高中数学必修2：.3空间直角坐标系.pdf

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1、4.3 空间直角坐标系 一、空间直角坐标系 定义 以空间中两两垂直且相交于一点 O 的三条直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系 Oxyz，其中点 O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为 xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面 画法 在平面上画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般使xOy135，yOz90 图示 说明 本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x_轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系 二、空间直角坐标系中点

2、的坐标 1空间中的任意点与有序实数组,x y z之间的关系 如图所示，设点 M 为空间直角坐标系中的一个定点，过点 M 分别作垂直于 x 轴、y 轴和 z 轴的平面，依次交 x 轴、y 轴和 z 轴于点 P、Q 和 R设点 P、Q 和 R 在 x 轴，y 轴和 z 轴上的坐标分别是 x、y 和 z，那么点 M 就和有序实数组（x，y，z）是一一对应的关系，有序实数组（x,y,z）叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作 M(x,y,z)，其中 x 叫做点 M 的横坐标，y 叫做点M 纵坐标，z 叫做点 M 的竖坐标 2空间直角坐标系中特殊位置点的坐标 3空间直角坐标系中的对称点 设点 P（

3、a，b，c）为空间直角坐标系中的点，则 对称轴（或中心或平面）点 P 的对称点坐标 原点(),abc x 轴(),abc,y 轴（a，b，c）z 轴),(,ab c xOy 平面(,)a bc yOz 平面(),a b c xOz 平面(,)ab c，三、空间两点间的距离公式 如图，设点11112222(,),(,)P x y zP xyz是空间中任意两点，且点11112222(,),(,)P x y zP xyz在 xOy平面上的射影分别为 M，N，那么 M，N 的坐标分别为1122(,0),(,0)M x yN xy 在 xOy 平面上，221212|()()MNxxyy 在平面21MNP

4、 P内，过点1P作2P N的垂线，垂足为 H，则11122|,|,|PHMNMPzMPz，所以221|HPzz在12RtPHP中，2211212|()()PHMNxxyy，根据勾股定理，得221212|PPPHHP222121212()()()xxyyzz 因 此，空 间 中 点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）之 间 的 距 离 是12|PP 点的位置 点的坐标形式 原点（0，0，0）x 轴上（a，0，0）y 轴上（0，b，0）z 轴上（0，0，c）xOy 平面上（a，b，0）yOz 平面上（0，b，c）xOz 平面上（a，0，c）222121212()()()xxyyzz

5、特别地，点 P(x，y，z)到坐标原点 O(0,0,0)的距离为|OP|222xyz 空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算 空间中点坐标公式：设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 AB 中点 Px1x22，y1y22，z1z22 1确定空间任一点的坐标 确定空间直角坐标系中任一点 P 的坐标的步骤是：过 P 作 PCz 轴于点 C；过 P 作 PM平面 xOy 于点 M，过 M 作 MAx 轴于点 A，过 M 作 MBy 轴于点 B；设 P（x，y，z），则|x|OA|，|y|OB|，|z|OC|当点 A、B、C 分别在 x、y、z

6、 轴的正半轴上时，则 x、y、z 的符号为正；当点 A、B、C 分别在 x、y、z 轴的负半轴上时，则 x、y、z 的符号为负；当点 A、B、C 与原点重合时，则 x、y、z 的值均为 0 空间中点的坐标受空间直角坐标系的制约，同一个点，在不同的空间直角坐标系中，其坐标是不同的【例 1】如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是棱 BC，CC1上的点，|CF|AB|2|CE|，|AB|AD|AA1|124.试建立适当的坐标系，写出 E，F 点的坐标 【名师点睛】空间中点 P 坐标的确定方法（1）由 P 点分别作垂直于 x 轴、y 轴、z 轴的平面，依次交 x 轴、y 轴、z

7、轴于点 Px、Py，Pz，这三个点在 x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为 x，y，z，那么点 P 的坐标就是(x，y，z)（2）若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点 P 在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题【例 2】如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，|AD|=3，|DC|=4，|DD1|=2，E，F 分别是 BB1，D1B1的中点，求点 A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，E，F 的坐标 【例 3】如图，在正方体1111ABCDABC D中，,E F分别是111,BB D B的中点，棱长为 1 试建立适当的空间直角坐标系，写出点,E F的坐标 【解析】建立

8、如图所示坐标系 方法一：E点在xDy面上的射影为,1,()1,0B B，竖坐标为12所以1(1,1,)2E F在xDy面上的射影为BD的中点G，竖坐标为 1所以1 1(,1)2 2F 方法二：11,()1,1B，10,()0,1D，()1,1,0B，E为1B B的中点，F为11B D的中点 故E点的坐标为1 1 1 1 10(,)222即1(1,1,)2，F点的坐标为10 10 1 1(,)222，即1 1(,1)2 2 2求空间对称点的坐标 求对称点的坐标一般依据“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”来解决 如关于横轴（x 轴）的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于 x

9、Oy 坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数【例 4】设点是直角坐标系中一点，则点关于 轴对称的点的坐标为(A)A B C D【例 5】空间直角坐标系中，点关于点的对称点 的坐标为(C)A B C D 【名师点睛】（1）求空间对称点的规律方法 空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论（2）空间直角坐标系中，任一点 P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：关于原点对称的点的坐标是 P1（x，y，z）；关于 x 轴（横轴）对称的点的坐标是 P2（x，y，z）；

10、关于 y 轴（纵轴）对称的点的坐标是 P3（x，y，z）；关于 z 轴（竖轴）对称的点的坐标是 P4（x，y，z）；关于 xOy 坐标平面对称的点的坐标是 P5（x，y，z）；关于 yOz 坐标平面对称的点的坐标是 P6（x，y，z）；关于 xOz 坐标平面对称的点的坐标是 P7（x，y，z）（3）点关于点的对称要用中点坐标公式解决，即已知空间中两点111222(,),(,)A xyzB xyz，则AB的中点P的坐标为121212(,)222xxyyzz 3空间两点间的距离公式（1）已知空间两点间的距离求点的坐标，是距离公式的逆应用，可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标（2）若求满足

11、某一条件的点，要先设出点的坐标，再建立方程或方程组求解（3）利用空间两点间的距离公式判断三角形的形状时，需分别求出三边长，得到边长相等或者满足勾股定理；判断三点共线时，需分别求出任意两点连线的长度，判断其中两线段长度之和等于另一条线段长度【例 6】已知点()3,2,1M，()1,0,5N，求：（1）线段MN的长度；（2）到,M N两点的距离相等的点(),P x y z的坐标满足的条件 【例 7】如图所示，建立空间直角坐标系 Dxyz，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，点 P是正方体的体对角线 D1B 的中点，点 Q 在棱 CC1上当 2|C1Q|=|QC|时，求|PQ|【例

12、8】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，|AP|=|AB|=2，|BC|=2，E，F 分别是 AD，PC 的中点求证：PCBF，PCEF 【解析】如图，以 A 为坐标原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系|AP|=|AB|=2，|BC|=2，四边形 ABCD 是矩形，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），|PB|=2，|PB|=|BC|，又 F 为 PC 的中点，PCBF(0,2,0)E，222|(00)(20)(02)6PE，222|(02)(222)(00

13、)6CE，|PECE，又 F 为 PC 的中点，PCEF【例 9】如图，已知正方体 ABCD-ABCD的棱长为 a，M 为 BD的中点，点 N 在 AC上，且|AN|3|NC|，试求|MN|的长 因为|AN|3|NC|，所以 N 为 AC的四等分点，从而 N 为 OC的中点，故 Na4，34a，a.根据空间两点间的距离公式，可得|MN|a2a42a23a42a2a264a.【名师点睛】求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的

14、知识确定 4混淆平面与空间直角坐标系【例 10】已知空间中两点(3,1,1)(2,2,3)AB、，在z轴上有一点C，它到AB、两点的距离相等，求点C的坐标【错解】由已知得，AB的中点坐标为5 1(,2)2 2，且AB所在直线的斜率为 3，故AB的垂直平分线的斜率为13，则垂直平分线的方程为15112()()3232zxy，当0 xy时，43z，故点C的坐标为4(0,0,)3【错因分析】上面解法照搬平面解析几何中的解题思路而出现错误由于点C到AB、两点的距离相等，故可求AB的垂直平分线以目前所学知识只能用两点间的距离公式求解【正解】设 点C的 坐 标 为(0,0,)z，则22222231(1)2

15、(2)(3)zz，即2210(1)3()8zz，解得32z，所以点C的坐标为3(0,0,)2 基础训练 1在空间直角坐标系中，点 P（1，2，3）关于 x 轴对称的点的坐标为（B）A（1，2，3）B（1，2，3）C（1，2，3）D（1，2，3）2在空间直角坐标系中，点 P（3，4，5）关于 yOz 平面对称的点的坐标为（A）A（3，4，5）B（3，4，5）C（3，4，5）D（3，4，5）3如图，在正方体 OABCO1A1B1C1中，棱长为 2，E 是 B1B 上的点，且|EB|2|EB1|，则点 E 的坐标为（D）A（2，2，1）B（2，2，23）C（2，2，13）D（2，2，43）4在长方体

16、 ABCDA1B1C1D1中，若 D（0，0，0）、A（4，0，0）、B（4，2，0）、A1（4，0，3），则对角线 AC1的长为（B）A9 B 29 C5 D2 6 5已知点 A（1，a，5），B（2a，7，2）（aR）则|AB|的最小值是（B）A3 3 B3 6 C2 3 D2 6 6点（2，0，3）在空间直角坐标系中的（C）Ay 轴上 BxOy 面上 CxOz 面上 D第一象限内 7在空间直角坐标系中，已知点 P（1，2，3），过点 P 作平面 yOz 的垂线 PQ，则垂足 Q 的坐标为（B）A（0，2，0）B（0，2，3）C（1，0，3）D（1，0，0）8如图所示，在长方体 ABCOA

17、1B1C1O1中，OA1，OC2，OO13，A1C1与 B1O1交于 P，分别写出 A，B，C，O，A1，B1，C1，O1，P 的坐标 9（1）已知 A（1，2，1），B（2，0，2），在 x 轴上求一点 P，使|PA|PB|；在 xOz 平面内的点 M 到 A 点与到 B 点等距离，求 M 点轨迹（2）在 xOy 平面内的直线 xy1 上确定一点 M，使它到点 N（6，5，1）的距离最小（1）设 P（a，0，0），则由已知得222(1)(2)1a 2(2)4a，即 a22a6a24a8，解得 a1，所以 P 点坐标为（1，0，0）设 M（x，0，z），则有222(1)(2)(1)xz 22(

18、2)(2)xz，整理得 2x6z20，即 x3z10故 M 点的轨迹是 xOz 平面内的一条直线（2）由已知，可设 M（x，1x，0），则|MN|222(6)(15)(0 1)xx22(1)51x 所以当 x1 时，|MN|min 51，此时点 M（1，0，0）能力 10在空间直角坐标系中，一定点 P 到三个坐标轴的距离都是 1，则该点到原点的距离是（A）A62 B 3 C32 D63 11 已知 A 点坐标为（1，1，1），B（3，3，3），点 P 在 x 轴上，且|PA|PB|，则 P 点坐标为（A）A（6，0，0）B（6，0，1）C（0，0，6）D（0，6，0）12已知 M（5，3，2）

19、，N（1，1，0），则点 M 关于点 N 的对称点 P 的坐标为（3，5，2）13在空间直角坐标系中，正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A 的坐标为（3，1，2），其中心 M的坐标为（0，1，2），则该正方体的棱长等于_2 393_ 14如图所示，正方形 ABCD，ABEF 的边长都是 1，并且平面 ABCD平面 ABEF，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动若|CM|BN|a（0a 2）（1）求 MN 的长度；（2）当 a 为何值时，MN 的长度最短？因为平面 ABCD平面 ABEF，且交线为 AB，BEAB，所以 BE平面 ABCD，所以 BA，BC，BE 两两垂直取

20、B 为坐标原点，过 BA，BE，BC 的直线分别为 x 轴，y 轴和 z 轴，建立空间直角坐标系因为|BC|1，|CM|a，点 M 在坐标平面 xBz 内且在正方形 ABCD 的对角线上，所以点 M（22a，0，122a）因为点 N 在坐标平面 xBy 内且在正方形 ABEF 的对角线上，|BN|a，所以点 N（22a，22a，0）（1）由空间两点间的距离公式，得|MN|2222222()(0)(10)2222aaaa 221aa，即 MN 的长度为221aa（2）由（1），得|MN|221aa221()22a 当 a22（满足 0a 2）时，221()22a取得最小值，即 MN 的长度最短，

21、最短为22 15如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 在线段 BC1上，且|BM|2|MC1|，N 是线段 D1M 的中点，求点 M，N 的坐标 16如图所示，V-ABCD 是正棱锥，O 为底面中心，E，F 分别为 BC，CD 的中点已知|AB|2，|VO|3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标 底面是边长为 2 的正方形，|CE|CF|1O 点是坐标原点，C（1，1，0），同样的方法可以确定 B（1，1，0），A（1，1，0），D（1，1，0）V 在 z 轴上，V（0，0，3）17如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，以正方体的

22、三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系 Oxyz（1）若点 P 在线段 BD1上，且满足 3|BP|BD1|，试写出点 P 的坐标，并写出 P 关于 y 轴的对称点 P的坐标；（2）在线段 C1D 上找一点 M，使点 M 到点 P 的距离最小，求出点 M 的坐标 （1）由题意知 P 的坐标为23，23，13，P 关于 y 轴的对称点 P的坐标为23，23，13（2）设线段 C1D 上一点 M 的坐标为（0，m，m），则有|MP|232m232m132 2m22m12m12212 当 m12时，|MP|取得最小值22，所以点 M 为0，12，12 18如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，所有棱长都为 2，侧棱 AA1底面 ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标 19 如图，以长方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB的坐标为（4，3，2），则1AC的坐标是（4，3，2）