梯形(提高)知识讲解.pdf

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1、梯形(提高)【学习目标】1 理解梯形的有关概念，理解直角梯形和等腰梯形的概念.2 掌握等腰梯形的性质和判定.3.初步掌握研究梯形问题时添加辅助线的方法，使问题进行转化.4.熟练运用所学的知识解决梯形问题.5.掌握三角形，梯形的中位线定理.【要点梳理】知识点一、梯形的概念 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形 在梯形中，平行的两边叫做梯形的 底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的 垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角 要点诠释：(1)定义需要满足三个条件：四边形；一组对边平行；另一组对边不 平行(2)有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形

2、或梯形，关键在于另一组 对边的位置或者数量关系的不同 梯形只有一组对边平行，而平行四边 形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组 对边必不相等(3)在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长 度来决定梯形的上、下底 知识点二、等腰梯形的定义及性质 1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形 2性质：(1)等腰梯形同一个底上的两个内角相等.(2)等腰梯形的两条对角线相等.要点诠释：(1)等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质(2)由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行(3)等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下 底角”相等，两个“

3、上底角”也是相等的.知识点三、等腰梯形的判定 1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形.2.判定定理：(1)同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形(2)对角线相等的梯形是等腰梯形.知识点四、辅助线 梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常 用的辅助线做法是：方法 作法 图形 目的 平 移 平移一腰 过一顶点作一腰的平行线 分解成一个平行四边形和一个 三角形 过一腰中点作另一腰的平 行线 构造出一个平行四边形和一对 全等的三角形 平移对角线 过一顶点作一条对角线的 平行线 构造出平行四边形和一个面积 与梯形相等的三角形 作咼 过一底边的端点作另一底 边的垂线

4、构造出一个矩形和两个直角三 角形；特别对于等腰梯形，两 个直角三角形全等 延 长 延长两腰 延长梯形的两腰使其交于 1占 八、ZA 1 构成两个形状相同的三角形 延长顶点和一 腰中点的连线 连接一顶点和一腰的中点 并延长与底边相交 构造一对全等的三角形，将梯 形作等积变换 知识点五、三角形、梯形的中位线 联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半 联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半【典型例题】类型一、梯形的计算 a 1、如图所示，梯形 ABCD 中，AD/

5、BC,AD=1,BC=4,AC=3,BD=4,求梯形 ABCD 的面积.【思路点拨】欲求梯形 ABCD 的面积，已知 AD=1,BC=4,只要求出梯形 ABCD 的高，过 D 作 DE/AC 交 BC 的延长线于 E,则四边形 ACED 为平行四边形，从而 AD=CE，即 得S梯形 ABCD=BDE，故只要求出SA BDE即可【答案与解析】解：过点 D 作 DE/AC 交 BC 延长线于 E,作 DF 丄 BC 于 F,/AD/BC,四边形 ACED 是平行四边形.DE=AC=3,CE=AD=1.BE=BC+CE=4+1=5./BD2+DE=42+3 2=25,BE=25，即 BD+DE2 B

6、DE 为直角三角形，/BDE=90.1 1 s梯形 ABCD(AD BC)LDF(BC CE)DF 2 2 =BW.1 1 1 BE LDF BD LDE 4 3=6.2 2 2【总结升华】已知梯形两底求梯形面积的方法，通常是过梯形上底的一个顶点作对角线的平 行线，把求梯形面积转化成求等面积的三角形面积.举一反三：【变式】如图所示，在梯形 ABCD 中,CD/AB AD=CD=3,面积.【思路点拨】由Z B+Z C=90,可延长 BA、CD 交于一点 G,构成直角三角形，利用直 角三角形斜边上的中线的性质得出结论，也可以通过平移两腰，把Z B、Z C 移到同一个直 角三角形中.【答案与解析】解

7、：如图所示，延长 BA CD 交于 G,连接 GE GF./Z B+Z C=90,.Z BGC=90.E、F 分别为 AD BC 的中点，BC=4,AB=8，求梯形 ABCD 的【答案】解：过点 C 作 CM/AD 交 AB 于 M 作 CNL AB 于 N.AD=CD=3,CD/AB 四边形 ADCM 是菱形，CM=AM=AD=3.AB=8,BM=5./CM2+BC=32+42=25,BM=25.即 cM+BC2=BM,Z BCM=90.1 1-SA BCM BC LCM BM LCN,2 2 1 1 -4 3 5 CN,2 2 12 S梯形ABCD 66 类型二、梯形的证明 1 1 12=

8、1（CD+AB）CN 牙（3+8）笃 5 2、已知梯形 ABCD 中，/B+Z C=90 ,EF 是两底中点的连线，试说明 EF W（BC AD）.A D 1 1 GE=AE=_ AD FG=BF=-BC 2 2 /AGE=Z 1,Z BGF=Z B./AD/BC,/1=Z B,/AGE=Z BGF GE、GF 重合，1 EF=GF GE=（BC AD）.2【总结升华】本题是根据/B+/C=90。，构造一个直角三角形，应用“直角三角形中斜边 上的中线等于斜边的一半”使问题得到解决.C3、如图所示，梯形 ABCD 中,AD/BC,M是 AB 的中点，DM 平分/ADC CM 平分/BCD 1 求

9、证：（1）SA DMC S弟形 ABCD；DC=AD+BC.2 【答案与解析】证明：方法一：（1）如图所示，延长 DM CB 交于点 E./AD/BC,/DAM=Z EBM/ADM=Z BEM 又 AM=MB ADNm BEM 1 1 SA DEC EBM*S四边形 MBCD)1 1 ADM+S四边形 MBCD)=?S梯形 ABCD (2)/DM 平分/ADC CM 平分/BCD AD/BC,/MDCFZ MCD=90,/CMD=90,而 DM=EM CD=CE=CB BE 又由(1)得厶 ADMA BEM AD=EB,即 CD=AD+CB.方法二：(1)如图所示,在 DC 上取 DE=AD

10、连接 ME/AD/BC,DM=EM SA DMC=SA EMC，SA ADM=SA BEM，a c /BCDZ ADC=180 又 DM 平分/ADC CM 平分/BCD/MDCFZ MCD=90,/DMC=90,/1+Z 3=90./2+Z 4=90/DM=DM/ADM=/EDM ADNm EMD /1=/2,/3=/4.又 CM=CM/MC=/MCE 1/Xu BMC2 EMC SA DMC S弟形 ABCD.2 B(2)由(1)得厶 ADIWA EDM BMCA EMC 峦 AD=DE,BC=CE,DC=DE+CE=AD+BC【总结升华】(1)由梯形的一腰的两个顶点与另一腰中点构成的三角

11、形面积为梯形面积的一 半.(2)从条件中角平分线和结论 DC=AD+BC 可联想截长补短法解决问题.类型三、三角形、梯形的中位线 4、如图所示,在厶 ABC 中，M 为 BC 的中点，AD 为/BAC 的平分线，BD 丄 AD 于 D,AB=12,AC=18,求 MD 的长.A【思路点拨】本题中所求线段 MD 与已知线段 AB、AC 之间没有什么联系，但由 M 为 BC 的中点联想到中位线，另有 AD 为角平分线和垂线,根据等腰三角形“三线合一”构造等腰 三角形 ABN,D为 BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出 MD 的长度.【答案与解析】解：延长 BD 交 AC 于点 N./AD 为/

12、BAC 的角平分线,且 ADL BN,/BAD=/NAD/ADB=/ADN=90,又 AD 为公共边，ABDA AND(ASA)AN=AB=12,BD=DN/AC=18,NC=AC AN=18-12=6,._:_ /D、M 分别为 BN BC 的中点，1 1 DM=CN=6=3 2 2【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的 中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形.举一反三：【变式】如图所示,四边形 ABCD 中,Q 是 CD 上的一定点，P 是 BC 上的一动点，E、F 分别是 PA PQ 两边的中点；当点 P 在 BC

13、边上移动的过程中，线段 EF 的长度将（）04、（2012?咸宁）如图，在梯形 ABC 冲，AD BCZ 390,于 E,E 为 CD 的中点，EF/BC 交 AB 于 F,EG/AB 交 BC于 G,当 AD=2,BC=12 时，四边形 BGEF 的周长为.【思路点拨】先根据 EF/BC 交 AB 于 F,EG/AB 交 BC 于 G 得出四边形 BGEF 是平行四边形，再由 BE 平分/ABC 判断出四边形 BGEF 是菱形，再根据 E 为 CD 的中点，AD=2,BC=12 求出 EF 的长，进而可得出结论.【答案】28;【解析】解：EF/BC 交 AB 于 F,EG/AB 交 BC 于

14、 G 四边形 BGEF 是平行四边形，/BE 平分/ABC 且交 CD 于 E,/FBE=Z EBC/EF/BC /EBC=Z FEB /FBE=FEB,四边形 BGEF 是菱形，E 为 CD 的中点，AD=2,BC=12,1 1 EF=_(AD+BC=-X(2+12)=7,A.先变大，后变小 B.保持不变 C.先变小，后变大【答案】B；解：连接 AQ/E、F 分别是 PA PQ 两边的中点，EF 是厶 PAQ 的中位线，即 AQ=2EF.Q 是 CD 上的一定点，贝 U AQ 的长度保持不变，线段 EF 的长度将保持不变.D.无法确定 BE 平分/ABC 且交 CD A 2 2 四边形 BGEF 的周长=4X 7=28.【总结升华】本题考查的是梯形中位线定理及菱形的判定与性质，根据题意判断出四边形 BGEF 是菱形是解答此题的关键