二元一次方程培优.pdf
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1、精品 二元一次方程(组)补习、培优、竞赛归类讲解及练习答案 知识点:1、二元一次方程:(1)方程的两边都是整式,(2)含有两个未知数,(3)未知数的最高次数是一次。2、二元一次方程的一个解:使二元一次方程左右两边相等的两个未知数的值叫二元一次方程的一个解。3、二元一次方程组:含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的方程组。4、二元一次方程组的解:二元一次方程组中各个方程的公共解。(使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值)无论是二元一次方程还是二元一次方程组的解都应该写成yx 的形式。5、二元一次方程组的解法:基本思路是消元。(1)代入消元法:将一个方程变形,用一个未知数
2、的式子表示另一个未知数的形式,再代入另一个方程,把二元消去一元,再求解一元一次方程。主要步骤:变形用一个未知数的代数式表示另一个未知数。代入消去一个元。求解分别求出两个未知数的值。写解写出方程组的解。(2)加减消元法:适用于相同未知数的系数有相等或互为相反数的特点的方程组,首先观察出两个未知数的系数各自的特点,判断如何运用加减消去一个未知数;含分母、小数、括号等的方程组都应先化为最简形式后再用这两种方法去解。变形同一个未知数的系数相同或互为相反数。加减消去一个元。求解分别求出两个未知数的值。写解写出方程组的解。(3)列方程解应用题的一般步骤是:关键是找出题目中的两个相等关系,列出方程组。列二元
3、一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步,即:审:通过审题,把实际问题抽象成数学问题,分析已知数和未知数,并用字母表示其中的两个未知数。找:找出能够表示题意两个相等关系。列:根据这两个相等关系列出必需的代数式,从而列出方程组。解:解这个方程组,求出两个未知数的值。答:在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上,写出答案。6、二元一次方程组222111cybxacybxa的解的情况有以下三种:当212121ccbbaa时,方程组有无数多解。(两个方程等效)当212121ccbbaa时,方程组无解。(两个方程是矛盾的)当2121bbaa(即01221baba)时,方程组有唯一
4、的解 7、方程的个数少于未知数的个数时,一般是不定解,即有无数多解,若要求整数解,可按二元一次方程整数解的求法进行。8、求方程组中的待定系数的取值,一般是求出方程组的解(把待定系数当己知数),再解含待定系数的不等式或加以讨论。练习题:精品 1、已知代数式babayxyx231321与是同类项,那么 a=,b=。2、已知nmnmyxyx212-31与是同类项,那么2013mn=_。3、解下列方程组:16214yxyx 23221314yxyyx 603520112013603720132011yxyx 4、已知24,328.abab则ab=。5、关于 x 的方程组nmyxmx y-3的解是11y
5、x,则|m-n|的值是 。6、已知12yx是二元一次方程组110aybxbyax的解,则ba3的算术平方根为 。7、已知方程组20134332kyxkyx的解 x,y 满足方程 5x-y=3,求 k 的值是 。8、选择一组nm,值使方程组nymxyx275 (1)有无数多解,(2)无解,(3)有唯一的解。9、a 取什么值时,方程组3135yxayx 的解是正数?10、a 取哪些正整数值,方程组ayxayx24352的解 x 和 y 都是正整数?11、要使方程组12yxkkyx的解都是整数,k 应取哪些整数值?12、已知关于xy、的方程组2647xayxy有整数解,即xy、都是整数,a是正整数,
6、求a的值。13、m 取何整数值时,方程组1442yxmyx的解 x 和 y 都是整数?14、若4360,2700,xyzxyzxyz求代数式222222522310 xyzxyz的值。应用题:一、数字问题.例 1、一个两位数,比它十位上的数与个位上的数的和大 9;如果交换十位上的数与个位上的数,所得两位数比原两位数大 27,求这个两位数。二、利润问题.例 2、一件商品如果按定价打九折出售可以盈利 20%;如果打八折出售可以盈利 10 元,问此商品的定价是多少?三、配套问题.例 3、某厂共有 120 名生产工人,每个工人每天可生产螺栓 25 个或螺母 20 个,如果一个螺栓与两个螺母配成一套,那
7、么每天安排多名工人生产螺栓,多少名工人生产螺母,才能使每天生产出来的产品配成最多套?四、行程问题.例 4、在某条高速公路上依次排列着 A、B、C 三个加油站,A 到 B 的距离为 120 千米,B 到 C 的距离也是 120 千米。分别在 A、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场,正在 B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往 A、C 两个加油站驶去,结果往 B 站驶来的精品 团伙在 1 小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住,而另一团伙经过 3 小时后才被另一辆巡逻车追赶上。问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少?五、货运问
8、题.例 5、某船的载重量为 300 吨,容积为 1200 立方米,现有甲、乙两种货物要运,其中甲种货物每吨体积为 6 立方米,乙种货物每吨的体积为 2 立方米,要充分利用这艘船的载重和容积,甲、乙两重货物应各装多少吨?六、工程问题.例 6、某服装厂接到生产一种工作服的订货任务,要求在规定期限内完成,按照这个服装厂原来的生产能力,每天可生产这种服装 150 套,按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的45;现在工厂改进了人员组织结构和生产流程,每天可生产这种工作服 200 套,这样不仅比规定时间少用 1 天,而且比订货量多生产 25 套,求订做的工作服是几套?要求的期限是几天?15、用
9、100 枚铜板买桃、李、杏共 100 粒,己知桃、李每粒分别是 3,4 枚铜板,而杏 7 粒 1 枚铜板。问桃、李、杏各买几粒?16、今有鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一,百钱买百鸡,鸡翁,鸡母,鸡雏都买,可各买多少?17、某种商品价格为每件 33 元,某人身边只带有 2 元和 5 元两种面值的人民币各若干张,买了一件这种商品。若无需找零钱,则付款方式有哪几种(指付出 2 元和 5 元钱的张数)?哪种付款方式付出的张数最少?18、某水果批发市场香蕉的价格如下表:购买香蕉数(千克)不超过 20千克 20 千克以上但不超过 40 千克 40 千克以上 每千克价格 6 元 5 元 4
10、元 张强两次共购买香蕉 50 千克(第二次多于第一次),共付款 264 元,请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克?19、小明和小亮做加法游戏,小明在一个加数后面多写了一个 0,得到的和是 242;而小亮在另一个加数后面多写了一个 0,得到的和是 341,正确的结果是多少?20、用如图 1 中的长方形和正方形纸板做侧面和底面,做成如图 2 的竖式和横式两种无盖纸盒。现在仓库里有 1000 张正方形纸板和 2000 张长方形纸板,问两种纸盒各做多少个,恰好将库存的纸板用完?21、同庆中学为丰富学生的校园生活,准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球(每个足球的价格相同,每个篮球的价格
11、相同),若购买 3 个足球和 2 个篮球共需 310 元购买 2 个足球和 5 个篮球共需 500 元。(1)购买一个足球、一个篮球各需多少元?(2)根据同庆中学的实际情况,需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96 个。要求购买足球和篮球的总费用不超过 5720 元,这所中学最多可以购买多少个篮球?22、为迎接 2008 年奥运会,某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”。该厂主要用甲、乙两种原料,已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为 4 盒和 3 盒,生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为 5 盒和 10 盒该厂购进甲、乙原料的量分别为 20000 盒
12、和 30000 盒,如果所进原料全部用完,求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套?23、古算题:“我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空问多少房间多少客?”(题目大意是:一些客人到李三公的店中住宿,若每间房里住7人,就分有7人没地方住;若每间房住9人,则空出一间房 问有多少房间多少客人)24、某次数学竞赛前 60 名获奖,原定一等奖 5 人,二等奖 15 人,三等奖 40 人;现调整为一等奖 10 人,二等奖 20 人,三等奖 30 人。调整后一等奖的平均分数降低了 3 分,二等奖的平均分数降低了 2 分,三等奖平均分数降低 1 分。如果原来二等奖比三等奖平均分数
13、多 7 分,求调整后一等奖比三等奖平均分数多几分?二元一次方程组竞赛题集(答案+解析)【例 1】已知方程组的解 x,y 满足方程 5x-y=3,求 k 的值.【思考与分析】本题有三种解法,前两种为一般解法,后一种为巧解法.精品 ()由已知方程组消去 k,得 x 与 y 的关系式,再与 5x-y=3 联立组成方程组求出 x,y 的值,最后将 x,y 的值代入方程组中任一方程即可求出 k 的值.()把 k 当做已知数,解方程组,再根据 5x-y=3 建立关于 k 的方程,便可求出 k 的值.()将方程组中的两个方程相加,得 5x-y=2k+11,又知 5x-y=3,所以整体代入即可求出 k 的值.
14、把代入,得,解得 k=-4.解法二:3,得 17y=k-22,解法三:+,得 5x-y=2k+11.又由 5x-y=3,得 2k+11=3,解得 k=-4.【小结】解题时我们要以一般解法为主,特殊方法虽然巧妙,但是不容易想到,有思考巧妙解法的时间,可能这道题我们已经用一般解法解了一半了,当然,巧妙解法很容易想到的话,那就应该用巧妙解法了.【例 2】某种商品价格为每件元,某人身边只带有元和元两种面值的人民币各若干张,买了一件这种商品.若无需找零钱,则付款方式有哪几种(指付出元和元钱的张数)?哪种付款方式付出的张数最少?【思考与分析】本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解.我们先找出问题
15、中的数量关系,再找出最主要的数量关系,构建等式.然后找出已知量和未知量设元,列方程组求解.最后,比较各个解对应的 x+y 的值,即可知道哪种付款方式付出的张数最少.解:设付出元钱的张数为 x,付出元钱的张数为 y,则 x,y 的取值均为自然数.依题意可得方程:2x+5y=33.因为 5y 个位上的数只可能是或,所以 2x 个位上数应为或.又因为x 是偶数,所以x 个位上的数是,从而此方程的解为:由得 x+y=12;由得 x+y=15.所以第一种付款方式付出的张数最少.精品 答:付款方式有种,分别是:付出张元钱和张元钱;付出张元钱和张元钱;付出张元钱和张元钱.其中第一种付款方式付出的张数最少.【
16、例 3】解方程组 【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样,在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时,也需要弄清字母的取值是否为零.解:由,得 y=4mx,把代入,得 2x+5(4mx)=8,解得 (25m)x=-12,当 25m0,即 m时,方程无解,则原方程组无解.当 25m0,即 m时,方程解为将代入,得故当 m时,原方程组的解为 【小结】含字母系数的一次方程组的解法和数字系数的方程组的解法相同,但注意求解时需要讨论字母系数的取值情况对于 x、y 的方程组中,a1、b1、c1、a2、b2、c2均为已知数,且 a1与 b1、a2与 b2都至少
17、有一个不等于零,则 时,原方程组有惟一解;时,原方程组有无穷多组解;时,原方程组无解.【例 4】某中学新建了一栋 4 层的教学大楼,每层楼有 8 间教室,这栋大楼共有 4 道门,其中两道正门大小相同,两道侧门大小也相同.安全检查中,对 4 道门进行了训练:当同时开启一道正门和两道侧门时,2 分钟内可以通过 560 名学生;当同时开启一道正门和一道侧门时,4 分钟可以通过 800 名学生.(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?(2)检查中发现,紧急情况时因学生拥挤,出门的效率将降低 20.安全检查规定,在紧急情况下全大楼的学生应在 5 分钟内通过这 4 道门安全撤离.假设这栋
18、教学大楼每间教室最多有 45 名学生,问:建造的这 4 道门是否符合安全规定?请说明理由.【思考与解】(1)设平均每分钟一道正门可通过 x 名学生,一道侧门可以通过 y 名学生.根据题意,得所以平均每分钟一道正门可以通过学生 120 人,一道侧门可以通过学生 80 人.(2)这栋楼最多有学生 4845=1440(人).拥挤时 5 分钟 4 道门能通过 52(120+80)(1-20%)=1600(人).因为 16001440,所以建造的 4 道门符合安全规定.【例 5】某水果批发市场香蕉的价格如下表:精品 张强两次共购买香蕉 50 千克(第二次多于第一次),共付款 264 元,请问张强第一次、
19、第二次分别购买香蕉多少千克?【思考与分析】要想知道张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克,我们可以从香蕉的价格和张强买的香蕉的千克数以及付的钱数来入手.通过观察图表我们可知香蕉的价格分三段,分别是 6 元、5 元、4 元.相对应的香蕉的千克数也分为三段,我们可以假设张强两次买的香蕉的千克数分别在某段范围内,利用分类讨论的方法求得张强第一次、第二次分别购买香蕉的千克数.解:设张强第一次购买香蕉 x 千克,第二次购买香蕉 y 千克由题意,得 0 x25 当 0 x20,y40 时,由题意,得 当 040 时,由题意,得(与 0 x20,y40 相矛盾,不合题意,舍去)当 20 x25 时,25y3
20、0此时张强用去的款项为 5x+5y=5(x+y)=550=250264(不合题意,舍去).综合可知,张强第一次购买香蕉 14 千克,第二次购买香蕉 36 千克.【反思】我们在做这道题的时候,一定要考虑周全,不能说想出了一种情况就认为万事大吉了,要进行分类讨论,考虑所有的可能性,看有几种情况符合题意.【例 6】用如图中的长方形和正方形纸板做侧面和底面,做成如图的竖式和横式两种无盖纸盒.现在仓库里有张正方形纸板和000 张长方形纸板,问两种纸盒各做多少个,恰好将库存的纸板用完?【思考与分析】我们已经知道已知量有正方形纸板的总数 1000,长方形纸板的总数 2,未知量是竖式纸盒的个数和横式纸盒的个数
21、.而且每个竖式纸盒和横式纸盒都要用一定数量的正方形纸板和长方形纸板做成,如果我们知道这两种纸盒分别要用多少张正方形纸板和长方形纸板,就能建立起如下的等量关系:每个竖式纸盒要用的正方形纸板数 竖式纸盒个数+每个横式纸盒要用的正方形纸板数 横式纸盒个数=正方形纸板的总数,每个竖式纸盒要用的长方形纸板数 竖式纸盒个数+每个横式纸盒要用的长方形纸板数 横式纸盒个数=长方形纸板的总数,通过观察图形,可知每个竖式纸盒分别要用张正方形纸板和张长方形纸板,每个横式纸盒分别要用张正方形纸板和张长方形纸板.解:由题中的等量关系我们可以得到下面图表所示的关系.精品 设竖式纸盒做 x 个,横式纸盒做 y 个.根据题意
22、,得 4-,得 y=2000,解得 y=400.把 y=400 代入,得 x+800=1000,解得 x=200.所以方程组的解为因为 200 和 400 均为自然数,所以这个解符合题意.二元一次方程组培优应用题 一数字问题 1小明和小亮做加法游戏,小明在一个加数后面多写了一个 0,得到的和是 242;而小亮在另一个加数后面多写了一个 0,得到的和是 341,正确的结果是多少?2小宏与小英是同班同学,小英家的住宅小区有 1 号楼至 22 号楼共 22 栋楼房,小宏问了小英下面两句话,就猜出了小英住几号楼几号房间小宏问:“你家的楼号加房间号是多少?”小英答:“220”小宏问:“楼号的 10 倍加
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