贝努利不等式的证明与应用.pdf

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1、 1 贝努利（Bernouli）不等式的证明及应用 xR且1x，n 为整数；有11nxnx 证法 1：（数学归纳法）（1）当1n 时，等式显然成立 当2n 时，221121+2xxxx （2）假设nk时，等式成立，（2k）有11kxkx 当 n=k+1 时，1k2111 11111kxxxkxxxkxkxkx 1nk当时不等式成立 综上可知不等式成立 证法 2：联想到1221xnnnnnnyxyxxyxyy 1211111nnnnxxxx 当0 x时，11kx 12111 nnxxxnx 1111nnxnxxnx 当1 00 11kxx时有 1211111nnnxxxnxxnx 证法 3：当1

2、01x0,11nnnxxnx时，成立 当10nx，则 1111nx 111kkkxxxx x 232111111111111nnnnxxxxxxxxnxxnxxxx 证法 5：只证111nnxx；设11nnnxax 2 21111111111101111nnnnnnnxnxnxxnxnxaaxxxx na为单减数列，故1a 1na 应用举例 1 已知,i m nN且1i mn（1）证明：1nmmn 证：（1）略 （2）1nm1mn,；1 1+1nmnmmnm 1 1nmmn 2（07 湖北 21）已知,m nN（1）用数学归纳法证明：x11x1+nxn当时，（2）对于6n。已知11132nn，

3、求证：11033mmnn 于是111111,1,2,3,n3332mnmnnmmmnnn，（3）由（2）知，当6n 时，2312111111111133322222nnnnnnnnn 2131333nnnnnnnn 即3421x且0 x 1111nxnxxx 2）xR，11,1xx xR，01xx 3）,1,0nNnt；则有11ntn t 4）设,0,1anNn，则11nnnanan当且仅当a时取到“=”证：1111nnnnnnaaannan 3.设函数 11,1xf xnN xR nn（1）当 n=6 时，求11nx的展开式中二项式系数最大的项（2）xR，证明 22f2fxfx（3）是否存在,aN使得1111,11 12mmmmmNCCmmm 且 11111,11nnnananmm 有贝努利不等式 111111111 111111mmmmmmmmmmm 可得 61111111616161mmmmmm，11ntn t 4 即161616m515mmm；两边 6 次方66161365mm 113mm；2,3,km对，有12 13kk，进而有112 131 从而有112 13knknnk成立 综上存在 a=2 使得不等式恒成立。（后加：1111m 11111m11111mmm1m+1mmmmm ）