考研数三_1.pdf

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1、1989 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.把答案填在题中横线上.)(1)曲线2sinyxx在点122,处的切线方程是_ _ .(2)幂级数01nnxn的收敛域是_ _ .(3)齐次线性方程组 1231231230,0,0 xxxxxxxxx 只有零解,则应满足的条件是_ _ .(4)设随机变量X的分布函数为 00sin0212,x,F xAx,x,x,则A=_,6PX .(5)设 随 机 变 量X的 数 学 期 望()E X,方 差2()D X,则 由 切 比 雪 夫(Chebyshev)不 等 式,有3 P X_ _ .二、选择题(本题

2、满分 15 分,每小题 3 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设 232xxf x,则当0 x 时 ()(A)f x与x是等价无穷小量 (B)f x与x是同阶但非等价无穷小量(C)f x是比x较高阶的无穷小量 (D)f x是比x较低阶的无穷小量(2)在下列等式中,正确的结果是 ()(A)fx dxf x (B)dfxf x(C)df x dxf xdx (D)df x dxf x(3)设A为n阶方阵且0A,则 ()(A)A中必有两行(列)的元素对应成比例(B)A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合(C)A中必有一行(列)向

3、量是其余各行(列)向量的线性组合 (D)A中至少有一行(列)的元素全为 0(4)设A和B均为nn矩阵,则必有 ()(A)ABAB (B)ABBA(C)ABBA (D)111ABAB(5)以A表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A为 ()(A)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”(B)“甲、乙两种产品均畅销”(C)“甲种产品滞销”(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”三、计算题(本题满分 15 分,每小题 5 分)(1)求极限11lim sincosxx.xx(2)已知(,),zf u v uxy vxy且(,)f u v的二阶偏导数都连续.求2zx y.(3)求微分方程562xyyye

4、的通解.四、(本题满分 9 分)设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为 2()10 xPP xe,且最大需求量为 6,其中x表示需求量,P表示价格.(1)求该商品的收益函数和边际收益函数.(2 分)(2)求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4 分)(3)画出收益函数的图形.(3 分)五、(本题满分 9 分)已知函数,01,()2,12.xxf xxx 试计算下列各题：(1)200();xSf x e dx(4 分)(2)412(2);xSf xe dx(2 分)(3)222(2)(2,3,);nxnnSf xn e dx n(1 分)(4)0nnSS.(2 分)六、

5、(本题满分 6 分)假设函数()f x在,a b上连续,在(,)a b内可导,且()0fx,记 1()(),xaF xf t dtxa 证明在(,)a b内,()0F x.七、(本题满分 5 分)已知XAXB,其中010111101A,112053B,求矩阵X.八、(本题满分 6 分)设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t.(1)问当t为何值时,向量组123,线性无关?(3 分)(2)问当t为何值时,向量组123,线性相关?(1 分)(3)当向量组123,线性相关时,将3表示为1和2的线性组合.(2 分)九、(本题满分 5 分)设122212221A.(1)试求矩阵A的特征值；(2 分)(2)利用(1)小题的结果,求矩阵1EA的特征值,其中E是三阶单位矩阵.(3 分)十、(本题满分 7 分)已知随机变量X和Y的联合密度为(),(,)0,x yexyf x y 00其它.试求：(1)P XY；(5 分)(2)()E XY.(2 分)十一、(本题满分 8 分)设随机变量X在2,5上服从均匀分布,现在对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于 3 的概率.