正方形中的45度角[1].pdf

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1、1 正方形中的45度角 5.（2012 江苏宿迁 12 分）如图 1,在厶 ABC 中，BA=BC D,E 是 AC 边上的两点，且满 足/DBE=1/ABC（0 Z CB 玄 丄/ABC。以点 B 为旋转中心，将厶 BEC 按逆时针方向旋转 2 2/ABC 得到 BE A（点 C 与点 A 重合，点 E 到点 E处），连接 DE。求证：DE=DE.(2)如图 2,在厶 ABC 中，BA=BC/ABC=90,D,E 是 AC 边上的两点，1 且满足/DBE=丄/ABC(C Z CBAD),/B=90,AB=BC,E 是 AB【答案】解：（1）证明：在正方形（2）证明:如图 3,在直角梯形 7

2、即/ECF=Z BCD=90 又/GCE=45 A/GCF=Z GCE=45/CE=CF,/GCE=Z GCF,GC=GC,ECG FCG(SAS)。A GE=GF,A GE=DF+GD=BE+GD。在直角梯形 ABCD 中，T AD/BC,A=Z B=90。又/CGA=90 AB=BC,四边形 ABCD 为正方形。AG=BC。已知/DCE=45 根据(1)(2)可知，ED=BE+DG。10=4+DG，即 DG=6。设 AB=x,贝 U AE=x 4,AD=x 6,在 RtA AED 中，T DE2=AD2+AE2,即卩 102=(x 6)2+(x 4)2 解这个方程，得：x=12 或 x=2

3、(舍去)。AB=12。1 1 S梯形 ABCD(AD BC)AB(6 12)12=108。2 2 梯形 ABCD 的面积为 108。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。【分析】(1)由四边形是 ABCD 正方形，易证得厶 CBECDF(SAS)，即可得 CE=CF。(2)延长 AD 至 F，使 DF=BE，连接 CF，由(1)知厶 CBE CDF，易证得/ECF=/BCD=90 ,又由/GCE=45 ,可得/GCF=/GCE=45,即可证得厶 ECGFCG，从而可得GE=BE+GD。(3)过 C 作 CG 丄 AD，交 AD 延长线于 G，易证得四边形 ABCG

4、为正方形，由(1)(2)可知，ED=BE+DG，即可求得 DG 的长，设 AB=x，在 RtA AED 中，由勾股定理 DE2=AD2+AE2,可得方程，解方程即可求得 AB 的长，从而求得直角梯形 ABCD 的面积。一 1 23.(2010 年南充市)如图，ABC 内接于O O,AD 丄 BC,OE 丄 BC,OE=BC.(1)求/BAC 的度数.(2)将厶 ACD 沿 AC 折叠为 ACF，将 ABD 沿 AB 折叠为 ABG,延长 FC 和 GB 相交于 点H.求证：四边形 AFHG 是正方形.(3)如图，过 C 作 CG AD，交 AD 延长线于 G.8 答案：(1)解：连结 0B 和

5、 0C.0E 丄 BC,.BE=CE.1 0E=BC,./BOC=90 /BAC=45 2(3)若 BD=6,CD=4,求 AD 的长.如图 3,在直角梯形 ABCD 中，AD/BC(BC AD),/B=90 AB=BC,E 是 AB 9 E 1 E 2 D【答案】解：（1）证明：在正方形 ABCD 中，T BC=CD，/B=Z CDF,BE=DF,CBE 也厶 CDF(SAS)。/CE=CF。(2)证明：如图，延长 AD 至 F,使 DF=BE.连接 CF。由(1)知厶 CBE CDF,/BCE=Z DCF。/BCE+Z ECD=Z DCF+Z ECD,即/ECF=Z BCD=90 又/GC

6、E=45 GCF=Z GCE=45/CE=CF，/GCE=Z GCF,GC=GC,G D ECG 也厶 FCG(SAS)。GE=GF,GE=DF+GD=BE+GD。(3)如图，过 C 作 CG AD，交 AD 延长线于 G.在直角梯形 ABCD 中，/AD/BC,/A=Z B=90。又/CGA=90 AB=BC,四边形 ABCD 为正方形。AG=BC。已知/DCE=45 根据(1)(2)可知，ED=BE+DG。10=4+DG，即 DG=6。设 AB=x,贝 U AE=x 4,AD=x 6,在 RtA AED 中,DE2=AD2+AE2,即卩 102=(x 6)2+(x 4)解这个方程，得：x=

7、12 或 x=2（舍去）。10 AB=12。1 1-S梯形 ABCD（AD BC）AB（6-12）12=108。2 2 梯形 ABCD 的面积为 108。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。【分析】（1）由四边形是 ABCD 正方形，易证得厶 CBECDF（SAS）,即可得 CE=CF。（2）延长 AD 至 F，使 DF=BE，连接 CF，由（1）知厶 CBE CDF，易证得/ECF=/BCD=90 又由/GCE=45 可得/GCF=Z GCE=45 即可证得厶 ECGFCG,从而可得 GE=BE+GD。（3）过 C 作 CG 丄 AD，交 AD 延长线于 G,易

8、证得四边形 ABCG 为正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得 DG 的长，设 AB=x,在 RtA AED 中，由勾股定理 DE2=AD2+AE2,可得方程，解方程即可求得 AB 的长，从而求得直角梯形 ABCD 的面积。一、正方形内的45。角（2012 福建南平 4 分）如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 3，点 E、F 分别在边 BC、CD 上,将 AB、AD 分别和 AE、AF 折叠，点 B、D 恰好都将在点 G 处，已知 BE=1，贝 U EF 的长为 【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。【分析】正方形纸片 ABCD 的边长为 3,./

9、C=90 ,BC=CD=3。根据折叠的性质得：EG=BE=1,GF=DF。设 DF=x，贝 U EF=EG+GF=1+x,FC=DC DF=3 x,EC=BC BE=3 1=2。在 RtA EFC 中，EF2=EC2+FC2,即（x+1）2=22+（3 x）2,解得：x=3。2 3 3 5 DF=,EF=1+=。故选 Bo 2 2 2【】3 5 A.B.-2 2【答案】Bo 11 (2009 益阳市)如图，ABC 中，已知/BAC=45,AD 丄 BC 于 D,BD=2,DC=3,求AD 的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题 图11 请按照小萍的思路，探究并解

10、答下列问题：(1)分别以 AB、AC 为对称轴，画出 ABD、ACD 的轴对 称图形，D 点的对称点为 E、F，延长 EB、FC 相交于 G 点，证明四边形 AEGF 是正方形；设 AD=x，利用勾股定理，建立关于 x 的方程模型，求出 x 的值【答案】(1)证明：由题意可得：ABD ABE,ACD ACF/DAB=Z EAB，/DAC=Z FAC，又/BAC=45,/EAF=90 又 AD 丄 BC/E=Z ADB=90/F=Z ADC=90 又 AE=AD,AF=AD AE=AF 四边形 AEGF 是正方形(2)解：设 AD=x,贝U AE=EG=GF=x/BD=2,DC=3 BE=2,C

11、F=3 -BG=x 2,CG=x 3 在 Rt BGC 中，BG2+CG2=BC2(x 2)2+(x 3)2=52 化简得，x2 5x 6=0 解得 X1=6,X2=1(舍)所以 AD=x=6(2011 湖北咸宁，22,10 分)(1)如图，在正方形 ABCD 中，AEF 的顶点 E,F 分别在 BC,CD 边上，高 AG 与正方形的边长相等，求 EAF的度数.(2)如图，在 Rt ABD 中，.BAD=90,AB=AD，点 M,N 是 BD 边上的任意 两点，且/MAN=45，将 ABM 绕点 A 逆时针旋转90至厶 ADH 位置，连接NH，试判12 断 MN,ND,DH 之间的数量关系，并

12、说明理由.(3)在图中，连接 BD 分别交 AE,AF 于点 M,N,若EG=4,GF=6，BM=3.2，求 AG,MN 的长.【答案】(1)在 Rt ABE 和 Rt AGE 中，AB=AG,AE=AE,ABE AGE.NBAE=NGAE.1 分 同理，.GAF=DAF.1-EAF BAD=45.2 分 2(2)MN2=ND2 DH 2.3 分 .BAM=DAH,BAM.DAN=45,ZHAN ZDAH DAN=45.ZHAN ZMAN.又 AM=AH,AN 二 AN,AMN AHN.MN=HN.5 分 .BAD=90,AB 二 AD,.ABD=ADB=45.(3)由(1)知，BE=EG,D

13、F=FG.设 AG 二x，贝 U CE=x-4,CF=x-6.2 2 2 CE2 CF2 二 EF2,(x-4)2(x-6)2=102.解这个方程，得x1=12,x2=-2(舍去负根).AG=12 BD=：AB2 AD2 2AG2=12.2.在(2)中，MN 2=ND2 DH 2,BM=DH,设 MN=a，则 a2=(12 2-3.2-a)2(3 一2)2.a=5、.2.即 MN=5.2.【思路分析】(1)根据正方形的每个内角是直角，利用“HL”证明 ABE AGE,1 AFG AFD,从而得出.EAF=丄.BAD;(2)利用旋转过程前后的两个图形全等，得 .HDN=HDA.ADB=90.NH

14、2 二 ND2 DH MN 2=ND2 DH 2 10 分 H D 13 2 到对应边、对应角相等，从而为证明 AMNAHN 做好了足够铺垫将线段 MN 的长转移 14 为 HN 的长，从而将三条线段集中于 Rt HDN 中.（3）利用（1）的结论求出 AG 的长，进 而得出 BD 的长.利用（2）的结论求出 MN 的长.【方法规律】（1）当条件中没有给出角的度数而要求角的度数时，往往将问题转化为三 角形的内角和问题、四边形的内角和问题、平行线的同旁内角问题、平行线同旁内角的角平 分夹角问题、邻补角的平分线夹角问题、直角三角形的问题、矩形、正方形的内角问题.（2）当条件中提供的边、角关系较多时

15、一般考虑证明三角形全等；（3）平移、旋转、轴对称对应 了图形的全等，里面有太多的边、角相等问题，在证明中要仔细挖掘；（3）如果一个题目有 三个问号，前面的问号往往是后面问号解决的跳板，要注意利用前面的结论及时起跳，不要 解决最后一个问号时重起炉灶，浪费时间 【易错点分析】因为找不到/HDN=9 0 而无法判断三条线段的关系.第（3）问不能很 好的与第（2）问发生对接，使线段 MN 的长计算受阻.【关键词】正方形、等腰直角三角形、旋转、三角形全等、勾股定理以及逆定理【推荐指数】【题型】常规题，新题，好题，难题操作题，阅读题，压轴题（2011 年上海市浦东新区中考预测）已知：正方形 ABCD 的边

16、长为 1，射线 AE 与射线 BC 交于点 E,射线 AF 与射线 CD 交于点 F，/EAF=45（1）如图 1，当点 E 在线段 BC 上时，试猜想线段 并证明你的猜想（2）设 BE=x,DF=y，当点 E 在线段 BC 上运动 时（不包括点 B、C）,如图 1，求 y 关于 x 的函数解析 式，并指出 x 的取值范围.（3）当点 E 在射线 BC 上运动时（不含端点 B）,点 F在射线 CD 上运动.试判断以 E 为圆心以 BE 为半 径的O E 和以 F 为圆心以 FD 为半径的O F 之间的位置 关系.（4）当点 E 在 BC 延长线上时，设 AE 与 CD 交 于点 G,如图 2.

17、问EGF 与EFA 能否相似，若能相 似，求出BE 的值，若不可能相似，请说明理由.25.（1）猜想：EF=BE+DF.（1 分）证明：将ADF 绕着点 A 按顺时针方向旋转 90,得ABF,易知点 F、B、E 在一直线 上.图 1.（1 分）/AF=AF,/F，E=Z 1+Z 3=Z 2+Z 3=90-45 =45=Z EAF,EF、BE、DF 有怎样的数量关系?图2 15 又 AE=AE,AFE 也AFE.EF=F E=BE+DF.（1 分）（2）由（1）得 EF=x+y 又 CF=1-y,EC=1-x,2*2*2（1 _y）+（1 _X）=（x+y）（1 分）1 _ x 化简可得 y=4

18、 0 x：1 .（1+1 分）1+x（3）当点 E 在点 B、C 之间时，由（1）知 EF=BE+DF，故此时O E 与O F 外切；（1 分）当点 E 在点 C 时，DF=0,O F 不存在.当点 E 在 BC 延长线上时，将ADF 绕着点 A 按顺时针方向旋转 90，得ABF,图 2.有 AF=AF,/仁/2,BF=FD，/FA=90./F，E=Z EAF=45.又 AE=AE,AFE6 AFE.（1 分）EF 二 EF=BE-BF 二 BE-FD（1 分）此时O E 与O F 内切.（1 分）综上所述，当点 E 在线段 BC 上时，O E 与O F 外切；当点 E 在 BC 延长线上时，

19、O E 与 OF 内切.4）EGF 与EFA 能够相似，只要当/EFG=Z EAF=45。即可.这时有 CF=CE.（1 分）设 BE=x,DF=y，由（3）有 EF=x-y.由 CE2 CFEF2，得（x-1 f 十（1+y f=（x-y i X 1 化简可得 y=x 1.（1 分）x+1 x 1 又由 EC=FC，得 x-1=1 y，即 x-1=1-x+1 x2 2x-1=0,解 之 得 .（1 分）X1=1+J2,X2=1-（不符题意，舍 去）.（1 分）所求 BE 的长为1,2.（2012 福建宁德 13 分）某数学兴趣小组开展了一次活 动，过程如下:如图 1，在等腰厶 ABC 中，A

20、B=AC,/BAC=90o 小敏将一块三角板中含 45o 角的顶 点放在点 A 处，从 AB 边开始绕点 A 顺时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直 线交直线 BC 于点 D，直角边所在的直线交直线 BC 于点 E.（1）小敏在线段 BC 上取一点 M，连接 AM,旋转中发现：若 AD 平分/MAB，贝 U AE 也 平分/MAC 请你证明小敏发现的结论；，化简得 图2 当 Oo ot W 45 时，小敏在旋转的过程中发现线段 BD、CE、DE 之间存在如下等量关 16 系：BD2+CE2=DE2.同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的方法：将厶 ABD 沿 AD 所在的直

21、线对折得到 ADF，连接 EF（如图 2）;小亮的方法：将厶 ABD 绕点 A 逆时针旋转 90o 得到 ACG，连接 EG（如图 3）.请你从中任选一种方法进行证明；小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当 45oo（w 130 且 a丰90 时，等量关系 BD2+CE2=DE2仍然成立.现请你继续探究：当 135（K:V 1800 时（如图 4）,等量关系 BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明：若不成立，说明理由.【答案】解：(1)证明：/BAC=90o,/DAE=Z DAM+Z MAE=45o,A/BAD+Z EAC=45Q 又 AD 平分/MAB,A/BAD=/DAM o

22、A/MAE=/EAC。A AE 平分/MAC o(2)证明小颖的方法：将 ABD 沿 AD 所在的直线对折得到 ADF,A AF=AB，/AFD=/B=45o,/BAD=/FAD。又 AC=AB,A AF=ACo 由(1)知，/FAE=/CAE o 在厶 AEF 和厶 AEC 中，/AF=AC,/FAE=/CAE,AE=AE,AEF AEC(SAS)A CE=FE，/AFE=/C=45Q A/DFE=/AFD+/AFE=90o。fl C 图 4 17 在 RtA OCE 中，DE2+FE2=DE2,：BD2+CE2=DE2。(3)当 135(K:v 180o 时，等量关系 BD2+CE2=DE

23、2仍然成立。证明如下:如图，按小颖的方法作图，设 AB 与 EF 相交于点 G。将 ABD 沿 AD 所在的直线对折得到 ADF,AF=AB，/AFD=Z ABC=45o,/BAD=Z FAD。又 AC=AB,AF=AC。又/CAE=90/BAE=90(45o-Z BAD)=45o+Z BAD=45o+Z FAD=/FAE。在厶 AEF 和厶 AEC 中，T AF=AC,/FAE=/CAE,AE=AE,AEF 也厶 AEC(SAS)。：CE=FE，/AFE=/C=45Q 又在 AGF 和厶 BGE 中，/ABC=/AFE=45o,/AGF=/BGE,/FAG=/BEG。又/FDE+/DEF=/

24、FDE+/FAG(/ADB+/DAB)=1/ABC=90o=2 /DFE=90Q DE2+FE2=DE2,：BD2+CE2=DE2。【考点】角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，折叠对称的性质，全等三 角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角性质，三角形内角和定理。【分析】(1)由角平分线的定义，根据等腰直角三角形和旋转的性质，即可得出结论。(2)小颖的方法是应用折叠对称的性质和 SAS 得到 AEFAEC，在 RtA OCE在 RtA OCE 中,18 中应用勾股定理而证明。小亮的方法是将 ABD 绕点 A 逆时针旋转 90o 得到 ACG，根据旋转的性质 用 SAS 得到 ACE

25、 ACG，从而在 RtA CEG 中应用勾股定理而证明。(3)当 135o V 1800 时，等量关系 BD2+CE2=DE2仍然成立。仿(2)证明即可。36(2008 恩施自治州)如图 1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，/BAC=Z AGF=9C，它们的斜边长为 2，若？ABC 固定不 动，？AFG 绕点 A 旋转，AF、AG 与边 BC 的交点分别为 D、E(点 D 不与点 B 重合，点 E 不与点 C 重合)，设 BE=m,CD=n.(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明(2)求 m 与 n 的函数关

26、系式，直接写出自变量 n 的取值范围.(3)以？ABC 的斜边 BC 所在的直线为 x 轴，BC 边上的高所在的直线为 y 轴，建立平 面直角坐标系(如图 2).在边 BC 上找一点 D，使 BD=CE，求出 D 点的坐标，并通过计 算验证 BD2+CE2=DE2.(4)在旋转过程中,(3)中的等量关系 BD+CE=DE 是否始终成立，若成立，请证明，若 解:(1)?AB0?DAE?ABE?DCA.一一/BAE=/BAD45,/CDA/BAD45/BAE=/CDA 又/B=Z C=45?ABE?DCA.(2)/?ABN?DCA BE _ BA CA CD 由依题意可知CA=BA=2 不成立，请

27、说明理19 m、一 2.2=n m=5 n.自变量 n 的取值范围为 1n2.6（3）由 BD=CE可得 BE=CD 即 m=n 2/m=n I/m=n=2 0B=0C2 BC=1 2 0E=0D=2 1 Q1 ,2,0）.7.分 BD=O OD=1-（、2 1）=2 .2=CE,DE=BC-2BD=2-2（2、2）=2 2/BD2+CE2=2 BD2=2（2 ,2）2=12 8.2,DE 2=（2、2 2）2=12 8.2 BD2+CE2=DE2(4).成立.9 分 证明：如图，将？ACE绕点A顺时针旋转 90至？ABH的位置，则C匡HB AEAH/ABH/C=45 ,旋转角/EAH=90

28、连接 HD,在？EAD 和？HAD 中/AE=AH,/HAD=/EAH-/FAG=45 =/EAD,AD=AD.?EAD?HAD DH=DE 又/HBD/ABH+/ABD=90 BD2+HB2=DM 即 BD2+CE2=DE212 C 81 20 【解析】解决问题（1）（2）的关键是利用图中的相似三角形；解决问题（3）时利用（2）中的 m、n 的关系求出点 D 的坐标，进而分别求出 BD2、CE2、DE2的值；解决问题（4）时，通常方法是先猜想其结论成立，根据结论的特征，尝试构造直角三角形，则问题可轻松获解 点拨：运动是变换是近年来各地中考压轴题的两大主要趋势，运动与变换问题在直角坐标系 的背

29、景下设置问题，通常需要经过建模、计算与构造等多种途径进行求解（2011 广东汕头，21，9 分）如图（1），ABC 与厶 EFD 为等腰直 角三角形，AC 与 DE 重合，AB=EF=9,Z BAC=Z DEF=90 固定 ABC,将厶 EFD 绕点 A 顺时针旋转，当 DF 边与 AB 边重合时，旋 转中止不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE、DF（或它们 的延长线）分别交 BC（或它的延长线）于 G、H 点，如图（2）.（1）问：始终与 AGC 相似的三角形有 _ 及 _;（2）设 CG=x,BH=y,求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据 2 的情况说明理由）；（3）问：当 x

30、 为何值时，AGH 是等腰三角形?图（2）【答案】解：（HGA&HAB(2)由(1)可知 AG3A HAB 所以，y x题 21 图（1）CG AB AC BH 1 21 (3)当 CG _ BC 时，/GACM HZ HAC 2 AC CH/AG AC,AG AG AH GH 此时，AGH 不可能是等腰三角形；1 当 CGBC时，G 为 BC 的中点，H 与 C 重合，AGH 是等腰三角形；2 此时，GC=?J2，即 x=?J2 2 2 1 当 CG丄BC时，由(1)可知 AG3A HGA 2 所以，若 AGH 必是等腰三角形，只可能存在 AG=AH 若 AG=AH 贝 U AC=CG 此时

31、 x=9 综上，当 x=9 或 时，AGH 是等腰三角形.2【思路分析】在厶 HGA 与 AGC 中，公共角/HGA=/AGC,/GAH=/CAG=45 ,根据“两角对应相等的两个三角形相似”判定 AGC 相似；在厶 HAB 中,公共 角/H=/H,/GAH=/HAB=45。，根据“两角对应相等的两个三角形相似”判定厶 HAB 相 似,故厶 AGC HGMA HAB(2)由厶 AG3A HAB 根据相似三角形的性质=_AC AB BH 81 11 1 从而确定y；(3)分 C&BC,CGA BC,CG-BC三种情况分别考虑 x 2 2 2【方法规律】本题是一个动态图形中的问题，也是一个典型的分

32、类讨论的问题，关键是 能否考虑全面，如果考虑不全面就解不完整，本题个不可多得的一个分类讨论和动态结合的 题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度【易错点分析】考虑问题不全面造成结果不完整【关键词】旋转，相似三角形，【推荐指数】【题型】新题，难题，动态题 二、正方形外的45 角 18.(2010 湖北随州，18,6 分)如图，一个含 45。的三角板 HBE 的两条直角边与正方形 ABCD 的两邻边重合，过 E 点作 EF 丄 AE 交/DCE 的角平分线于 F 点，试探究线段 AE 与 EF 的数量关系，并说明理由 22 【分析】想寻找线段 AE 与 EF 的数量关系可放到两个

33、三角形厶 HAE 和厶 CEF 中去考虑,根据条件可推导出这两个三角形两角和一边对应相等，可证出厶 HAE CEF，从而得到 AE=EF.【答案】HBE 是一含 45 的直角三形，/H=Z HEB=45,HB=EB,又四边形 ABCD 为正方形，/B=Z DCB=Z DCE=90 AB=CB.HB AB=EB CB,即卩 HA=CE./EF 丄 AE,/AEF=90 =/B,/HAE=/B+/AEB,/CEF=/AEF+/AEB,/HAE=/CEF,又 CF 平分/DCE 1/ECF=/DCE=45 =/H,2 HAE CEF（ASA）.AE=EF.【涉及知识点】全等三角形的判定与性质 【点评

34、】本题实际就是全等三角形的判定，学生要能把已知条件中进行适当转换从中找 到可以证明全等的条件，从而来判定两三角形全等【推荐指数】（2011 内蒙古巴彦淖尔）如图，（图 1,图 2）,四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，点 E 在 线段BC 上,/AEF=90,且 EF 交正方形外角平分线 CP 于点 F,交 BC 的延长线于点 N,FN 丄 BC.（1）若点 E 是 BC 的中点（如图 1）,AE 与 EF 相等吗？（2）点 E 在 BC 间运动时（如图 2）,设 BE=x,A ECF 的面积为 y。求 y 与 x 的函数关系式；当 x 取何值时，y 有最大值，并求出这个最大值。【答案】

35、：解（1）如图，在 AB 上取 AG=EC,P 4 I C 23 四边形 ABCD 是正方形，AB=BC 有 AG=EC.BG=GE 又/B=90 /AGE=135 又/BCD=90 CP 平分/DCN/ECF=135/BAEZ AEB=90/AE 聊/FEC=90/BAE=/FEC 在厶 AGED ECF 中 AG=EC/GAEZ ECF/AGE/ECF AGEA ECF,.AE=EF 由（1）证明可知当 E 不是中点时同理可证 AE=EF/BAE=/NEF/B=Z ENF=90 ABEA ENF FN=BE=x,1 SA ECF=2（BC-BE）FN 1 即 y=2 x（4-x）1 2 y

36、=-2x+2x（Ov xv 4）x=2,y 最大值=2【思路分析】要证明相等，先证明全等；由特殊到一般，得 FN=BE，根据三角形面积 公式可求出函数关系式【方法规律】构造全等证明 AE=EF,在通过 AE=EF 证明 AB EA ENF,得 BE=FN 最 后根据面积公式得出函数关系式。最大值也就是二次函数的顶点。【易错点分析】先证明 ABEBA ENF 条件不够【关键词】全等 二次函数 最值【难度】【题型】常规题，易错题(2)证明：T AD 丄 BC,./ADB=Z ADC=90 由折叠可知，AG=AF=AD，/AGH=Z AFH=90/BAG=Z BAD，/CAF=Z CAD,/BAG+

37、Z CAF=Z BAD+Z CAD=Z BAC=45.24 /GAF=Z BAG+Z CAF+Z BAC=90 四边形 AFHG 是正方形.(3)解：由(2)得，Z BHC=90 GH=HF=AD,GB=BD=6,CF=CD=4.设 AD 的长为 x,贝 U BH=GH GB=x 6,CH=HF CF=x 4.在 Rt BCH 中，BH2 3+CH2=Be2,：(x 6)2+(x 4)2=102.解得，XI=12,x2=2(不合题意，舍去).AD=12.(2012 山东东营 10 分)(1)如图 1,在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DF=BE.求 证：CE=CF;(2)如图 2,在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，G 是 AD 上一点，如果Z GCE=45 请你利用(1)的结论证明：GE=BE+GD.(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：