备战版高考数学考试万能工具包第一篇考前必看公式与_1.pdf

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1、备战 2018 版高考数学考试万能工具包 第一篇 考前必看公式与结论 专题 1.3 跳出 10 个解题陷阱 1 专题 03 跳出 10 个解题陷阱 “陷阱”,顾名思义，它是指人们在认识事物的过程中因认识的片面性而不知不觉地陷入其中的一种情况.数学中的陷阱题，往往针对某些概念、定理的掌握及运算中的薄弱环节，在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生思维的惯性或弱点来设计障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷设置问题.这些问题像现实生活中的陷阱那样，难以识别，可以有效地暴露与检测出考生数学知识掌握的缺陷.陷阱一 混淆概念理解概念抓本质 例 1【2018 四川省广元市统考】已知a是实数，i

2、是虚数单位，若211zaai 是纯虚数，则a _ 易错分析 本题易混淆复数的相关概念,忽视虚部不为零的限制条件,导致多解。跳出陷阱 在解答概念类试题时，一定要仔细辨析所求的问题，在明确概念的前提下再解答.本题要搞清楚虚数，纯虚数,实数与复数的概念.跟踪集训 【2018 湖北省稳派教育联考】若0,0 xy，则“22 2xyxy”的一个充分不必要条件是 A.xy B。2xy C。2,x 且1y D。,xy或1y 陷阱二 错用结论公式定理要记准 例 2【2018 东北四校联考】已知函数 2sin 26fxx，现将 yf x的图象向左平移12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标

3、不变，得到函数 yg x的图象，则 g x在50,24的值域为（)A。1,2 B。0,1 C.0,2 D。1,0 易错分析 该题易出现的问题有两个:一是不能确定函数解析式的变换与图象平移方向之间的关系；二是记错函数图象上点的横坐标的伸缩变化与函数解析式变换之间的对应关系.【答案】A 备战 2018 版高考数学考试万能工具包 第一篇 考前必看公式与结论 专题 1.3 跳出 10 个解题陷阱 2 跳出陷阱 三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握变换前后两个函数解析式之间的关系,熟记相关的规律。如函数 y=f(x)的图象向左平移 m(m0）个单位，得到函数 y=f（x+m）的图象；若向右平移

4、m（m0）个单位,得到函数 y=f（xm)的图象.若函数 y=f（x）的图象上的点的横坐标变为原来的（0）倍,则得到函数 y=f 的图象。跟踪集训 已知函数 22sin 22cos148fxxx，把函数 f x的图象向右平移8个单位,得到函数 g x的图象，若12,x x是 0g xm在0,2内的两根，则12sin xx的值为（）A.2 55 B.55 C.55 D。2 55 陷阱三 忽视验证特例情况要谨记 例 3 已知椭圆+=1 的半焦距为 c,曲线 上任一点(x，y)（x0）到定点 F(1,0)的距离比到 y 轴的距离大 c。(1)求曲线 的方程;(2）直线 l 过点 F,交曲线 于 A，

5、B 两点,过 A,B 分别作曲线 的切线，交于点 P，判断 是否为定值。若是,请给予证明并求出该定值;若不是，请说明理由.易错分析 直线 l 过点 F 交曲线 于 A，B 两点,经常设直线 l 的方程为 y=k（x1），k0,漏掉了过点 F 的直线 l 与 x 轴垂直这一特殊情况,导致错误.备战 2018 版高考数学考试万能工具包 第一篇 考前必看公式与结论 专题 1.3 跳出 10 个解题陷阱 3 正确解析(1)因为椭圆+=1 的半焦距为 c，所以 c=1,因为曲线 上任一点（x,y）（x0)到定点 F（1,0）的距离比到 y 轴的距离大 1,所以曲线 上任一点（x,y)(x0)到定点 F（

6、1，0)的距离等于到直线 x=1 的距离。根据抛物线的定义，知曲线 的轨迹为抛物线.设抛物线 的方程为 y2=2px(p0),所以=1,解得 p=2,所以曲线 的方程为 y2=4x.(2）为定值 0。证明如下:当过点 F 的直线 l 与 x 轴垂直时,则直线 l 的方程为 x=1，根据抛物线的对称性知，点 P 在 x 轴上，所以 PFAB，所以=0。由 y2=4x（y0 且a1）在区间(2,6)内恰有 4 个不等的实数根，则实数a的取值范围是（)A。1,14 B.(1,4）C.(1，8)D.（8，)陷阱八 计算跳步-步骤过程要合理 例 8 如图所示的四棱锥 ABCDE,四边形 BCDE 是边长

7、为 3 的正方形,AE平面 BCDE,AE=3，P 是边 DE上的一个动点，连接 PA,PC。(1）若点 Q 为棱 AC 的中点,是否存在点 P,使得 PQ平面 AEB?若存在，请给予证明;若不存在，请说明理由;(2）当 EP=ED 时，求平面 AEB 和平面 APC 所成二面角的正弦值。易错分析 求平面法向量时，常因点的坐标、向量的坐标或平面向量的数量积运算出错,导致所求的法向量有误；求平面 AEB 和平面 APC 所成二面角的正弦值时，易与求直线与平面所成角相混淆，导致所求的结果出错.正确解析（1）当 P 为 DE 的中点时，PQ平面 AEB。理由如下：取 AB 的中点 M,连接 EM,Q

8、M，如图所示。备战 2018 版高考数学考试万能工具包 第一篇 考前必看公式与结论 专题 1.3 跳出 10 个解题陷阱 10 由 Q 为 AC 的中点，得 MQBC,且 MQ=BC，(2）因为 AE平面 BCDE，BEDE，所以以 E 为原点,EB,ED,EA 所在直线分别为 x 轴,y 轴，z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系，因为四边形 BCDE 是边长为 3 的正方形，EP=ED，AE=3,所以 B(3，0,0）,A(0，0，3),P(0，2,0)，C(3，3，0).所以=（3,1，0），=(0，-2，3).易知平面 AEB 的一个法向量为 n1=(0,1，0)，设平面 APC 的法向

9、量为 n2=（x,y，z），由得 取 y=3，得平面 APC 的一个法向量为 n2=(-1，3，2），所以cosn1，n2|=,设平面 AEB 和平面 APC 所成的二面角为,备战 2018 版高考数学考试万能工具包 第一篇 考前必看公式与结论 专题 1.3 跳出 10 个解题陷阱 11 则 sin=,所以平面 AEB 和平面 APC 所成二面角的正弦值为。跳出陷阱 求两个平面所成角的正弦值需注意两处运算：一是求平面法向量,此时一定要认真求出点的坐标，利用“终减起”，求出向量的坐标，再通过联立方程,求出法向量的坐标;二是求两个平面所成角的正弦值，先计算两个平面所成角的余弦值，再利用同角三角函数

10、的基本关系式,即可得结论。【变式训练】【2018 吉林省实验中一模】已知数列 na中,*111,3nnnaaanNa（)求 na的通项公式na；（）数列 nb满足312nnnnnba，数列 nb的前n项和为nT，若不等式 112nnnnT对一切*nN恒成立,求的取值范围 陷阱九 转化不当-由此及彼要等价 例 9【2018 甘肃省张掖市一模】已知函数 2xf xaxeaR。（1)若曲线 yf x在1x 处的切线与y轴垂直，求 yfx的最大值；（2）若对任意120 xx都有 221122ln222ln2f xxf xx,求a的取值范围。易错分析 该题易出现的问题是不能根据已知条件转化为函数单调性求

11、解。【解析】（1）由 2xfxaxe，得,1202efaea，从而 222ln20 xh xaxe 在0,上恒成立，令 222ln2xF xaxe，则 2xFxae，当12a 时，0Fx,所以函数 F x在0,上单调递减，则 max01 2ln20F xF，备战 2018 版高考数学考试万能工具包 第一篇 考前必看公式与结论 专题 1.3 跳出 10 个解题陷阱 12 当12a 时，20Fxaex,得ln2xa，所以函数 F x在0,ln2a上单调递增，在ln2,a 上单调递减,则 maxln22222ln220F xFaalo aa,即2 ln222ln22aaa，通过求函数lnyx xx的

12、导数可知它在1,上单调递增，故112a，综上,实数a的取值范围是,1。跳出陷阱 条件的合理转化是将复杂、陌生的问题转化为简单、熟悉的问题的关键，在转化过程中一定要对式子进行等价变形,如该题中的第(2)问根据不等式结构特征,转化为函数具有单调性。【变式训练】【2018 湖北省襄阳市调研】已知 i 与 j 为互相垂直的单位向量,2aij bij ，且 a 与b 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是（）A.22233，B。12，C。1222 ，D.12，陷阱十 新定义不明-用新定义要明确 例 10 定义：用 x（xR）表示不超过 x 的最大整数,用x）（xR)表示超过 x 的最小整数.例如 1.2=1

13、,-0。3=-1,-1。5)=-1。给出下列结论：函数 f(x)=sin x是奇函数;2 是函数 f（x)=sin x的周期;若 x(1，2),则不等式（x)-x)x）x 的解集为;函数 g（x)=sin x+cos x）的值域是2,1，0，1.其中正确的是 .（填上所有正确结论的编号）易错分析 未读懂新定义“x(xR)与“x)(xR）”的含义，导致判断结论是否正确时出错.备战 2018 版高考数学考试万能工具包 第一篇 考前必看公式与结论 专题 1.3 跳出 10 个解题陷阱 13 (kZ)。数形结合可知,2 是函数 f(x）=sin x的周期，所以正确.对于,当 x（1,2)时,x）=2,

14、由(x）x)x）x,得解得 x2，故其解集为.所以正确。对于,因为 g(x)=sin x+cos x)=kZ.所以函数 g（x)=sin x+cos x）的值域是2,1，0，1,所以正确。跳出陷阱 利用题设的新定义解题时,一定要过好审题关，仔细辨析试题中待求的问题;在准确理解新定义的前提下再求解,这样才能避免掉入新定义应用的陷阱里.【变式训练】若函数 f(x）（x1xx2）的图象上的两端点 A，B 的横坐标分别为 x1，x2，动点 M(xM，yM）在函数 f（x)的图象上，且满足 xM=x2+(x1x2）（R）,O 为坐标原点,且点 N 满足=+,则称向量的模的最大值为函数 y=f(x)的“向

15、高”.函数 f（x）=x2-4x+2 在区间1,5上的“向高”为 。答案部分 备战 2018 版高考数学考试万能工具包 第一篇 考前必看公式与结论 专题 1.3 跳出 10 个解题陷阱 14 陷阱一 混淆概念-理解概念抓本质 跟踪集训 【答案】C 陷阱二 错用结论-公式定理要记准 跟踪集训 【答案】A【解析】把函数 22sin 22cos148fxxx 图象向右平移8个单位,得到函数 2sin2cos28g xfxxx,化简得 15sin 2,tan2g xx且周期为，因为12,x x是 0g xm在0,2内的两根,所以必有21+2xx,根据 12g xg x 得,1115sin 25sin

16、25sin 2xxx 令12x0，则112x，2122x,所以122 5sinsincos25xx,故选 A.陷阱三 忽视验证-特例情况要谨记 跟踪集训 【答案】2112 32nnnan 备战 2018 版高考数学考试万能工具包 第一篇 考前必看公式与结论 专题 1.3 跳出 10 个解题陷阱 15 陷阱四 讨论漏解参数标准要恰当 【变式训练】【解析】（）f x的定义域为 R,xfxea，(1)当0a 时，0fx在 R 上恒成立，f x在 R 上为增函数；（2）当0a 时，令 0fx得lnxa，令 0fx得lnxa,f x的递增区间为ln,a，递减区间为,lna；（)（1）由(）知，当0a 时

17、,f x在 R 上为增函数，f x不合题意；当0a 时,f x的递增区间为ln,a,递减区间为,lna，又 00fe，当x时,f x，f x有两个零点12,x x，则 minlnln1 ln0f xfaaa aaa，解得ae；（2）由（）（1)，当ae时,f x有两个零点12,x x,且 f x在ln,a 上递增，在,lna上递减，依题意,120f xf x,不妨设12lnxax 要证122lnxxa,即证122lnxax，又12lnxax，所以122lnlnxaxa，而 f x在,lna上递减，即证 122lnf xfax，又 120f xf x，即证 222lnf xfax,（2lnxa)

18、构造函数 22ln22 ln(ln)xxag xf xfaxeaxa a xae,备战 2018 版高考数学考试万能工具包 第一篇 考前必看公式与结论 专题 1.3 跳出 10 个解题陷阱 16 222220 xxagxeaaae，g x在ln,a 单调递增,ln0g xga,从而 2lnf xfax,222lnf xfax，（2lnxa)，命题成立 陷阱五 条件遗漏细心审题不遗漏 【变式训练】【答案】D 陷阱六 推理不当-归纳类比要合理 【变式训练】【答案】,12,【解析】不等式 x6(x+2）（x+2）3x2变形为,x6+x2(x+2)3+（x+2）；令 u=x2，v=x+2，则 x6+x

19、2（x+2)3+(x+2）u3+uv3+v;考察函数 f(x）=x3+x，知 f（x）在 R 上为增函数,f（u）f（v），uv；不等式 x6+x2（x+2）3+（x+2）可化为 x2x+2，解得 x1 或 x2；不等式的解集为：(，1）（2，+）故答案为：（，1）（2，+)陷阱七 画图不准数化“形”要准确 【变式训练】【答案】D 备战 2018 版高考数学考试万能工具包 第一篇 考前必看公式与结论 专题 1.3 跳出 10 个解题陷阱 17 陷阱八 计算跳步步骤过程要合理【变式训练】【解析】（)证明：由1*3nnnaanNa，得13131nnnnaaaa，11111322nnaa 所以数列1

20、12na是以 3 为公比，以111322a为首项的等比数列,从而1113232231nnnnaa；()12nnnb 0122111111123122222nnnTnn 121111112122222nnnTnn ，两式相减得 012111111222222222nnnnTnn 1242nnnT 12142nn 若n为偶数，则124,32n 若n为奇数，则124,2,22n 23 备战 2018 版高考数学考试万能工具包 第一篇 考前必看公式与结论 专题 1.3 跳出 10 个解题陷阱 18 陷阱九 转化不当由此及彼要等价 【变式训练】【答案】C【解析】1,2,1,ab,因为它们的夹角为锐角，则0a b 且,a b不共线同向，所以12且2,故选 C 陷阱十 新定义不明用新定义要明确 【变式训练】【答案】9 所以|-|=-362+36|=36,所以当=时,-有最大值 9.所以函数 f（x)=x2-4x+2 在区间1，5上的“向高”为 9,故填 9.