最新2019版高考数学大一轮复习-第九章第5节-第1课时-椭圆及其标准方程教案-文-新人教A版.pdf

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1、 最新 2019 版高考数学大一轮复习-第九章第 5 节-第 1 课时-椭圆及其标准方程教案-文-新人教 A 版 2 第 1 课时 椭圆及其标准方程 最新考纲 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知 识 梳 理 1.椭圆的定义 在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式：集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合

2、P为线段；(3)若ac，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)3 图形 性质 范围 axa byb bxb aya 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b，0)，B2(b，0)轴 长轴A1A2的长为 2a；短轴B1B2的长为 2b 焦距|F1F2|2c 离心率 eca(0，1)a，b，c的关系 c2a2b2 常用结论与微点提醒 1.过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦的长为2b2a，称为通径.4 2.椭圆离心率eca

3、a2b2a1b2a2.3.应用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.()(3)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆.()(4)x2a2y2b21(ab0)与y2a2x2b21(ab0)的焦距相同.()解析(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.(2)因为ecaa2b2a1ba2，所以e越大，则ba

4、越小，椭圆就越扁.5 答案(1)(2)(3)(4)2.(2017浙江卷)椭圆x29y241 的离心率是()A.133 B.53 C.23 D.59 解析 由已知，a3，b2，则c 94 5，所以eca53.答案 B 3.(2018张家口调研)椭圆x216y2251的焦点坐标为()A.(3，0)B.(0，3)C.(9，0)D.(0，9)解析 根据椭圆方程可得焦点在y轴上，且c2a2b225169，c3，故焦点坐标为(0，3)，故选 B.答案 B 4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于12，则椭圆C的方程是()6 A.x23y241 B.x24y231 C.x24y221 D

5、.x24y231 解析 由题意知c1，eca12，所以a2，b2a2c23.故所求椭圆C的方程为x24y231.答案 D 5.(选修 11P42A6 改编)已知点P是椭圆x25y241 上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于 1，则点P的坐标为_.解析 设P(x，y)，由题意知c2a2b2541，所以c1，则F1(1，0)，F2(1，0)，由题意可得点P到x轴的距离为 1，所以y1，把y1 代入x25y241，得x152，又x0，所 7 以x152，P点 坐 标 为152，1 或152，1.答案 152，1 或152，1 考点一 椭圆的定义及其应用【例 1】(1)(

6、选修 11P42A7 改编)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆(2)椭圆x225y21上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为()A.5 B.6 C.7 D.8 解析(1)连接QA.由已知得|QA|QP|.8 所以|QO|QA|QO|QP|OP|r.又因为点A在圆内，所以|OA|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.(2)由椭圆定义知点P到另一个焦点的距离是 1028.答案(1)A(2)D 规律方法

7、 1.椭圆定义的应用主要有：判定平面内动点的轨迹是否为椭圆、求椭圆的标准方程和离心率等.2.椭圆的定义式必须满足 2a|F1F2|.【训练 1】(1)设定点F1(0，3)，F2(0，3)，动点P满足条件|PF1|PF2|a9a(a0)，则点P的轨迹是()A.椭圆 B.线段 C.不存在 D.椭圆或线段(2)与圆C1：(x3)2y21 外切，且与圆C2：(x3)2y281 内切的动圆圆心P的轨迹方程为_.9 解析(1)a9a2a9a6，当且仅当a9a，即a3 时取等号，当a3 时，|PF1|PF2|6|F1F2|，点P的轨迹是线段F1F2；当a0，且a3 时，|PF1|PF2|6|F1F2|，点P

8、的轨迹是椭圆.(2)设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|r1，|PC2|9r.所以|PC1|PC2|10|C1C2|，即P在以C1(3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为 10 的椭圆上，得点P的轨迹方程为x225y2161.答案(1)D(2)x225y2161 考点二 椭圆的标准方程【例 2】(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点32，52，(3，5)，则椭圆的标准方程为_.10(2)(一题多解)过点(3，5)，且与椭圆y225x291 有相同焦点的椭圆标准方程为_.解析(1)设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn).由322m522n1，3m5n1，

9、解得m16，n110.椭圆的标准方程为y210 x261.(2)法一 椭圆y225x291 的焦点为(0，4)，(0，4)，即c4.由椭圆的定义知，2a（30）2（54）2（30）2（54）2，解得a2 5.由c2a2b2可得b24.11 所以所求椭圆的标准方程为y220 x241.法 二 设 所 求 椭 圆 方 程 为y225kx29k1(kb0).过点F2(1，0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|3，点A1，32必在椭圆上，1a294b21.又由c1，得 1b2a2.由联立，得b23，a24.故所求椭圆C的方程为x24y231.(2)法一 当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程

10、为x2a2y2b21(ab0).椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，4a20b21，0a21b21，解得a2，b1.所求椭圆的标准方程为x24y21；13 当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为y2a2x2b21(ab0).椭圆经过两点(2，0)，(0，1)，0a24b21，1a20b21，解得a1，b2，与ab矛盾，故舍去.综上可知，所求椭圆的标准方程为x24y21.法二 设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn).椭圆过(2，0)和(0，1)两点，4m1，n1，解得m14，n1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x24y21.答案(1)x24y231(2)x24y21 考点三 焦点三角

11、形问题 14【例 3】(1)已知椭圆x24y221 的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|PF2|2，则PF1F2的面积是()A.2 B.2 C.2 2 D.3(2)已知F1，F2是椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且F1PF260，SPF1F23 3，则b_.解析(1)由椭圆的方程可知a2，c 2，且|PF1|PF2|2a4，又|PF1|PF2|2，所以|PF1|3，|PF2|1.又|F1F2|2c2 2，所以有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即PF1F2为直角三角形，且PF2F1为直角，所以SPF1F212|F1F2|PF2|122

12、21 2.(2)由题意得|PF1|PF2|2a，又F1PF260，所 以|PF1|2|PF2|2 2|PF1|PF2|cos 60|F1F2|2，所以(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4c2，所以 3|PF1|PF2|4a24c24b2，15 所以|PF1|PF2|43b2，所以SPF1F212|PF1|PF2|sin 601243b232 33b23 3，所以b3.答案(1)A(2)3 规律方法 1.椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成的三角形称为焦点三角形，解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理等知识.2.椭圆中焦点三角形的周长等于 2a2c.【训练 3】已知椭圆x

13、249y2241 上一点P与椭圆两焦点F1，F2的连线夹角为直角，则|PF1|PF2|_.解析 依题意a7，b2 6，c 49245，|F1F2|2c10，由于PF1PF2，所以由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|2100.又由椭圆定义知|PF1|PF2|2a14，16(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|100，即 1962|PF1|PF2|100.解得|PF1|PF2|48.答案 48 基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题 1.椭圆x2my241 的焦距为 2，则m的值等于()A.5 B.3 C.5 或 3 D.8 解析 由题意知椭圆

14、焦距为 2，即c1，又满足关系式a2b2c21，故当a24 时，mb23；当b24 时，ma25.答案 C 2.设F1，F2为定点，|F1F2|6，动点M满足|MF1|MF2|6，则动点M的轨迹是()A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 解析|MF1|MF2|6|F1F2|，动点M的轨迹是线段.答案 D 17 3.设F1，F2是椭圆x225y291 的焦点，P为椭圆上一点，则PF1F2的周长为()A.16 B.18 C.20 D.不确定 解析 PF1F2的周长为|PF1|PF2|F1F2|2a2c.因为 2a10，c 2594，所以周长为 10818.答案 B 4.“2m0，6m0，m26m，

15、2m6 且m4.故“2m|AB|6，动点M的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(3，0)，B(3，0)，且 2a8，a4，c3，b2a2c21697.所求动圆圆心M的轨迹方程是x216y271.10.已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(4，3).若F1AF2A，求椭圆的标准方程.解 设 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为x2a2y2b21(ab0).设焦点F1(c，0)，F2(c，0)(c0).F1AF2A，F1AF2A0，而F1A(4c，3)，F2A(4c，3)，(4c)(4c)320，c225，即c 21 5.F1(5，0)，F2(5，0).2a|AF1|AF2|（45）

16、232（45）232 10 904 10.a2 10，b2a2c2(2 10)25215.所求椭圆的标准方程为x240y2151.能力提升题组(建议用时：20 分钟)11.已知F1，F2分别是椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，点1，22在椭圆上，且点(1，0)到直线PF2的距离为4 55，其中点P(1，4)，则椭圆的标准方程为()A.x2y241 B.x24y21 C.x2y221 D.x22y21 解析 设F2的坐标为(c，0)(c0)，则kPF2 22 4c1，故直线PF2的方程为y4c1(xc)，即4c1xy4cc10，点(1，0)到直线PF2的距离d4c14cc14c12144c1214 55，即4c124，解得c1 或c3(舍去)，所以a2b21.又点1，22在椭圆E上，所以1a212b21，由可得a22，b21，所以椭圆的标准方程为x22y21.答案 D 12.椭圆x29y221 的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|4，则F1PF2的大小为_.23 24 25 又点P到直线l：xy20 的距离为d32，所以PAB的面积为S12|AB|d92.