「首届中国大学生数学竞赛-非数学类答案」.pdf

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1、 首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷(非数学类，2009）一、填空题(每小题 5 分,共 20 分)1.计算yxyxxyyxDdd1)1ln()(_,其中区域D由直线1 yx与两坐标轴所围成三角形区域.解 令vxuyx,则vuyvx,vuvuyxdddd1110detdd,vuuvuuuyxyxxyyxDDdd1lnlndd1)1ln()(1021000d1)ln(1lnd)dln1d1ln(uuuuuuuuuuvvuuvuuuuu 102d1uuu （*）令ut1,则21tu，dt2dtu，42221ttu，)1)(1()1(2tttuu,0142d)21(2(*)ttt 1042d)21(2

2、ttt1516513221053ttt 2设)(xf是连续函数，且满足2022d)(3)(xxfxxf,则)(xf_.解 令20d)(xxfA，则23)(2Axxf，AAxAxA24)2(28d)23(202,解得34A。因此3103)(2 xxf.曲面2222yxz平行平面022zyx的切平面方程是_ 解 因平面022zyx的法向量为)1,2,2(，而曲面2222yxz在),(00yx处 的 法 向 量 为)1),(),(0000yxzyxzyx,故)1),(),(0000yxzyxzyx与)1,2,2(平行,因此,由xzx,yzy2知0000002),(2,),(2yyxzxyxzyx,即

3、1,200yx，又1)1,2(),(00 zyxz，于是曲面022zyx在),(,(0000yxzyx处的切平面方程是0)1()1(2)2(2zyx,即曲面2222yxz平行平面 022zyx的切平面方程是0522zyx。4设函数)(xyy 由方程29ln)(yyfexe确定,其中f具有二阶导数,且1 f，则22ddxy_.解法 方程29ln)(yyfexe的两边对x求导,得 29ln)()()(yeeyyf xeyyfyf 即 29ln)(1)(yyfeyxeyyfx 因029ln)(yfyxee，故yyyfx)(1,即)(1(1yfxy,因此 2222)(1)()(1(1ddyfxyyfy

4、fxyxy 322232)(1)(1)()(1(1)(1)(yfxyfyfyfxyfxyf 解法 方程29ln)(yyfexe取对数，得29lnlnln)(yxyf (1)方程（1)的两边对x求导,得yxyyf1)(2)即)(1(1yfxy (3）方程(2）的两边对x求导，得yxyyfyyf 221)()(（4)将(3）代入(4),得 yxyfxyfyyf 2221)(1()()(将左边的第一项移到右边,得)(1()(1()(1()(222yfyyfxyfyf 因此 322)(1)(1)(yfxyfyfy 二、(5 分）求极限xenxxxxneee)(lim20，其中n是给定的正整数.解法 1

5、 因 xenxxxxxenxxxxnneeeneee)1(lim)(lim2020 故 nxneeeexenneeeAnxxxxnxxxx2020limlim ennnenneeeenxxxx21212lim20 因此 enAxenxxxxeeneee2120)(lim 解法 2 因 xneeeeneeenxxxxxenxxxxln)ln(lim)ln(lim2020 ennneeeeneeeenxxxnxxxx21212lim220 故 enAxenxxxxeeneee2120)(lim 三、(5分）设函数)(xf连续,10d)()(txtfxg，且Axxfx)(lim0，A为常数,求)(xg并讨论)(xg在0 x处的连续性.解 由Axxfx)(lim0和函数)(xf连续知,0)(limlim)(lim)0(000 xxfxxffxxx 因10d)()(txtfxg，故0)0(d)0()0(10ftfg，因此，当0 x时，xuufxxg0d)(1)(，故 0)0(1)(limd)(lim)(lim0000fxfxuufxgxxxx 当0 x时，xxfuufxxgx)(d)(1)(02,200000d)(limd)(1lim)0()(lim)0(xttfxttfxxgxggxxxxx22)(lim0Axxfx