2018年上海市春考数学试卷(含答案).pdf

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1、 1 2018 年上海市普通高校春季招生统一文化考试 数学试卷 一、填空题（54 分）1、不等式1x的解集为_；2、计算：_213limnnn；3、设集合20 xxA，11xxB，则_BA；4、若复数iz1（是虚数单位），则_2zz；5、已知 na是等差数列，若1082 aa，则_753aaa;6、已知平面上动点到两个定点 0,1和0,1的距离之和等于 4，则动点的轨迹方程为_;7、如图，在长方体1111DCBAABCD 中，3AB，4BC，51AA，是11CA的中点,则三棱锥11OBAA的体积为_；第 7 题图 第 12 题图 8、某校组队参加辩论赛，从 6 名学生中选出 4 人分别担任一、

2、二、三、四辩，若其中学生甲必须参赛且不担任四辩,则不同的安排方法种数为_（结果用数值表示)。2 9、设Ra，若922xx与92xax的二项展开式中的常数项相等，则_a；10、设Rm，若是关于的方程0122mmxx的一个虚根，则z的取值范围是_;11、设0a，函数 1,0),sin()1(2xaxxxxf,若函数12 xy与 xfy 的图像有且仅有两个不同的公共点，则的取值范围是_；12、如图,在正方形ABCD的边长为米，圆的半径为 1 米,圆心是正方形的中心,点、分别在线段AD、上,若线段PQ与圆有公共点，则称点在点的“盲区”中，已知点以 1。5 米/秒的速度从出发向移动,同时，点以 1米/秒

3、的速度从出发向移动，则在点从移动到的过程中,点在点的盲区中的时长均为_秒(精确到 0。1）.二选择题（20 分）13.下列函数中，为偶函数的是（)A 2 xy B 31xy C 21 xy D3xy 14.如图，在直三棱柱111CBAABC 的棱所在的直线中，与直线1BC异面的直线的条数为()A B C D 15.若数列na的前项和，“na是递增数列”是“nS是递增数列的（）A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 即不充分也不必要条件 16、已知、是平面内两个定点，且2AB，该平面上的动线段PQ的两个端点、满足：5AP，6ABAP，APAQ2，则动线段PQ所围成的面积为（)A

4、、50 B、60 C、72 D、108 三、解答题（14+14+14+16+18=76 分）17、已知xxfcos)(3（1）。若31)(f，且,0,求)3(f的值；（2）。求函数)(2)2(xfxfy的最小值；18、已知Ra,双曲线1:222yax（1）.若点)1,2(在上，求的焦点坐标；（2）。若1a,直线1 kxy与相交于BA,两点，若线段AB中点的横坐标为 1,求的值;19.利用“平行与圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理；某公司用两个射灯(射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图 1 所示,图 2 投影出的抛物线的平面图，图 3 是一个射灯投影的直观图,在图

5、2 与图 3 中，点、在抛物线上，OC是抛物线的对称轴,ABOC 于，3AB米,5.4OC米。（1)求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图 3 中，已知OC平行于圆锥的母线，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到01.0)。4 20.20。设0a,函数xaxf211)(（1）。若1a，求)(xf的反函数)(1xf（2）求函数)()(xfxfy的最大值，(用表示)（3）设)(xg)1()(xfxf，若对任意)0()(,0,(gxgx恒成立，求的取值范围？5 21。若nc是递增数列，数列na满足：对任意*,NmRn，使得01nmnmcaaa，则称na是nc的“分隔数列”（

6、1）设1,2nancnn，证明：数列na是nc的分隔数列；（2）设nnSnc,4是nc的前项和,23 nncd，判断数列nS是否是数列nd的分隔数列,并说明理由;（3）设nnnTaqc,1是nc的前项和,若数列nT是nC的分隔数列，求实数qa,的取值范围？2018 年上海市普通高校春季招生统一文化考试 数学试卷 参考答案：6 一、填空题：1、,11,；2、;3、1,0；4、;5、；6、13422yx；7、；8、180；9、；10、，33；11、619611，;12、；二、选择题：13、A；14、C；15、D；16、B；三、解答题：17、（1）6621;（2)23；18、(1）0,30,3，；（

7、2）215;19、（1）41;（2）59.9;20、解析:（1）1,011log)(11log112212xxxfyxyx；（2）xxxxxaaaay2122211211，设02 tx，则111222ataatataatty，因为0a，所以ataat2，当且仅当1t时取等号,所以12122aaataat，即211,0ay；（3)223222221122xxxxataaaaxg，设tx2，因为0,x，7 所以 1,0t，则attaatg322，若attta222，1当12a时，即20 a,attay322单调递减,所以,232aay，则 0,232aaaag，且 2302aaag，故满足 0gx

8、g，符合题意;2当120a时,即2a，则aaaaattay322322322,则 0,322ag,因为 02log2mingagxg，故不符合题意，舍去;综上:2,0a。21、解析(1)依题意得，12120)12(0)12(120)22(1211nmnnmnmnmnmnmcacanmnm 因为Nm,于是，可得，nm2,故存在这样的，使得01nmnmcaca，所以数列 ma是 nc的分隔数列，得证；（2）6323ncdnn,又因为是 nc的前项和，所以nnnnSn2722432,假设数列 nS是否是数列 nd的分隔数列，则必定存在Nm，使得01nmnmdSdS，代入不并化简得：066706671

9、2670667126722222nmmnmmnmmnmmnmm 8 所以，6671262nmmn，又因为Zkkmm27,所以86,106,126)7(nnnmm，对于任意的Nn，三个方程86710671267222nmmnmmnmm都不能确保一直偶整数解，故不符合定义,所以数列 nS不是数列 nd的分隔数列;另解：举出反例即可！1当1n时，6076mNmmm，存在；2当2n时，7670mNmmm,存在；3当3n时,81276mNmmm,存在；4当4n时，mNmmm18712,不存在;综上，数列 nS不是数列 nd的分隔数列；（3）因为 nc是递增数列,所以01aq，或100qa;当1q时，naTacnn，则011amaamacTcTnmnm,不符合数列 nT是 nc的分隔数列，故舍去.当1q时，qqaTnn11，因为01nmnmcTcT，代入并化简得：9 1111nnmnnqqqqq，令nm，则01211qqqqqnnnn，对任意的Nn恒成立，则2q,而1111nnnnqqqq（恒成立），故数列 nT是 nc的分隔数列，且此时0a；当10 q时，因为01nmnmcTcT,代入并化简得:1111nnmnnqqqqq,因为单调递减，而111 nnnqq，111 nnnqq,此时不存在，故这种情况，舍去；综上，0a或2q。