三角形的面积分别是 9，6，对应阴影部分的面积分别是 m，n，则 mn 等于（）A2 B3 C4 D无法确定【分析】设空白出的面积为 x，根据题意列出关系式，相减即可求出 mn 的值【解答】解：设空白出图形的面积为 x，根据题意得：m+x=9，n+x=6，则 mn=96=3 故选 B【点评】本题考查了三角形的面积；设出未知数，根据三角形的面积得出关系式是解决问题的关键 2如图，在四边形

10、 ABCD 中，AB=CD，BA 和 CD 的延长线交于点 E，若点 P 使得 SPAB=SPCD，则满足此条件的点 P（）A有且只有 1 个 B有且只有 2 个 C组成E 的角平分线 D组成E 的角平分线所在的直线（E 点除外）【分析】根据角平分线的性质分析，作E 的平分线，点 P 到 AB 和 CD 的距离相等，即可得到 SPAB=SPCD【解答】解：作E 的平分线，可得点 P 到 AB 和 CD 的距离相等，因为 AB=CD，所以此时点 P 满足 SPAB=SPCD 故选 D【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据 AB=CD 和三角形等底作出等高即可 3如图，AD 是ABC 的角平分

11、线，则 AB：AC 等于（）ABD：CD BAD：CD CBC：AD DBC：AC【分析】先过点 B 作 BEAC 交 AD 延长线于点 E，由于 BEAC，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得BDECDA，E=DAC，再利用相似三角形的性质可有=，而利用 AD 时角平分线又知E=DAC=BAD，于是 BE=AB，等量代换即可证【解答】解：如图 过点 B 作 BEAC 交 AD 延长线于点 E，BEAC，DBE=C，E=CAD，BDECDA，=，又AD 是角平分线，E=DAC=BAD，BE=AB，=，AB：AC=BD：CD 故选：A【点评】此题考查了角平分线的定义、相似三角形的

12、判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论关键是作平行线 4如图，在ABC 中，A=36，AB=AC，BD 是ABC 的角平分线若在边 AB 上截取BE=BC，连接 DE，则图中等腰三角形共有（）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形【解答】解：AB=AC，ABC 是等腰三角形；AB=AC，A=36，ABC=C=72，BD 是ABC 的角平分线，ABD=DBC=ABC=36，A=ABD=36，BD=AD，ABD 是等腰三角形；在BCD 中，BDC=180DBCC=1803672=72，C=BDC=72

13、，BD=BC，BCD 是等腰三角形；BE=BC，BD=BE，BDE 是等腰三角形；BED=（18036）2=72，ADE=BEDA=7236=36，A=ADE，DE=AE，ADE 是等腰三角形；图中的等腰三角形有 5 个 故选 D【点评】此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏 5平面直角坐标系中，已知 A（2，2）、B（4，0）若在坐标轴上取点 C，使ABC 为等腰三角形，则满足条件的点 C 的个数是（）A5 B6 C7 D8【分析】由点 A、B 的坐标可得到 AB=2，然后

14、分类讨论：若 AC=AB；若 BC=AB；若CA=CB，确定 C 点的个数【解答】解：点 A、B 的坐标分别为（2，2）、B（4，0）AB=2，若 AC=AB，以 A 为圆心，AB 为半径画弧与坐标轴有 3 个交点（含 B 点），即（0，0）、（4，0）、（0，4），点（0，4）与直线 AB 共线，满足ABC 是等腰三角形的 C 点有 1 个；若 BC=AB，以 B 为圆心，BA 为半径画弧与坐标轴有 2 个交点（A 点除外），即满足ABC 是等腰三角形的 C 点有 2 个；若 CA=CB，作 AB 的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足ABC 是等腰三角形的 C 点有 2 个；综上所述：点

15、C 在坐标轴上，ABC 是等腰三角形，符合条件的点 C 共有 5 个 故选 A【点评】本题考查了等腰三角形的判定，也考查了通过坐标确定图形的性质以及分类讨论思想的运用 6如图，已知ABC 的面积为 12，AD 平分BAC，且 ADBD 于点 D，则ADC 的面积是（）A10 B8 C6 D4【分析】延长 BD 交 AC 于点 E，则可知ABE 为等腰三角形，则 SABD=SADE，SBDC=SCDE，可得出 SADC=SABC【解答】解：如图，延长 BD 交 AC 于点 E，AD 平分BAE，ADBD，BAD=EAD，ADB=ADE，在ABD 和AED 中，ABDAED（ASA），BD=DE，

16、SABD=SADE，SBDC=SCDE，SABD+SBDC=SADE+SCDE=SADC，SADCSABC=12=6，故选 C【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，由 BD=DE 得到 SABD=SADE，SBDC=SCDE是解题的关键 7如图，在下列三角形中，若 AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）A B C D【分析】A、D 是黄金三角形，C、过 A 点作 BC 的垂线即可；只有 B 选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形【解答】解：A、中作B 的角平分线即可；C、过 A 点作 BC 的垂线即可；D、中以 A 为顶点 AB 为一边在三角形内部作一个 72 度的

17、角即可；只有 B 选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形 故选 B【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的 4 个选项中只有 D 选项有点难度，所以此题属于中档题 8如图，P 为边长为 2 的正三角形内任意一点，过 P 点分别作三边的垂线，垂足分别为D，E，F，则 PD+PE+PF 的值为（）A B C2 D2【分析】首先连接 PA、PB、PC，再根据正三角形的面积的求法，求出边长为 2 的正三角形的面积是多少；然后判断出 SABC=SAPB+SAPC+SBPC=PD+PE+PF，据此求出 PD+PE+PF 的值为多少即可【解答】解：如图，连接 PA、PB、PC，A

18、BC 是边长为 2 的正三角形，ABC 的面积为：；SABC=SAPB+SAPC+SBPC=2PD+2PF+2PE=PD+PE+PF PD+PE+PF=，即 PD+PE+PF 的值为 故选：B【点评】（1）此题主要考查了等边三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等边三角形的三个内角都相等，且都等于 60等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴（2）此题还考查了等边三角形的面积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：边长是 a 的等边三角形的面积是a2 9如图，ABC 的面积为 20，点 D 是 BC 边上一点，且

19、 BD=BC，点 G 是 AB 上一点，点 H在ABC 内部，且四边形 BDHG 是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（）A5 B10 C15 D20【分析】设ABC 底边 BC 上的高为 h，AGH 底边 GH 上的高为 h1，CGH 底边 GH 上的高为 h2，根据图形可知 h=h1+h2利用三角形的面积公式结合平行四边形的性质即可得出 S阴影=SABC，由此即可得出结论【解答】解：设ABC 底边 BC 上的高为 h，AGH 底边 GH 上的高为 h1，CGH 底边 GH 上的高为 h2，则有 h=h1+h2，SABC=BC?h=2，S阴影=SAGH+SCGH=GH?h1+GH?h2=GH

20、（h1+h2）=GH?h 四边形 BDHG 是平行四边形，且 BD=BC，GH=BD=BC，S阴影=（BC?h）=SABC=5 故选 A【点评】本题考查了三角形的面积公式以及平行四边形的性质，解题的关键是找出 S阴影=SABC本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的面积公式找出阴影部分的面积与ABC 的面积之间的关系是关键 10如图，在四边形 ABCD 中，ABC=90，AB=BC=2，E、F 分别是 AD、CD 的中点，连接 BE、BF、EF若四边形 ABCD 的面积为 6，则BEF 的面积为（）A2 B C D3【分析】连接 AC，过 B 作 EF 的垂线，利用勾股定理可得

21、 AC，易得ABC 的面积，可得 BG和ADC 的面积，三角形 ABC 与三角形 ACD 同底，利用面积比可得它们高的比，而 GH 又是ACD 以 AC 为底的高的一半，可得 GH，易得 BH，由中位线的性质可得 EF 的长，利用三角形的面积公式可得结果【解答】解：连接 AC，过 B 作 EF 的垂线交 AC 于点 G，交 EF 于点 H，ABC=90，AB=BC=2，AC=4，ABC 为等腰三角形，BHAC，ABG，BCG 为等腰直角三角形，AG=BG=2 SABC=ABBC=22=4，SADC=2，=2，DEFDAC，GH=BG=，BH=，又EF=AC=2，SBEF=EFBH=2=，故选

22、C 方法二：SBEF=S四边形 ABCDSABESBCFSFED，易知 SABE+SBCF=S四边形 ABCD=3，SEDF=，SBEF=S四边形 ABCDSABESBCFSFED=63=故选 C【点评】此题主要考查了三角形面积的运算，作出恰当的辅助线得到三角形的底和高是解答此题的关键 二填空题（共 14 小题）11如图，在ABC 中，已知1=2，BE=CD，AB=5，AE=2，则 CE=3 【分析】由已知条件易证ABEACD，再根据全等三角形的性质得出结论【解答】解：ABE 和ACD 中，ABEACD（AAS），AD=AE=2，AC=AB=5，CE=BD=ABAD=3，故答案为 3【点评】本

23、题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟记定理是解题的关键 12如图，ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别为 40、50、60其三条角平分线交于点 O，则 SABO：SBCO：SCAO=4：5：6 【分析】首先过点 O 作 ODAB 于点 D，作 OEAC 于点 E，作 OFBC 于点 F，由 OA，OB，OC 是ABC 的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得 OD=OE=OF，又由ABC 的三边AB、BC、CA 长分别为 40、50、60，即可求得 SABO：SBCO：SCAO的值【解答】解：过点 O 作 ODAB 于点 D，作 OEAC 于点 E，作 OFBC 于点 F，OA，OB，O

24、C 是ABC 的三条角平分线，OD=OE=OF，ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别为 40、50、60，SABO：SBCO：SCAO=（AB?OD）：（BC?OF）：（AC?OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6 故答案为：4：5：6【点评】此题考查了角平分线的性质此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用 13如图，在ABC 中，B=40，三角形的外角DAC 和ACF 的平分线交于点 E，则AEC=70 【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得DAC+ACF=（B+B+1+2）；最后在AEC 中利用三角形内角和定理可以求得AEC

25、 的度数【解答】解：三角形的外角DAC 和ACF 的平分线交于点 E，EAC=DAC，ECA=ACF；又B=40（已知），B+1+2=180（三角形内角和定理），DAC+ACF=（B+2）+（B+1）=（B+B+1+2）=110（外角定理），AEC=180（DAC+ACF）=70 故答案为：70【点评】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练应用角平分线的性质是解题关键 14如图，矩形 EFGH 内接于ABC，且边 FG 落在 BC 上，若 ADBC，BC=3，AD=2，EF=EH，那么 EH 的长为 【分析】设 EH=3x，表示出 EF，由 ADEF 表示出三角形 AEH 的边

26、 EH 上的高，根据三角形AEH 与三角形 ABC 相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出 x 的值，即为EH 的长【解答】解：如图所示：四边形 EFGH 是矩形，EHBC，AEHABC，AMEH，ADBC，设 EH=3x，则有 EF=2x，AM=ADEF=22x，解得：x=，则 EH=故答案为：【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键 15在三角形纸片 ABC 中，C=90，B=30，点 D（不与 B，C 重合）是 BC 上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若 EF 的长度为 a，则DEF 的周长为 3a（用含a

27、 的式子表示）【分析】由折叠的性质得出 BE=EF=a，DE=BE，则 BF=2a，由含 30角的直角三角形的性质得出 DF=BF=a，即可得出DEF 的周长【解答】解：由折叠的性质得：B 点和 D 点是对称关系，DE=BE，则 BE=EF=a，BF=2a，B=30，DF=BF=a，DEF 的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a；故答案为：3a【点评】本题考查了翻折变换的性质、含 30角的直角三角形的性质、三角形周长的计算；熟练掌握翻折变换的性质，由含 30角的直角三角形的性质得出 DF=a 是解决问题的关键 16如图，RtABC 中，B=90，AB=4，BC=3，AC 的垂直平

28、分线 DE 分别交 AB，AC 于D，E 两点，则 CD 的长为 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出 CD=AD，故 AB=BD+AD=BD+CD，设 CD=x，则BD=4x，在 RtBCD 中根据勾股定理求出 x 的值即可【解答】解：DE 是 AC 的垂直平分线，CD=AD，AB=BD+AD=BD+CD，设 CD=x，则 BD=4x，在 RtBCD 中，CD2=BC2+BD2，即 x2=32+（4x）2，解得 x=故答案为：【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键 17如图，ABC 中，C=90，CA=CB，点 M 在线段

29、 AB 上，GMB=A，BGMG，垂足为 G，MG 与 BC 相交于点 H若 MH=8cm，则 BG=4 cm【分析】如图，作 MDBC 于 D，延长 DE 交 BG 的延长线于 E，构建等腰BDM、全等三角形BED 和MHD，利用等腰三角形的性质和全等三角形的对应边相等得到：BE=MH，所以BG=MH=4【解答】解：如图，作 MDBC 于 D，延长 MD 交 BG 的延长线于 E，ABC 中，C=90，CA=CB，ABC=A=45，GMB=A，GMB=A=，BGMG，BGM=90，GBM=90=，GBH=EBMABC=MDAC，BMD=A=45，BDM 为等腰直角三角形 BD=DM，而GBH

30、=，GM 平分BMD，而 BGMG，BG=EG，即 BG=BE，MHD+HMD=E+HMD=90，MHD=E，GBD=90E，HMD=90E，GBD=HMD，在BED 和MHD 中，BEDMHD（AAS），BE=MH，BG=MH=4 故答案是：4【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等也考查了等腰直角三角形的性质 18如图 14，在直角边分别为 3 和 4 的直角三角形中，每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆，依此类推，图 10 中有 10 个直角三角形的内切圆，它们的面积分别记为 S1，S2

31、，S3，S10，则 S1+S2+S3+S10=【分析】（1）图 1，作辅助线构建正方形 OECF，设圆 O 的半径为 r，根据切线长定理表示出 AD 和 BD 的长，利用 AD+BD=5 列方程求出半径 r=（a、b 是直角边，c 为斜边），运用圆面积公式=r2求出面积=；（2）图 2，先求斜边上的高 CD 的长，再由勾股定理求出 AD 和 BD，利用半径 r=（a、b 是直角边，c 为斜边）求两个圆的半径，从而求出两圆的面积和=；（3）图 3，继续求高 DM 和 CM、BM，利用半径 r=（a、b 是直角边，c 为斜边）求三个圆的半径，从而求出三个圆的面积和=；综上所述：发现 S1+S2+S

32、3+S10=【解答】解：（1）图 1，过点 O 做 OEAC，OFBC，垂足为 E、F，则OEC=OFC=90 C=90 四边形 OECF 为矩形 OE=OF 矩形 OECF 为正方形 设圆 O 的半径为 r，则 OE=OF=r，AD=AE=3r，BD=4r 3r+4r=5，r=1 S1=12=（2）图 2，由 SABC=34=5CD CD=由勾股定理得：AD=，BD=5=由（1）得：O 的半径=，E 的半径=S1+S2=+=（3）图 3，由 SCDB=4MD MD=由勾股定理得：CM=，MB=4=由（1）得：O 的半径=，：E 的半径=，：F 的半径=S1+S2+S3=+=图 4 中的 S1

33、+S2+S3+S4=则 S1+S2+S3+S10=故答案为：【点评】本题考查了直角三角形的内切圆，这是一个图形变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解；解决此题的思路为：先找出计算直角三角形内切圆半径的规律：半径r=（a、b 是直角边，c 为斜边）；利用面积相等计算斜边上的高；运用勾股定理计算直角三角形的边长 19如图，在ABC 中，CD 是高，CE 是中线，CE=CB，点 A、D 关于点 F 对称，过点 F 作FGCD，交 AC 边于点 G，连接 GE若 AC=18，BC=12，则CEG 的周长为 27 【分析】先

34、根据点 A、D 关于点 F 对称可知点 F 是 AD 的中点，再由 CDAB，FGCD 可知FG 是ACD 的中位线，故可得出 CG 的长，再根据点 E 是 AB 的中点可知 GE 是ABC 的中位线，故可得出 GE 的长，由此可得出结论【解答】解：点 A、D 关于点 F 对称，点 F 是 AD 的中点 CDAB，FGCD，FG 是ACD 的中位线，AC=18，BC=12，CG=AC=9 点 E 是 AB 的中点，GE 是ABC 的中位线，CE=CB=12，GE=BC=6，CEG 的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27 故答案为：27【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位

35、线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解答此题的关键 20如图，等边三角形的顶点 A（1，1）、B（3，1），规定把等边ABC“先沿 x 轴翻折，再向左平移 1 个单位”为一次变换，如果这样连续经过 2017 次变换后，等边ABC的顶点 C 的坐标为（2015，1）【分析】据轴对称判断出点 A 变换后在 x 轴下方，然后求出点 A 纵坐标，再根据平移的距离求出点 A 变换后的横坐标，最后写出即可【解答】解：ABC 是等边三角形 AB=31=2，点 C 到 x 轴的距离为 1+2=+1，横坐标为 2，C（2，+1），第 2017 次变换后的三角形在 x 轴下方，点 C 的纵坐标为1，横坐标为 2

36、20171=2015，所以，点 C 的对应点 C的坐标是（2015，1），故答案为：（2015，1）【点评】本题考查了坐标与图形变化平移，等边三角形的性质，读懂题目信息，确定出连续 2016 次这样的变换得到三角形在 x 轴上方是解题的关键 21如图，在ABC 中，AB=BC=4，AO=BO，P 是射线 CO 上的一个动点，AOC=60，则当PAB 为直角三角形时，AP 的长为 2或 2或 2 【分析】利用分类讨论，当ABP=90时，如图 2，由对顶角的性质可得AOC=BOP=60，易得BPO=30，易得 BP 的长，利用勾股定理可得 AP 的长；当APB=90时，分两种情况讨论，情况一：如图

37、 1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO，易得BOP 为等边三角形，利用锐角三角函数可得 AP 的长；易得 BP，利用勾股定理可得 AP 的长；情况二：如图 3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论【解答】解：当APB=90时（如图 1），AO=BO，PO=BO，AOC=60，BOP=60，BOP 为等边三角形，AB=BC=4，AP=AB?sin60=4=2；当ABP=90时（如图 2），AOC=BOP=60，BPO=30，BP=2，在直角三角形 ABP 中，AP=2，情况二：如图 3，AO=BO，APB=90，PO=AO，AOC=60，AOP 为等边三角形，AP=

38、AO=2，故答案为：2或 2或 2【点评】本题主要考查了勾股定理，含 30直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键 22如图，在一张长为 7cm，宽为 5cm 的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为 4cm 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为 8cm2或 2cm2或 2cm2 【分析】因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分三种情况进行讨论：（1）AEF 为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出 AE 边上的高 BF，再代入面积公式求解；（3）先求出 AE 边

39、上的高 DF，再代入面积公式求解【解答】解：分三种情况计算：（1）当 AE=AF=4 时，如图：SAEF=AE?AF=44=8（cm2）；（2）当 AE=EF=4 时，如图：则 BE=54=1，BF=，SAEF=AEBF=4=2（cm2）；（3）当 AE=EF=4 时，如图：则 DE=74=3，DF=，SAEF=AE?DF=4=2（cm2）；故答案为：8 或 2或 2【点评】本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度 23在ABC 中，AB=13，AC=20，BC 边上的高为 12，则ABC 的面积为 126 或 66 【分析】分两种情

40、况：B 为锐角；B 为钝角；利用勾股定理求出 BD、CD，即可求出 BC 的长【解答】解：分两种情况：当B 为锐角时，如图 1 所示，在 RtABD 中，BD=5，在 RtADC 中，CD=16，BC=BD+CD=21，ABC 的面积为2112=126；当B 为钝角时，如图 2 所示，在 RtABD 中，BC=CDBD=165=11，所以ABC 的面积为1112=66；故答案为：126 或 66【点评】本题主要考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，画出图形，分类讨论是解答此题的关键 24如图，在四边形 ABCD 中，ABC=90，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5，则四边形ABCD 的面积为

41、=31，BD 的长为 2 【分析】连接 AC，在 RtABC 中，根据勾股定理求出 AC 的长，利用勾股定理的逆定理，说明ACD 是直角三角形利用 RtABC 和 RtACD 的面积和求出四边形 ABCD 的面积过点 D 作 DEBC，交 BC 的延长线与点 E易证明ABCCED，求出 DE、CE 的长，再利用勾股定理求出 BD 的长，【解答】解：连接 AC，过点 D 作 DEBC，交 BC 的延长线与点 E 因为ABC=90，AB=3，BC=4，AC=5，由于 AC2+CD2=25+100=125，AD2=（5）2=125，AC2+CD2=AD2 所以ACD=90 所以 S四边形 ABCD=

42、SABD+SACD=34+510=6+25=31 DEC=90，DCE+CDE=90，所以DCE+ACB=90，CDE=ACB，又ABC=90，ABCCED CE=6，DE=8 BE=BC+CE=10，在 RtDEB 中，DB=2 故答案为：31，2【点评】本题考查了直角三角形的勾股定理和逆定理及相似三角形的判定解决本题的关键是连接 AC 利用直角三角形的面积求出四边形的面积 三解答题（共 4 小题）25如图，在四边形 ABCD 中，A=C=45，ADB=ABC=105（1）若 AD=2，求 AB；（2）若 AB+CD=2+2，求 AB【分析】（1）在四边形 ABCD 中，由A=C=45，AD

43、B=ABC=105，得BDF=ADCADB=165105=60，ADE 与BCF 为等腰直角三角形，求得 AE，利用锐角三角函数得 BE，得 AB；（2）设 DE=x，利用（1）的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，表示AB，CD，得结果【解答】解：（1）过 D 点作 DEAB，过点 B 作 BFCD，A=C=45，ADB=ABC=105，ADC=360ACABC=3604545105=165，BDF=ADCADB=165105=60，ADE 与BCF 为等腰直角三角形，AD=2，AE=DE=，ABC=105，ABD=1054530=30，BE=，AB=；（2）设 DE=x，则 AE=x，B

44、E=，BD=2x，BDF=60，DBF=30，DF=x，BF=，CF=，AB=AE+BE=，CD=DF+CF=x，AB+CD=2+2，AB=+1【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有 30角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线 DE、BF，构造直角三角形，求出相应角的度数 26如图：在矩形 ABCD 中，AD=60cm，CD=120cm，E、F 为 AB 边的三等分点，以 EF 为边在矩形内作等边三角形 MEF，N 为 AB 边上一点，EN=10cm；请在矩形内找一点 P，使PMN 为等边三角形（画出图形，并直接写出PMF 的面积）【分析】如图，以 MN 为边容易作出

45、等边三角形，结合等边三角形的性质，连接 PE，可证明MPEMNF，可证明 PEMF，容易求得 SPMF=SMEF，可求得答案【解答】解：如图，以 MN 为边，可作等边三角形 PMN；PMF 的面积为 400（求解过程如下）连接 PE，MEF 和PMN 为等边三角形，PMN=EMF=MFE=60，MN=MP，ME=MF，PME=NMF，在MPE 和MNF 中，MPEMNF（SAS），MEP=MFE=60，PEN=60，PEMF，SPMF=SMEF=EF2=400【点评】本题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的性质和判定，利用全等证得 PEMF，得到 SPMF=SMEF是解题的关键 27如图，已

46、知 RtABC 中，ACB=90，CD 是斜边 AB 上的中线，过点 A 作 AECD，AE分别与 CD、CB 相交于点 H、E，AH=2CH（1）求 sinB 的值；（2）如果 CD=，求 BE 的值【分析】（1）根据ACB=90，CD 是斜边 AB 上的中线，可得出 CD=BD，则B=BCD，再由 AECD，可证明B=CAH，由 AH=2CH，可得出 CH：AC=1：，即可得出 sinB 的值；（2）根据 sinB 的值，可得出 AC：AB=1：，再由 AB=2，得 AC=2，则 CE=1，从而得出 BE【解答】解：（1）ACB=90，CD 是斜边 AB 上的中线，CD=BD，B=BCD，

47、AECD，CAH+ACH=90，又ACB=90 BCD+ACH=90 B=BCD=CAH，即B=CAH，AH=2CH，由勾股定理得 AC=CH，CH：AC=1：，sinB=；（2）sinB=，AC：AB=1：，AC=2 CAH=B，sinCAH=sinB=，设 CE=x（x0），则 AE=x，则 x2+22=（x）2，CE=x=1，AC=2，在 RtABC 中，AC2+BC2=AB2，AB=2CD=2，BC=4，BE=BCCE=3【点评】本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大 28如图，ACB 和DCE 均为等腰三角形，点 A，D，E 在同一直线上，连接

48、BE（1）如图 1，若CAB=CBA=CDE=CED=50 求证：AD=BE；求AEB 的度数（2）如图 2，若ACB=DCE=120，CM 为DCE 中 DE 边上的高，BN 为ABE 中 AE 边上的高，试证明：AE=2CM+BN【分析】（1）通过角的计算找出ACD=BCE，再结合ACB 和DCE 均为等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出ACDBCE，由此即可得出结论 AD=BE；结合中的ACDBCE 可得出ADC=BEC，再通过角的计算即可算出AEB 的度数；（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过

49、解直角三角形即可求出线段 AD、DE 的长度，二者相加即可证出结论【解答】（1）证明：CAB=CBA=CDE=CED=50，ACB=DCE=180250=80 ACB=ACD+DCB，DCE=DCB+BCE，ACD=BCE ACB 和DCE 均为等腰三角形，AC=BC，DC=EC 在ACD 和BCE 中，有，ACDBCE（SAS），AD=BE 解：ACDBCE，ADC=BEC 点 A，D，E 在同一直线上，且CDE=50，ADC=180CDE=130，BEC=130 BEC=CED+AEB，且CED=50，AEB=BECCED=13050=80（2）证明：ACB 和DCE 均为等腰三角形，且A

50、CB=DCE=120，CDM=CEM=（180120）=30 CMDE，CMD=90，DM=EM 在 RtCMD 中，CMD=90，CDM=30，DE=2DM=2=2CM BEC=ADC=18030=150，BEC=CEM+AEB，AEB=BECCEM=15030=120，BEN=180120=60 在 RtBNE 中，BNE=90，BEN=60，BE=BN AD=BE，AE=AD+DE，AE=BE+DE=BN+2CM【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算，解题的关键是：（1）通过角的计算结合等腰三角形的性质证出ACDBCE；（2）找出线段 AD、