决战中考之三角形专项突破专题07等边三角形的判定与性质(老师版).pdf

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1、 专题 07 等边三角形的判定与性质 知识对接 考点一、等边三角形的判定与性质 1、性质：(1)三边相等.(2)三个内角相等,每一个内角都等于 60.(3)是轴对称图形,有三条对称轴.(4)面积:S=43a2(a 为等边三角形的边长).2、判定：(1)三边相等的三角形是等边三角形.(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.(3)有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形.专项训练 一、单选题 1（2021陕西西安交大附中分校九年级）如图，点 A，B，C，D 在O 上，其中四边形 OBCD 为平行四边形，连接 AB，AC，则A 的度数为（）A20 B25 C30 D35【答案】A【分析】连接 OC，

2、先证明OBC 是等边三角形，得到BOC60，然后利用圆周角定理求解即可【详解】解：连接 OC 四边形 OBCD 为平行四边形，*ODBC，OBOCOD，OBOCBC，OBC 是等边三角形，BOC60，BAC12BOC30，故选 A【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解 2（2021绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学九年级二模）如图，正方形 ABCD 的顶点 A、B 在O 上，顶点 C、D在O 内，将正方形 ABCD 绕点 B 顺时针旋转 度，使点 C 落在O 上若正方形 ABCD 的边长和O 的半径相等，则旋转角度 等于（）

3、A36 B30 C25 D22.5【答案】B【分析】连接 OA，OB，OG，由旋转的性质可得，AB=BG，ABE=CBG=，先证明OAB 和OBG 都是等边三角形，得到OBA=OBG=60，再由ABO+OBG=ABC+CBG=120，求解即可【详解】解：如图所示，连接 OA，OB，OG，由旋转的性质可得，AB=BG，ABE=CBG=正方形 ABCD 的边长和O 的半径相等，OA=OB=OG=BG=AB，OAB 和OBG 都是等边三角形，OBA=OBG=60，ABO+OBG=ABC+CBG=120，ABC=90（正方形的性质），CBG=30，=30，故选 B 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等

4、边三角形的性质与判定，正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解 3（2021西安市铁一中学）如图，在矩形ABCD中，DAB的平分线交BD于点F，CD于点E，15EAC，2 3AB，则EF的长为（）A2 32 B62 C2 22 D31【答案】B【分析】过点F作FGAD于点G，根据矩形性质证明OAD是等边三角形，利用tan60GFDG，求出GF的长，再根据勾股定理即可求出结果【详解】解：如图，过点F作FGAD于点G，在矩形ABCD中，EA是DAB的平分线，45DAEEABAED，ADDE，AGGF，15EAC，60DAC，OAD是等边三角形，60ADB，2 3AB，2AD，4BD

5、，2ADDE，2 2AE，60GDF，2DGADAGGF，tan60GFDG，23GFGF，解得33GF，23 26AFGF，2 23 2662EFAEAF 故选 B【点睛】本题主要考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.4（2021海南三亚九年级一模）如图，在RtABC中，90ABC，2ABBC，将ABC绕点 C 逆时针转60，得到MNC，则BM的长是（）A12 B13 C32 D22【答案】B【分析】连接 AM，BM 交 AC 于 D，如图，利用等腰直角三角形的性质得到 AC2AB2，再根据旋转的性质得C

6、MCA2，ACM60，则可判断ACM 为等边三角形，直接证 BM 垂直平分 AC，然后利用等腰直角三角形和等边三角形的性质计算出 BD 和 MD，从而得到 BM 的长【详解】解：连接 AM，BM 交 AC 于 D，如图，ABC90，ABBC2，AC2AB222，ABC 绕点 C 逆时针转 60，得到MNC，CMCA2，ACM60，ACM 为等边三角形，MAMC，而 BABC，BM 垂直平分 AC，BD12AC1，MD32AC3223，BM13 故选：B【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了等腰直角三角形和

7、等边三角形的性质 5（2021河北九年级）如图，直线AB、CD交于点O，若AB、CD是等边MNP的两条对称轴，且点P在直线CD上（不与点O重合），则点M、N中必有一个在（）AAOD的内部 BBOD的内部P CBOC的内部 D直线AB上【答案】D【分析】根据等边三角形是轴对称图形，利用轴对称图形的性质解决问题即可【详解】解：如图，PMN 是等边三角形，PMN 的对称轴经过三角形的顶点，直线 CD，AB 是PMN 的对称轴，又直线 CD 经过点 P，直线 AB 一定经过点 M 或 N，故选：D【点睛】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常

8、考题型 6（2021四川绵阳）如图，圆锥的左视图是边长为 2 的等边三角形，则此圆锥的高是（）A2 B3 C2 D3【答案】D【分析】如图所示，等边三角形 ABC，BC 边上的高 AD 即为所求【详解】解：如图所示等边三角形 ABC，AD 是 BC 边上的高，由题意可知 AD 的长即为所求，AB=2，B=60，sin3ADABB，故选 D 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三视图，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解 7（2021四川雅安）如图，四边形ABCD为O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，A为（）A45 B60 C72 D36 【答案】B【分析】根据菱形性

9、质，得OBODBCCD；连接OC，根据圆的对称性，得OBOCOD；根据等边三角形的性质，得BOD，再根据圆周角和圆心角的性质计算，即可得到答案【详解】四边形OBCD为菱形 OBODBCCD 连接OC 四边形ABCD为O的内接四边形 OBOCOD OBC，OCD为等边三角形 60BOCCOD 120BODBOCCOD 1602ABOD 故选：B【点睛】本题考查了圆内接多边形、等边三角形、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、等边三角形、菱形、圆周角、圆心角的知识；从而完成求解 8（2021山东枣庄中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，6 3AC，6BD，点P是A

10、C上一动点，点E是AB的中点，则PDPE的最小值为（）A3 3 B6 3 C3 D6 2【答案】A【分析】连接DE，先根据两点之间线段最短可得当点,D P E共线时，PDPE取得最小值DE，再根据菱形的性质、勾股定理可得6AB，然后根据等边三角形的判定与性质求出DE的长即可得【详解】解：如图，连接DE，由两点之间线段最短得：当点,D P E共线时，PDPE取最小值，最小值为DE，四边形ABCD是菱形，6 3AC，6BD，11,3,3 3,22ABAD OBBDOAACACBD，226ABOAOB，6ABADBD，ABD是等边三角形，点E是AB的中点，13,2AEABDEAB，2222633 3

11、DEADAE，即PDPE的最小值为3 3，故选：A【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键 9（2021天津）如图，在ABC中，120BAC，将ABC绕点 C 逆时针旋转得到DEC，点 A，B 的对应点分别为 D，E，连接AD当点 A，D，E 在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（）AABCADC BCBCD CDEDCBC DABCD【答案】D【分析】由旋转可知120EDCBAC，即可求出60ADC，由于60ABC，则可判断ABCADC，即 A 选项错误；由旋转可知CBCE，由于CECD，即推出CBCD，即 B 选项错误；由三角形三边关系可

12、知DEDCCE，即可推出DEDCCB，即 C 选项错误；由旋转可知DCAC，再由60ADC，即可证明ADC为等边三角形，即推出60ACD即可求出180ACDBAC，即证明/ABCD，即 D 选项正确；【详解】由旋转可知120EDCBAC，点 A，D，E 在同一条直线上，18060ADCEDC，60ABC，ABCADC，故 A 选项错误，不符合题意；由旋转可知CBCE，120EDC为钝角，CECD，CBCD，故 B 选项错误，不符合题意；DEDCCE，DEDCCB，故 C 选项错误，不符合题意；由旋转可知DCAC，60ADC，ADC为等边三角形，60ACD 180ACDBAC，/ABCD，故 D

13、 选项正确，符合题意；故选 D【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定利用数形结合的思想是解答本题的关键 10（2021安徽）如图，在ABC 中，ABBC3，ABC30，点 P 为ABC 内一点，连接 PA、PB、PC，求 PA+PB+PC 的最小值（）A3 2 B3+2 C3 3 D3+3【答案】A【分析】将ABP绕点B逆时针旋转60得到BFE，连接PF，EC 易证PA+PB+PC=PC+PF+EF，因为 PC+PF+EFEC，推出当 P，F 在直线 EC 上时，PA+PB+PC 的值最小，求出 EC 的长即可解决问题【详解】解：将ABP 绕点 B

14、逆时针旋转 60得到BFE，连接 PF，EC 由旋转的性质可知：PBF 是等边三角形，PB=PF，PA=EF，PA+PB+PC=PC+PF+EF，PC+PF+EFEC，当 P，F 在直线 EC 上时，PA+PB+PC 的值最小，由旋转可知：BC=BE=BA=3，CBE=ABC+ABE=90，EBBC，EC=2BC=3 2，PA+PB+PC 的最小值为3 2，故选 A【点睛】本题旋转变换，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题 二、填空题 11（2021杭州市十三中教育集团（总校）如图，点 D 是等边ABC

15、边 BC 上一点，将等边ABC 折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕为 EF（点 E 在边 AB 上）（1）当点 D 为 BC 的中点时，AE：EB_；（2）当点 D 为 BC 的三等分点时，AE：EB_ 【答案】1：1 7：5 或 7：8 【分析】（1）连接 AD，然后根据折叠的性质和等边三角形的性质求解即可；（2）分当 DC：BD1：2 时，当 DC：BD2：1 时两种情况，利用相似三角形进行求解即可.【详解】解：（1）如图，连接 AD，D 为 BC 的中点，ABC 为等边三角形，折叠，ADBC，DABDAC1=2BAC30，B60，EDB903060B，BED 为等边三角形，AEEDBE

16、，即 AE：EB1：1，故答案为：1：1；（2）当 DC：BD1：2 时，设 CDk，BD2k，ABAC3k，ABC 为等边三角形，EDFA60，EDB+FDCBED+EDB120，BEDFDC，BC60，BEDCDF，=BEBEDDCCDF的周长的周长，54BEkkk，BE54k，AE74k，AE：BE7：5，当 DC：BD2：1 时，设 CD2k，BDk，同上一种情况得：=BEBEDDCCDF的周长的周长，425BEkkk BE85k，AE75k，AE：BE7：8，故答案为：7：5 或 7：8 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，解题的关键在于

17、能够熟练掌握相关知识进行求解.12（2021陕西西安交大附中分校）如图，在边长为 6cm 的正六边形中，点 P 在边 AB 上，连接 PD、PE 则PDE 的面积为_cm2 【答案】183【分析】首先求得正六边形的边心距，从而求得PDE 边 DE 上的高，利用三角形的面积公式求得答案即可【详解】解：如图所示，连接 OD、OE，此正六边形中 DE6，则DOE60；ODOE，ODE 是等边三角形，OGDE，DOG30，OGODcos3063233（cm），PDE 边 DE 上的高为 2OG63（cm），SPDE12663183（cm2），故答案为 183【点睛】此题考查了正六边形的性质，三角形面积

18、的求法，解题的关键是根据题意作出辅助线 13（2021江苏九年级二模）若线段 DE 是等边ABC 的中位线，且 DE2，则ABC 的周长为 _【答案】12【分析】根据三角形中位线定理求出 BC，根据等边三角形的概念计算即可【详解】解：如图，DE 是ABC 的中位线，BC2DE4，ABC 为等边三角形，ABACBC4，ABC 的周长为 12，故答案为：12【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的概念，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边 的一半是解题的关键 14（2021山东滨州）如图，在ABC中，90ACB，30BAC，2AB 若点 P 是ABC内一点，则PAPBPC的最小值

19、为_ 【答案】7【分析】根据题意，首先以点 A 为旋转中心，顺时针旋转APB 到APB，旋转角是 60，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到 PA+PB+PC=PP+PB+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到 PA+PB+PC 的最小值就是 CB的值，然后根据勾股定理可以求得 CB的值，从而可以解答本题【详解】解：以点 A 为旋转中心，顺时针旋转APB 到APB，旋转角是 60，连接 BB、PP，CB，如图所示，则PAP=60，AP=AP，PB=PB，APP是等边三角形，AP=PP，PA+PB+PC=PP+PB+PC，PP+PB+PCCB，PP+PB+P

20、C 的最小值就是 CB的值，即 PA+PB+PC 的最小值就是 CB的值，BAC=30，BAB=60，AB=AB=2，CAB=90，AB=2，AC=ABcosBAC=2cos30=3232，CB=227ACAB，故答案为：7【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出 PA+PB+PC 的最小值就是 CB的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想 15（2021四川达州中考真题）如图，在边长为 6 的等边ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AECF，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为_ 【答案】2 3【分

21、析】首先证明120APB，推出点 P 的运动轨迹是以 O 为圆心，OA 为半径的弧连接 CO 交O 于P，当点P 运动到P时，CP 取到最小值【详解】如图所示，边长为 6 的等边ABC，6ACAB，60ACBCAB 又AECF ACFBAE SAS CAPPBA 60EPAPBAPABCAPPABCAB 120APB 点 P 的运动轨迹是以 O 为圆心，OA 为半径的弧 此时120AOB 连接 CO 交O 于P，当点 P 运动到P时，CP 取到最小值 CACB，COCO，OAOB ACOBCO SSS 30ACOBCO，60AOCBOC 90CAOCBO 又6AC 3tan3062 33OPO

22、AAB，64 3cos3032ABOC 4 32 32 3CPOCOP 即min2 3CP 故答案为：2 3【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识关键是学会添加辅助线，该题综合性较强 三、解答题 16（2021广东广州中考真题）如图，在四边形 ABCD 中，90ABC，点 E 是 AC 的中点，且ACAD（1）尺规作图：作CAD的平分线 AF，交 CD 于点 F，连结 EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，若45BAD，且2CADBAC，证明：BEF为等边三角形 【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析【分析】（1）根

23、据基本作图角平分线作法，作出CAD的平分线 AF 即可解答；（2）根据直角三角形斜边中线性质得到12BEAC并求出30BECBACABE，再根据等腰三角形三线合一性质得出CFDF，从而得到 EF 为中位线，进而可证BEEF，60BEF，从而由有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形得出结论【详解】解：（1）如图，AF 平分CAD，（2）45BAD，且2CADBAC，30CAD，15BAC，AEEC，90ABC，12BEAEAC，15ABEBAC，30BECBACABE，又AF 平分CAD，ACAD，CFDF，又AEEC，1122EFADAC，/EFAD，30CEFCAD，60BEFBECCEF

24、 又12BEEFAC BEF为等边三角形【点睛】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理，解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理 17（2021南山实验教育集团南海中学九年级三模）如图，BC是O的直径，点A是O上一点，点D是BC延长线上一点，ABAD，AE是O的弦，30AEC （1）求证：直线AD是O的切线；（2）若3CD，求O的半径；（3）若AEBC于点F，点P为ABE上一点，连接AP，CP，EP，请找出AP，CP，EP之间的关系，并证明【答案】（1）见解析；（2）3；（3）3EPAPCP，理由见解析【分析】（1）

25、先求出BAD120，再求出OAB，进而得出OAD90，即可得出结论；（2）先判断出AOC 是等边三角形，得出 ACOC，再判断出 ACCD，即可得出结论；（3）先判断出CAPCEM，进而得出ACPECM（SAS），进而得出 CMCP，APCM30，再判断出32MNCM，即可得出结论【详解】（1）证明：如图，连接ACOA，30AEC，30ABCAEC=，ABAD，30DABC=，120BAD，OA OB=，30OABABC，90OADBADOAB=-=，点A在O上，直线AD是的切线；（2）解：如图 1，连接AC，由（1）知，30D，90OAD，9060AOCD=-=，AOC是等边三角形，OCAC

26、，60OAC，30CADOADOACD=，3ACCD，3OC，即O的半径为 3；（3）3EPAPCP，理由：如图，30AEC，30APCAEC，连接AC，延长PE至M，使EMAP，连接CM，AEBC，BC为O的直径，ACEC，四边形APEC是O的内接四边形，CAPCEM，()ACPECM SAS，CMCP，30APCM，过点C作CNPM于N，2PMMN，在RtCNM中，MNcosCMM，MN3cos302CM，32MNCM，233PMMNCMCP，PMPEEMPEAP，3PEAPCP，即3EPAPCP【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和勾股定理，构造出直角三

27、角形是解本题的关键 18（2021广州市八一实验学校九年级）如图，在PAB 中，点 C、D 在 AB 上，PCPDCD，ABPD，求证：APCBPD 【答案】见解析【分析】根据 PCPDCD，可得出PCD为等边三角形，即可得出PCDPDC,进而得出ACPPDB,再根据相似三角形的判定推出即可【详解】证明：PCPDCD，PCD为等边三角形，PCDPDC60，120ACPPDC,ABPD，APCPBD【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定等知识点，注意：如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似 19（2021黄石市有色中学九年级）如图，在ABC中，ABAC，12

28、0BAC，ADBC，垂足为 G，且ADAB，60EDF，其两边分别交 AB，AC 于点 E，F （1）若2DG，求 AC 的长；（2）求证：ABAEAF【答案】（1）4；（2）见解析【分析】（1）连接 BD 由等腰三角形的性质和已知条件得出BAD=DAC=12120=60，再由 AD=AB，可得ABD是等边三角形，由等边三角形的性质得出 DG=AG=12AD=2，即可求解；（2）由ABD是等边三角形，得出BD=AD，ABD=ADB=60，证出BDE=ADF，由ASA证明BDEADF，得出 AF=BE，即可求解【详解】解：（1）证明：AB=AC，ADBC，BAD=DAC=12 BAC，BAC=1

29、20，BAD=DAC=12120=60，AD=AB，ABD 是等边三角形，AD=AB=BD，ADBC，DG=AG=12AD=2，AD=AB=AC=4，即 AC=4；（2）ABD 是等边三角形，ABD=ADB=60，BD=AD，ABAC，120BAC，ADBC，BAD=DAC=12120=60，ABD=DAC，EDF=60，ADB-ADE=EDF-ADE，即BDE=ADF，BDEADF（ASA），BE=AF，AB=AE+BE，AB=AE+AF【点睛】本题主要考查了三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决

30、问题的关键 20（2021合肥市五十中学东校九年级三模）如图 1，已知等腰直角 ABC，ACB90，在直角边 BC 上取一点 D，使DAC15，以 AD 为一边作等边 ADE，且 AB 与 DE 相交（1）求证：AB 垂直平分 DE；（2）连接 BE，判断 EB 与 AC 的位置关系，并说明理由；（3）如图 2，若 F 为线段 AE 上一点，且 FCAC，求EFAF的值 【答案】（1）见解析；（2）互相平行；见解析；（3）1【分析】（1）根据DAC15及等腰直角三角形的性质，可得DAB=30，根据等边三角形的性质可得EAB=30，由等腰三角形的性质可得结论；（2）由（1）的结论易得 BD=BE

31、，EBA=CBA=45，即 BEBC，从而可得 BE 与 AC 的位置关系；（3）延长 CF，与 BE 的延长线交于点 G 易得 CF=BF；其次由（2）的结论易得G=30，从而 CG=2BC=2FC，即 CF=GF，然后可证明CAFGEF，从而得 AF=EF，即可得结果【详解】（1）ABC 是等腰直角三角形，ACB=90 AC=BC，CAB=CBA=45 DAC=15 DAB=CAB-DAC=30 ADE 是等边三角形 DAE=60 EAB=DAE-DAB=30 DAB=EAB ADE 是等边三角形 AB 垂直平分 DE （2）互相平行 理由如下：AB 垂直平分 DE BD=BE EBA=C

32、BA=45 EBC=EBA+CBA=90 即EBC+ACB=180 BEAC（3）延长 CF，与 BE 的延长线交于点 G，如图所示 FAC=DAE+DAC=75，FC=AC CFA=FAC=75 FCA=180275=30 AC=BC，AC=FC BC=FC 由（2）知：BEAC G=FCA=30 EBC=90 CG=2BC=2FC CF=GF 在CAF 和GEF 中 FCAGCFGFCFAGFE CAFGEF(ASA)AF=EF 1EFAF【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等 知识，第（3）问的关键是作辅助线，构造三角形全等

33、21（2021广西柳州市）如图，已知ABC中，ACBC，以BC为直径的O交AB于E，过点E作EGAC于G，交BC的延长线于点F （1）求证：FE是O的切线；（2）若30F，求证：24FGFC FB；（3）当6BC，4EF 时，求AG的长【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）245【分析】（1）连接EC，OE，由BC为O的直径，可得90BEC，由ACBC，可得E为AB中点，由O为BC中点，利用中位线性质可得 OEAC，由EGAC，可得OEEG即可；（2）由OEOC，可得OECOCE，由 EF 为圆的切线，可得90FECOEC，由90BEC，可得90BBCE，可证FECFBE，可得2FEFC

34、FB，当30F时，可求60FOE，可证OEC为等边三角形，可得30FECF，可证2FEFG即可；（3）由（2）得2FEFC FB，可得246FCFC，解得2FC 或 FC=-8 舍去，可证FCGFOE，可得253CG，可求65CG 即可【详解】解：（1）证明：连接EC，OE，BC为O的直径，90BEC，CEAB，又ACBC，E为AB中点，又O为BC中点，OEAC，又EGAC，OEEG，又OE为O的半径，FE是O的切线 （2）OEOC，OECOCE，EF 为圆的切线，90FECOEC，90BEC 90BBCE，FECB，又FF，FECFBE，FEFCFBFE，2FEFC FB，当30F时，60F

35、OE，又OEOC，OEC为等边三角形，60OEC，30FECF，CECF，又CGFE，2FEFG，22FGFC FB，即24FGFC FB（3）由（2）得2FEFC FB，又6BC，4FE，FB=BC+FC=6+FC，246FCFC，因式分解得（FC+8）（FC-2）=0，解得2FC 或 FC=-8 舍去，6BC，132OEOCBC，6ACBC，235FOFCCO，CGOE，GCF=EOF，FGC=FEO，FCGFOE，FCCGFOOE，即253CG，65CG，624655AGACCG【点睛】本题考查圆的切线判定，直径所对圆周角性质，等腰三角形性质，中位线性质，三角形相似判定与性质，等边三角形

36、判定与性质，掌握圆的切线判断，直径所对圆周角性质，等腰三角形性质，中位线性质，三角形相似判定与性质，等边三角形判定与性质是解题关键 22（2021江苏九年级）如图，ABC 为等边三角形，AB6，将边 AB 绕点 A 顺时针旋转（0120）得到线段 AD，连接 CD，CD 与 AB 交于点 G，BAD 的平分线交 CD 于点 E，F 为 CD 上一点，且 DF2CF（1）当EAB30时，求AEC 的度数；（2）当线段 BF 的长取最小值时，求线段 AG 的长；（3）请直接写出ADE 的周长的最大值 【答案】（1）60；（2）AG6712；（3）643【分析】（1）用角平分线的性质和旋转性质即可；

37、（2）作 FMAD，连接 BM，FM2，点 F 的运动轨迹是以 M 为圆心、2 为半径的圆，当 B、F、M 共线时，BF 取最小值；由ADGBFG 可求 AG；（3）连接 BE，设BAE，AE 平分BAD，可得,DAEEDEB，得到AEBC、四点共圆，作ABC的外接圆O，CAB是等边三角形，可将CAB绕点 C 顺时针旋转60得到CAN，得 E、A、N三点共线，求出AEDE的最大值，即可求出ADE的周长.【详解】（1）AD 由 AB 旋转得到 AD=AB AE 平分BAD 30DAEEAB 120DAC 30D =AECDDAE AEC60；（2）如图，CA=AB=6 2163CMCD，13CM

38、CA，13FMAD，又DF2CF 13CFCD 13CFCMCDCA 又MCFACD MCFACD 12,3MFADCFMD FM2，点 F 的运动轨迹是以 M 为圆心、2 为半径的圆，当 B、F、M 共线时，BF 取最小值 即min2BMBMMFBM 2,6,60CMBCACB 2 7BM min2 722BMBMMFBM CFMD FHAD 又 BF 取最小值点 F 在 BM 上，BFAD ADGBFG ADAGBFBG，662 72AGAG，6 712AG；当 BF 取最小值时，6 712AG（3）如图，连接 BE，设BAE AE 平分BAD,DAEEDEB 602DAC 又60ABC

39、AEBC、四点共圆 作ABC的外接圆O，则点 F 在O上，180CBECAE 又CAB是等边三角形，可将CBF绕点 C 顺时针旋转60得到CAN 由旋转的性质得：,60CNCE ANEBECN ,CANCBE 180CANCAE E、A、N 三点共线 ECN为等边三角形，,AEEDAEEBAEANENCE 6AB ABC的外接圆O的半径62 33R R CE 的最大值为24 3R 即AEDE的最大值为4 3 ADE的周长是AD AE DE ADE的周长是64 3.【点睛】本题考查了三角形相似的性质和判定,等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建辅助圆来确定线段的最值问题.23（2021甘肃

40、庆阳九年级二模）如图，等边三角形ABC的外部有一点 P，且30BPA，将AP绕点 B逆时针旋转 60得到CQ，连接BQ （1）求证：ABPCBQ（2）若4AP，3BP，求 P，C 两点之间的距离【答案】（1）见解析（2）5【分析】（1）由旋转的性质可知，对应边相等，旋转角相等，用“边角边”证明三角形全等即可（2）连接,PQ PC，根据已知条件构造直角三角形，用勾股定理求得PC，的距离【详解】（1）由旋转的性质可知，,60ABCB PBQBPBQABC PBAPBQQBAABCQBAQBC ABPCBQ（SAS）（2）连接,PQ PC ,60PBBQPBQ PBQ为等边三角形 60PQB,3PQBQ ABPCBQ 30BPABQC,4QCAP 603090PQBPQBBQC 222PCPQQC 2222345PCPQQC【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，找到旋转角是解题的关键