第十六讲图形的平移和旋转讲义教材.pdf

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1、 第十六讲 图形的平移和旋转 一、课标下复习指南(一)平移变换 1平移的概念 平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换称为平移 注：平移变换的两个要素：移动的方向和距离 2平移的性质(1)平移前后的图形全等；(2)对应线段平行(或共线)且相等；(3)对应点所连的线段平行(或共线)且相等 3平移变换的作图 如图 161 所示，将ABC 平移至ABC，则有 AABB，且 AABB；BB与 CC共线，且 BBCC 图 161 说明 我们可以根据平移的方向和距离作出平移后的图形；反之，可以根据平移前后的图形，得知平移的方向和距离 4用坐标表示平移(1)点(x，y)点(xa，y)或(xa，

2、y)；(2)点(x，y)(x，yb)或(x，yb)(二)轴对称变换 1轴对称的概念 把一个图形沿一条直线翻折过去，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称或轴对称这条直线就是对称轴两个图形中的对应点(即两图形重合时互相重合的点)叫做对称点 2轴对称的性质(1)关于某条直线对称的两个图形全等；(2)对称点所连的线段被对称轴垂直平分；(3)对应线段所在直线若相交，则交点在对称轴上 3轴对称变换的作图 如图 162，若ABC 与ABC关于直线 l 对称，则有ABCABC；AA，BB，CC都被直线 l 垂直平分 图 162 说明 我们可以根据对称轴作出一个图形的轴对称图形；反之，可以根

3、据两个成轴对称关系的图形，得出对称轴 4轴对称图形 如果把一个图形沿一条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴 注：一个图形的对称轴可以有 1 条，也可以有多条 5轴对称与轴对称图形的区别与联系 区别 联系 轴对称 轴对称是指两个图形的对称关系 若把轴对称的两个图形看成一个(整体)图形，则成为轴对称图形；若把轴对称图形的互相对称的两个部分看成两个图形，则它们成轴对称 轴对称图形 轴对称图形是指具有某种对称特性的一个图形 6用坐标表示轴对称 点(x，y)关于 x 轴对称的点为(x，y)；点(x，y)关于 y 轴对称的点为(x，y)；点

4、(x，y)关于直线 yx 对称的点为(y，x)；点(x，y)关于直线 yx 对称的点为(y，x)；*点(x，y)关于直线 xm 对称的点为(2mx，y)；*点(x，y)关于直线 yn 对称的点为(x，2ny)(三)旋转变换 1旋转的概念 在平面内，将一个图形绕一个定点 O 沿某个方向(逆时针或顺时针)转动一定的角度，这样的图形变换叫做旋转这个定点 O 叫做旋转中心，转动的角称为旋转角 注：旋转变换的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角 2旋转的性质(1)旋转前后的图形全等；(2)对应点到旋转中心的距离相等(意味着：即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上)；(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等

5、于旋转角；*(4)对应线段所在直线的夹角等于旋转角 3旋转变换的作图(1)明确旋转中心、旋转方向和旋转角，找出能确定原图形的关键点；(2)将能确定原图形的关键点(多边形一般为每个顶点)与旋转中心连接，并将线段按要求进行旋转，得到这些关键点的对应点；(3)按原图形顶点的顺序顺次连接这些对应点，得到旋转后的图形 说明 根据旋转前后的图形可以确定旋转中心、旋转方向和旋转角*4旋转对称图形 如果某图形绕着某一定点转动一定角度(小于 360)后能与自身重合，那么这种图形就叫做旋转对称图形 5中心对称 把一个图形绕着某个定点旋转 180，如果它能和另一个图形重合，那么这两个图形关于这个定点对称或中心对称

6、这个定点叫做对称中心，两个图形中对应点叫做关于对称中心的对称点 6中心对称的性质 中心对称是一种特殊的旋转，因此它具有旋转的一切性质另外，它还有自己特殊的性质：(1)对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，即对称中心是两个对称点所连线段的中点；(2)对应线段平行或共线 7中心对称的作图 如图 163，若ABC 与ABC关于点 O 中心对称，则对称中心 O 是线段 AA、BB、CC共同的中点，且 ABAB，ABAB，BCBC，BCBC，CACA，CACA 图 163 说明 我们可以根据对称中心作出一个图形的中心对称图形；反之，可以根据两个成中心对称关系的图形，得出对称中心 8中心对称图形

7、 一个图形绕着一个定点旋转 180后能与自身重合，这种图形称为中心对称图形这个定点叫做该图形的对称中心*中心对称图形是一个特殊的旋转对称图形(旋转角等于 180)9中心对称与中心对称图形的区别与联系 区别 联系 中心 对称 中心对称是指两个图形的对称关系 把中心对称的两个图形看成一个(整体)图形，则称为中心对称图形；把中心对称图形的互相对称的两个部分看成两个图形，则它们成中心对称 中心对称图形 中心对称图形是指具有某种对称特性的一个图形 10关于原点对称的点的坐标 点(x，y)关于原点对称的点的坐标为(x，y)二、例题分析 例 1 在平面直角坐标系中，RtAOB 的两条直角边 OA，OB 分别

8、在 x 轴的负半轴，y轴的负半轴上，且 OA2，OB1将AOB 绕点 O 按顺时针方向旋转 90，再把所得的图形沿 x 轴正方向平移 1 个单位长度，得到CDO(1)在坐标系中，分别画出AOB 和COD，并写出点 A，C 的坐标；(2)求点 A 和点 C 之间的距离；(3)求点 A 到点 C 所经过的路线的长度 解 (1)所画出的AOB 和COD 如图 164 所示，点 A 的坐标是(2，0)，点 C 的坐标是(1，2)图 164(2)连接 AC 在 RtACD 中，ADOAOD3，CD2，.1322ADCDAC(3)点 A 到点 C 所经过的路线的长度是.1118090OA 说明 (1)正确

9、画出图形经过几何变换后所得到的图形，是考查我们对概念的理解和空间想象力的具体体现想一想，AOB 能否先进行平移、再经过旋转，得到CDO?如果可以，请用准确的术语写出这个变换的过程_(2)请注意第(2)、(3)小题的区别 例 2 如图 165，把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在 AD 边上的点 B处，点 A 落在点 A处，折痕分别交 AD，BC 于 E，F 图 165(1)求证：BEBF；(2)设 AEa，ABb，BFc，试猜想以 a，b，c 为边的三角形的形状，并给予证明 分析 折叠过程体现了轴对称，由轴对称性质可知，BFBF，BFEBFE，而BFEBEF，故有 BEBFBF

10、 解 (1)证明：由题意，可得 BFBF，BFEBFE 在矩形 ABCD 中，ADBC，BEFBFEBFE BEBFBF(2)解：以 a，b，c 为边可以构成直角三角形 证明：如图 166，连接 BE，则 BEBE 图 166 由(1)知，BEBFc，a2b2AE2AB2BE2c2 以 a，b，c 为边构成的三角形是直角三角形 例 3 如图 167，某人有一块平行四边形的土地，地里有一个圆形池塘，此人立下遗 嘱：要把这块土地平分给他的两个儿子，中间的池塘也要同时平分，但不知如何去做你能想个办法吗?图 167 分析 这个图形实际上是由两个中心对称图形组合而成，要想将其面积平分，只要找一条直线，使

11、其既能平分平行四边形的面积，又能平分圆的面积即可 解 连接平行四边形的两条对角线，其交点 A 就是平行四边形的中心，而圆的圆心 B就是圆的中心，因此直线 AB 就能将土地与池塘的面积同时平分了 说明 此题可以推广(1)由于经过中心对称图形的对称中心的直线都可以平分该图形的面积，所以只要地和池塘都是中心对称图形，过两个对称中心的直线即可同时平分它们的面积(2)一些非中心对称的图形内部也存在这样的点，使得过该点有无数条直线平分该图形的面积比如梯形，过梯形中位线的中点，且与梯形上、下两底均相交的直线均平分该梯形的面积请思考：如图 168，五边形 ABCDE 中，ABCD，AEBC，你能找到多少条平分

12、该五边形的面积的直线呢?图 168 例 4 已知ABC 中，ABAC，AD 为ABC 的角平分线，P 为线段 AD 上一点，分别连接 BP 和 CP，试判断 ABAC 和 BPCP 的大小关系，并说明理由 分析 AB 和 AC 不共线，BP 和 CP 也不共线，即不是同一个三角形的两条边，要想构造它们的差，可以尝试通过图形变换把它们集中到一条直线上(或集中到一个三角形的三边上)，从而得到线段差(或便于利用三角形的三边关系)另外，已知中有“AD 为ABC 的角平分线”，因此可以利用角平分线的特点作轴对称变换这样几个关键的线段就都集中了 解 如图 169，在 AB 上截取 ACAC，连接 PC，图

13、 169 则有 ABACABACBC AD 平分BAC，C APCAP 又 ACAC，APAP，APCAPC(SAS)CPCP 若点 P 与 A 重合，则 BPAB，CPCPAC BPCPABAC 若点 P 与 A 不重合，则在BCP 中，BPCPBC即 BPCPABACABAC 综上所述，ABACBPCP 例 5 如图 1610，P 是矩形内一点，已知 PA3，PB4，PC5，求 PD 的长 图 1610 分析 如图 1610，考虑通过平移将四条线段 PA，PB，PC，PD 集中到一起，构成一个封闭图形(四边形)再考虑到题目中有垂直的条件，在平移后保持不变，于是可能运用勾股定理求出 PD 的

14、长 解 如 图 1611，分别过 P，D 作 AD，AP 的平行线，交于点 P，则四边形 APPD为平行四边形 图 1611 PPADBC，PPADBC 四边形 PBCP为平行四边形 PDPA3，PCPB4 又ADCD，PPAD，PPCD 设 PP与 CD 相交于点 O，则 PC2PD2(PO2OC2)(OD2OP2)PD2PC2 解得.23PD 例 6 已知 O 是等边三角形 ABC 内一点，AOB110，BOC135，试问：(1)以 OA，OB，OC 为边能否构成一个三角形?若能，求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由；(2)如果AOB 的大小保持不变，那么当BOC 等于多少度时，以

15、OA，OB，OC 为边的三角形是一个直角三角形?分析 由于 OA，OB，OC 的长度直接不易求，但角的信息比较多(除了直接给的AOB与BOC 外，还有正ABC 的三个内角均为 60)，故可以考虑将这三条线段通过旋转变换集中到一起，便可直接得知它们能否拼接成一个三角形了比如，这里可以将AOB 绕点 B顺时针旋转 60，这样 OA，OB，OC 就集中为一个四边形的边了 解 (1)如图 1612，过点 B 作 BP，使得OBP60，在 BP 上截取 BPBO，连接OP，CP 图 1612 正ABC 中，ABC60，又OBP60，ABCOBCOBPOBC ABOCBP 又ABCB，BOBP，ABOCB

16、P(SAS)PCOA，BPCBOA110 OBP 中，BOBP，OBP60，OBP 为正三角形 OPOB，BOPBPO60，亦即在OPC 中，PCOA，OPOB，OCOC，以 OA，OB，OC 为边能构成一个三角形，且这样的三角形与OPC 全等 在OPC 中，POCBOCBOP1356075 OPCBPCBPO1106050 OCP180POCOPC180755055(2)AOB 大小不变，BPC 大小也不变，即总有OPC50 若OPC 中，POC90，则BOCPOCBOP9060150 若OPC 中，OCP90，则POC180OPCOCP180509040 此时BOCPOCBOP406010

17、0 综上所述，当BOC150或 100时，由 OA，OB，OC 为边的三角形为直角三角形 说明 一个图形经过平移、轴对称、旋转变换后都与原图形全等，因此可以用这三种变换来构造全等图形，从而“转移”边、角、面积的条件，使图形中一些分散的边与角相对集中，便于发现关系 例 7 已知抛物线2)1(21:2xyC，请分别写出满足下列条件的抛物线的解析式：(1)抛物线 C 关于 y 轴对称的抛物线：_；(2)抛物线 C 关于 x 轴对称的抛物线：_；(3)抛物线 C 关于原点对称的抛物线：_；(4)抛物线 C 关于其顶点对称的抛物线：_；(5)抛物线 C 沿 y 轴向上平移 3 个单位长度所得的抛物线：_

18、；(6)抛物线 C 沿 x 轴向左平移 3 个单位长度所得的抛物线：_ 分析 解决这类问题的关键是根据变换的规律确定所得抛物线的顶点坐标和开口方向，而抛物线的形状不变(即|a|不变)解 抛物线 C 的顶点为(1，2)，开口向上，且21a(1)抛物线 C 关于 y 轴对称的抛物线的顶点为(1，2)，开口方向不变，,21a 故所得抛物线为.2)1(212xy 本题也可理解为抛物线对称后，只有对称轴变为直线 x1(2).2)1(212xy(3).2)1(212xy(4)抛物线 C 关于其顶点对称后，顶点不变，开口向下21a，故所得抛物线为.2)1(212xy(5)平移后抛物线的顶点为(1，1)，方向

19、、形状不变所得抛物线为.1)1(212xy(6)平移后抛物线的顶点为(2，2)，所得抛物线为.2)2(212xy 例 8 如图 1613，在平面直角坐标系中有四个点 A(6，3)，B(2，5)，C(0，m)，D(n，0)，当四边形 ABCD 的周长最短时，求 m，n 的值 图 1613 分析 本题等价于：在平面直角坐标系中，已知 A，B 两点的坐标，在 x 轴，y 轴上各求一点 D，C，使得四边形 ABCD 的周长最小由于 A，B 两点的位置确定，分别可作 A，B两点关于 x 轴，y 轴的对称点 A，B，则线段 AB与 x 轴，y 轴的交点为所求作的点 D，C 解 如图1614，作点A 关于x

20、 轴的对称点A(6，3)，点B 关于y 轴的对称点B(2，5)，则有 CDBCADCDBCDA 图 1614 当点 C，D 在直线 AB上时，BCCDAD 最小 设直线 AB的解析式为 ykxb，依题意得.25,63bkbk 解得.3,1bk 直线 AB的解析式为 yx3 令 x0，得 y3；令 y0，得 x3 m3，n3 说明 (1)本题利用轴对称把四边形周长最短问题转化为两定点间折线段最短问题，从而可利用“两点之间，线段最短”来解决；(2)求几何中的最值问题是一类常见的题目，而对称点法是解决这类问题的一个非常有效的方法 三、课标下新题展示 例 9 (2009 河北)在图 1615 至图 1

21、617 中，点 B 是线段 AC 的中点，点 D 是线段CE 的中点，四边形 BCGF 和 CDHN 都是正方形，AE 的中点是 M(1)如图 1615，点 E 在 AC 的延长线上，点 N 与点 G 重合时，点 M 与点 C 重合，图 1615 求证：FMMH，FMMH；(2)将图 1615 中的 CE 绕点 C 顺时针旋转一个锐角，得到图 1616，求证：FMH是等腰直角三角形 图 1616 解 (1)证明：四边形 BCGF 和 CDHN 都是正方形，又点 N 与点 G 重合，点 M 与点 C 重合，FBBMMGMDDH，FBMMDH90 FBMMDH FMMH FMBDMH45，FMH9

22、0FMHM(2)证明：连接 MB，MD，如图 1617，设 FM 与 AC 交于点 P 图 1617 B，D，M 分别是 AC，CE、AE 的中点，MDBC，且 MDBCBF，MBCD，且 MBCDDH 四边形 BCDM 是平行四边形且APMFMD CBMCDM 又FBPHDC，FBMMDH FBMMDH FMMH，且MFBHMD FMHFMDHMDAPMMFBFBP90 FMH 是等腰直角三角形 例 10 (2009 太原)【问题解决】如图 1618，将正方形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在CD 边上一点 E(不与点 C，D 重合)，压平后得到折痕 MN当时21CDCE，求BNAM的值

23、方法指导：为了求得BNAM的值，可先求 BN、AM 的长，不妨设 AB2【类比归纳】在图 1618 中，若31CDCE，则BNAM的值等于_；若41CDCE，则BNAM的值等于_；若nCDCE1(n 为整数)，则BNAM的值等于(用含 n 的式子表示)图 1618【联系拓广】如图 1619，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 B 落在 CD 边上一点 E(不与点 C，D 重合)，压平后得到折痕 MN设nCDCEmmBCAB1),1(1，则BNAM的值等于_(用含 m，n 的式子表示)图 1619 解 【问题解决】方法一：如图 1620，连接 BM，EM，BE 图 1620 由题设，得四边形 AB

24、NM 和四边形 FENM 关于直线 MN 对称 MN 垂直平分 BE BMEM，BNEN 四边形 ABCD 是正方形，ADC90，ABBCCDDA2.1,21DECECDCE 设 BNx，则 NEx，NC2x 在 RtCNE 中，NE2CN2CE2，x2(2x)212解得,45x 即45BN 在 RtABM 和在 RtDEM 中，AM2AB2BM2，DM2DE2ME2 AM2AB2DM2DE2 同理，可得41AM 51BNAM 方法二：同方法一，45BN 如图1621，过点 N 做 NGCD 交 AD 于点 G，连接 BE 图 1621 ADBC，四边形 GDCN 是平行四边形 NGCDBC

25、同理，四边形 ABNG 也是平行四边形 与方法一同理得45BNAG MNBE，EBCBNM90 NGBC，MNGBNM90 EBCMNG 又CNGM90，BCENGM，ECMG,41145MGAGAM 51BNAM【类比归纳】1)1(,179,5222nn【联系拓广】1122222mnnmn 四、课标考试达标题()选择题 1下列标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为()2在平面直角坐标系中，点(2，4)绕点(1，1)顺时针旋转 90后，所得的点的坐标为()A(2，2)B(4，1)C(3，1)D(4，0)3已知两条互不平行的线段 AB，AB关于直线 l 对称，AB，AB所在的直线交于点P，下

26、面四个结论：ABAB；点 P 在直线 l 上；若 A，A是对称点，则直线l 垂直平分线段 AA；若 B，B是对称点，则 PBPB其中正确的是()A B C D 4已知AOB30，点 P 在AOB 内部，P1与 P 关于 OB 对称，P2与 P 关于 OA 对称，则P1OP2等于()A45 B50 C60 D70 5如图 1622，将边长为 8cm 的正方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 落在 BC 边中点 E 处，点 A 落在点 F 处，折痕为 MN，则线段 CN 的长是()图 1622 A3cm B4cm C5cm D6cm 6 如图 1623，两个全等的正六边形 ABCDEF，PQRSTU

27、，其中点 P 位于正六边形 ABCDEF的中心如果它们的面积均为 3，那么阴影部分的面积是()图 1623 A0.5 B1 C2 D3(二)填空题 7若点 M 关于 x 轴对称的点的坐标为(3，9)，则点 M 关于 y 轴对称的点的坐标为_ 8如图 1624，P 是正ABC 内的一点，若将PAB 绕点 A 逆时针旋转到PAC，则 PAP的度数为_ 图 1624 9如图 1625，半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴相切于点 O，其直径 CD，EF 均和 x 轴垂直，以O 为顶点的两条抛物线分别经过点 C，E 和点 D，F，则图中阴影部分的面积是_ 图 1625 10如图 1626，已知正方形纸片

28、 ABCD，M，N 分别是 AD，BC 的中点，把 BC 边向上翻折，使点 C 恰好落在 MN 上的 P 点处，折痕交 CD 于 Q，则PBQ_ 图 1626 11如图 1627，已知五边形 ABCDE 中，ABCAED90，若 ABCDAEBCDE20，则五边形 ABCDE 的面积为_ 图 1627 12如图 1628，将正方形 ABCD 以点 B 为旋转中心顺时针旋转 120得到正方形 ABCD，DOCA于 O，若13 OA，则正方形 ABCD 的边长为_ 图 1628(三)解答题 13如图 1629，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为 1 个单位长度先作出ABC 关于点 P 的对

29、称图形ABC，再把ABC绕着点 C逆时针旋转90，得到ABB 图 1629(1)请你画出ABC和ABC；(2)写出 A，B，C和 A，B，C的坐标 14如图 1630，在直角梯形纸片 ABCD 中，ADAB，AB8，ADCD4，E 为 AB 边上一点，AE5若将纸片沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 CD 边上，落点记为 P，折痕交 AD 于 F，求 DF 的长 图 1630 15如图 1631，已知 CD 为ABC 的中线，CDA 和CDB 的平分线分别交 AB，BC 于点 E，F试判断 AEBF 与 EF 的大小关系 图 1631 16如图 1632，已知 P 为正方形 ABCD 的对

30、角线 AC 上一点(不与 A，C 重合)，PEBC于点 E，PFCD 于点 F 图 1632(1)求证：BPDP；(2)如图 1633，若四边形 PECF 绕点 C 按逆时针方向旋转，连接 BE，DF探究 BE 与 DF 的位置关系和数量关系，并证明你的结论 图 1633 参考答案 第十六讲 图形的平移和旋转 1D 2D 3D 4C 5A 6B 7(3，9)860 92 1030 11400 12.2 13(1)如答图 161；答图 161(2)A(8，1)，B(9，3)，C(6，3)，A(8，5)，B(6，6)，C(6，3)1423DF 提示：作 PMAB 于 M，可得 ME3，DPAM2，设 DFx，在 RtPDF 中由勾股定理可得 x24(4x)2 15AEBFEF提示：延长 ED 至 M，使 DMDE，连接 BM，FM可得 AEBM，EFFM 16(1)提示：证明ABPADP；(2)BE，DF 互相垂直且相等 提示：证明BECDFC