求递推数列的通项公式的十一种方法.pdf

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1、求递推数列的通项公式的十一种方法 利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例 1 在数列na中，31a,)1(11nnaann，求通项公式na.解：原递推式可化为：1111nnaann则,211112 aa 312123 aa 413134 aa，nnaann1111逐项相加得：naan111.故nan14.二、作商求和法 例 2 设数列na是首项为 1 的正项数列，且0)1(1221nnnnaanaan（n=1,2,3），则它的通项公式是na=（2000 年高考 15 题）解：原递推式可化为：)

2、()1(11nnnnaanaan=0 nnaa10，11nnaann 则,43,32,21342312aaaaaa，nnaann11 逐项相乘得：naan11，即na=n1.三、换元法 例 3 已知数列na，其中913,3421aa，且当 n3 时，)(31211nnnnaaaa，求通项公式na（1986 年高考文科第八题改编）.解：设11nnnaab，原递推式可化为：,3121nnnbbb是 一 个 等 比 数 列，9134913121aab，公 比 为31.故nnnnbb)31()31(91)31(2211.故nnnaa)31(1.由逐差法可得：nna)31(2123.例 4 已知数列na

3、，其中2,121aa，且当 n3 时，1221nnnaaa，求通项公式na。解 由1221nnnaaa得：1)()(211nnnnaaaa，令11nnnaab，则 上 式 为121nnbb，因此nb是一个等差数列，1121aab，公差为 1.故nbn.。由于112312121nnnnaaaaaaabbb 又2)1(121nnbbbn 所以)1(211nnan，即)2(212nnan 四、积差相消法 例 5（1993 年全国数学联赛题一试第五题）设正数列0a，1a，na，na，满足2nnaa21nnaa=12na )2(n且110 aa，求na的通项公式.解 将递推式两边同除以21nnaa整理得

4、：12211nnnnaaaa 设nb=1nnaa，则011aab=1，121nnbb，故有 1212 bb 1223 bb 121nnbb (1n)由22n+32n+(1n)02得122221nnb=12 n，即1nnaa=12 n.逐项相乘得：na=2)12(222)12()12(n，考虑到10a，故 2222)12()12()12(1nna )1()0(nn .五、取倒数法 例 6 已知数列na中，其中,11a，且当 n2 时，1211nnnaaa，求通项公式na。解 将1211nnnaaa两边取倒数得：2111nnaa，这说明1na是一个等差数列，首项是111a，公差为 2，所以122)

5、1(11nnan，即121nan.六、取对数法 例 7 若数列na中，1a=3 且21nnaa（n 是正整数），则它的通项公式是na=（2002年上海高考题）.解 由题意知na0，将21nnaa两边取对数得nnaalg2lg1，即2lglg1nnaa，所以数列lgna是以1lg a=3lg为首项，公比为 2 的等比数列，12113lg2lglgnnnaa，即123nna.七、平方（开方）法 例 8 若数列na中，1a=2 且213nnaa（n2），求它的通项公式是na.解 将213nnaa两边平方整理得3212nnaa。数列2na是以21a=4 为首项，3 为公差的等差数列。133)1(212

6、nnaan。因为na0，所以13 nan。八、待定系数法 待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，可以少走弯路.其变换的基本形式如下：1、BAaann1（A、B 为常数）型，可化为1na=A（na）的形式.例 9 若数列na中，1a=1，nS是数列na的前n项之和，且nnnSSS431（n1），求数列na的通项公式是na.解 递推式nnnSSS431可变形为41311nnSS （1）设（1）式可化为)1(311nnSS （2）比较（1）式与（2）式的系数可得2，则有)21(3211nnSS。故数列21nS是以3211S为首项，3 为公比的等比数列。21nS=nn333

7、1。所以131nnS。当 n2，1238332231231211nnnnnnnnSSa。数列na的通项公式是123833212nnnna )2()1(nn 。2、BAaann1nC（A、B、C 为常数，下同）型，可化为11nnCa=nnCaA(）的形式.例 10 在数列na中，,342,1111nnnaaa求通项公式na。解：原递推式可化为：)3(2311nnnnaa 比较系数得=-4，式即是：)34(23411nnnnaa.则数列341nna是一个等比数列，其首项534111a，公比是 2.112534nnna 即112534nnna.3、nnnaBaAa12型，可化为)()(112nnnn

8、aaAaa的形式。例 11 在数列na中，2,121aa，当Nn，nnnaaa6512 求通项公式na.解：式可化为：)(5(112nnnnaaaa 比较系数得=-3 或=-2，不妨取=-2.式可化为：)2(32112nnnnaaaa 则21nnaa是一个等比数列，首项122aa=2-2（-1）=4，公比为 3.11342nnnaa.利用上题结果有：112534nnna.4、CBnAaann1型，可化为)1(21211naAnann的形式。例 12 在数列na中，231a，12nnaa=63n 求通项公式na.解 式可化为：21121)1()(2nanann 比较系数可得：1=-6，92，式为

9、12nnbb nb 是一个等比数列，首项299611nab，公比为21.1)21(29nnb 即 nnna)21(996 故96)21(9nann.九、猜想法 运用猜想法解题的一般步骤是：首先利用所给的递推式求出123,a a a，然后猜想出满足递推式的一个通项公式na，最后用数学归纳法证明猜想是正确的。例 13 在各项均为正数的数列na中，nS为数列na的前 n 项和，nS=1(2na+1)na，求其通项公式。求递推数列通项的特征根法与不动点法 一、形如21(,nnnapaqap q是常数）的数列 形如112221,(,nnnam am apaqap q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求

10、得通项na，其特征方程为2xpxq 若有二异根,，则可令1212(,nnnaccc c是待定常数）若有二重根，则可令1212()(,nnacncc c是待定常数）再利用1122,am am可求得12,c c，进而求得na 例 1已知数列na满足*12212,3,32()nnnaaaaanN，求数列na的通项na 解：其特征方程为232xx，解得121,2xx，令1212nnnacc，由1122122243accacc，得12112cc，112nna 例 2已知数列na满足*12211,2,44()nnnaaaaanN，求数列na的通项na 解：其特征方程为2441xx，解得1212xx，令12

11、12nnacnc，由1122121()121(2)24accacc，得1246cc，1322nnna 二、形如2nnnAaBaCaD的数列 对于数列2nnnAaBaCaD，*1,(,am nNA B C D是常数且0,0CAD BC）其特征方程为AxBxCxD，变形为2()0CxDA xB 若有二异根,，则可令11nnnnaacaa（其中c是待定常数），代入12,a a的值可求得c值 这样数列nnaa是首项为11aa，公比为c的等比数列，于是这样可求得na 若有二重根，则可令111nncaa（其中c是待定常数），代入12,a a的值可求得c值 这样数列1na是首项为1na，公差为c的等差数列，

12、于是这样可求得na 此方法又称不动点法 例 3已知数列na满足11122,(2)21nnnaaana，求数列na的通项na 解：其特征方程为221xxx，化简得2220 x，解得121,1xx，令111111nnnnaacaa 由12,a 得245a，可得13c ，数列11nnaa是以111 11 3aa为首项，以13为公比的等比数列，1111133nnnaa，3(1)3(1)nnnnna 例 4已知数列na满足*11212,()46nnnaaanNa，求数列na的通项na 解：其特征方程为2146xxx，即24410 xx，解得1212xx，令1111122nncaa 由12,a 得2314a，求得1c，数列112na是以112152a为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552nnna，135106nnan