数学必修二第二章知识点和试题.pdf

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1、1/10 高中数学必修 2 知识点总结 第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义：平面是无限延展的 2 三个公理：（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.符号表示为 AL BL =L A B 公理 1 作用：判断直线是否在平面内.（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C 三点不共线=有且只有一个平面，使 A、B、C。公理 2 作用：确定一个平面的依据。（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P=L，且 PL 公理 3

2、作用：判定两个平面是否相交的依据.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设 a、b、c 是三条直线 ab cb 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4 注意点：a与 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与 O 的选

3、择无关，为了简便，点 O 一般取在两直线中的一条上；两条异面直线所成的角(0，)；当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab；两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示 L A C B A P L 共 面 直=ac 22/10

4、 a a=A a 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a b =a ab 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a b ab=P a b 2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个

5、平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：a a ab=b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：=a ab =b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 3/10 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义：如果直线 L 与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面互相垂直，记作 L，直线 L 叫做平面的垂线，平面叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂

6、足。P a L 2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B 2、二面角的记法：二面角-l-或-AB-3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2、两个平面

7、垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。第二章 点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题 1设，为两个不同的平面，l，m 为两条不同的直线，且 l，m，有如下的两个命题：若，则 lm；若 lm，则 那么()A是真命题，是假命题 B是假命题，是真命题 C都是真命题 D都是假命题 2如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是()ABD平面 CB1D1 BAC1BD CAC1平面 CB1D1(第 2 题)4/10 D异面直线 AD 与 CB1角为 60 3关于直线 m，n 与平面，有下列四个命题：m，n 且，则 mn；m，n 且，则 mn；m，n 且

8、，则 mn；m，n 且，则 mn 其中真命题的序号是()A B C D 4给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行 垂直于同一平面的两个平面互相平行 若直线 l1，l2与同一平面所成的角相等，则 l1，l2互相平行 若直线 l1，l2是异面直线，则与 l1，l2都相交的两条直线是异面直线 其中假命题的个数是()A1 B2 C3 D4 5下列命题中正确的个数是()若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l 若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都平行 如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行 若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任

9、意一条直线都没有公共点 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 6 两直线 l1与 l2异面，过 l1作平面与 l2平行，这样的平面()A不存在 B有唯一的一个 C有无数个 D只有两个 7把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A，B，C，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为()A90 B60 C45 D30 8下列说法中不正确的是()A空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B同一平面的两条垂线一定共面 C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内 D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 9给出以下

10、四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行 5/10 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直 其中真命题的个数是()A4 B3 C2 D1 10异面直线 a，b 所成的角 60，直线 ac，则直线 b 与 c 所成的角的范围为()A30，90 B60，90 C30，60 D30，120 二、填空题 11已知三棱锥 PABC 的三条侧棱 PA，PB，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为

11、S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为 12P 是 ABC 所在平面外一点，过 P 作 PO平面，垂足是 O，连 PA，PB，PC(1)若 PAPBPC，则 O 为 ABC 的 心；(2)PAPB，PAPC，PCPB，则 O 是ABC 的 心；(3)若点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等，则 O 是ABC 的 心；(4)若 PAPBPC，C90，则 O 是 AB 边的 点；(5)若 PAPBPC，ABAC，则点 O 在ABC 的 线上 13如图，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别为各边的中点，G，H，I，J 分别为 AF，AD，BE，DE 的中点，将ABC 沿DE，EF，DF折成

12、三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的度数为 ，则 m 与14直线 l 与平面 所成角为 30，lA，直线 ml 所成角的取值范围是 15棱长为 1 的正四面体内有一点 P，由点 P 向各面引垂线，垂线段长度分别为 d1，d2，d3，d4，则 d1d2d3d4的值为 16 直二面角 l 的棱上有一点 A，在平面，内各有一条射线 AB，AC 与 l 成 45，AB，AC，则BAC 三、解答题 17在四面体 ABCD 中，ABC 与DBC 都是边长为 4 的正三角形(1)求证：BCAD；(2)若点 D 到平面 ABC 的距离等于 3，求二面角 ABCD 的正弦值；J(第 13 题)(第 17 题)6

13、/10(3)设二面角 ABCD 的大小为，猜想 为何值时，四面体 ABCD 的体积最大(不要求证明)18 如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E 为 D1C1的中点，连结 ED，EC，EB 和 DB(1)求证：平面 EDB平面 EBC；(2)求二面角 EDBC 的正切值.19*如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD 中，ADBC，ABC90，SA面 ABCD，SAABBC，AD21(1)求四棱锥 SABCD 的体积；(2)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值(提示：延长 BA，CD 相交于点 E，则直线 SE 是 所求二面角的棱.)20*斜三棱柱的一个

14、侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积(提示：在 AA1 上取一点 P，过 P 作棱柱的截面，使 AA1 垂直于这个截面.)(第187/10 (第 20 题)第二章 点、直线、平面之间的位置关系参考答案 一、选择题 1D 2D 解析：异面直线 AD 与 CB1角为 45 3D 解析：在、的条件下，m，n 的位置关系不确定 4D 解析：利用特殊图形正方体我们不难发现均不正确，故选择答案 D 5B 解析：学会用长方体模型分析问题，A1A 有无数点在平面 ABCD外，但 AA1与平面 ABCD 相交，不正确；A1B1平面ABCD，显然 A1B1不平行于 BD，不正确；A1

15、B1AB，A1B1平面ABCD，但AB平面 ABCD 内，不正确；l 与平面 平行，则 l 与无 公 共点，l 与平面内的所有直线都没有公共点，正确，应选B (第 5 题)6B 解析：设平面 过 l1，且 l2，则 l1上一定点 P 与 l2 确定一平面 ，与 的交线 l3l2，且 l3 过点 P.又过点 P 与 l2 平行的直线只有一条，即 l3 有唯一性，所以经过 l1 和 l3 的平面是唯一的，即过 l1 且平行于 l2 的平面是唯一的.7C 解析：当三棱锥 DABC 体积最大时，平面 DACABC，取 AC 的中点 O，则DBO 是等腰直角三角形，即DBO45 8D 8/10 解析：A

16、一组对边平行就决定了共面；B同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D把书本的书脊垂直放在桌上就明确了 9B 解析：因为正确，故选 B 10A 解析：异面直线a，b所成的角为 60，直线ca，过空间任一点 P，作直线 aa，bb，cc.若 a，b，c 共面则 b 与 c 成 30 角，否则 b 与 c 所成的角的范围为(30，90，所以直线 b 与 c 所成角的范围为30，90 二、填空题 11313212SSS 解析：设三条侧棱长为 a，b，c 则 21abS1，21bcS2，21caS3 三式相乘：81a2 b2 c2S1S2S3，abc23212SS

17、S 三侧棱两两垂直，V31abc21313212SSS 12外，垂，内，中，BC边的垂直平分 解析：(1)由三角形全等可证得 O 为ABC 的外心；(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为ABC 的垂心；(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为ABC 的内心；(4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点；(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O 在BAC 的平分线上 1360 解析：将ABC 沿 DE，EF，DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的度数为 60 1430，90 解析：直线 l 与平面所成的 30的角为 m 与 l 所成角的最小值，当 m

18、在内适当旋转就可以得到 lm，即 m 与 l 所成角的的最大值为 90 1536 解析：作等积变换：4331(d1d2d3d4)4331h，而 h36 9/10 1660或 120 解析：不妨固定 AB，则 AC 有两种可能 三、解答题 17证明：(1)取 BC 中点 O，连结 AO，DO ABC，BCD 都是边长为 4 的正三角形，AOBC，DOBC，且 AODOO，BC平面 AOD又 AD平面 AOD，BCAD (第 17 题)解：(2)由(1)知AOD 为二面角 ABCD 的平面角，设AOD，则过点 D 作 DEAD，垂足为 E BC平面 ADO，且 BC平面 ABC，平面 ADO平面

19、ABC又平面 ADO平面 ABCAO，DE平面 ABC 线段 DE 的长为点 D 到平面 ABC 的距离，即 DE3 又 DO23BD23，在 RtDEO 中，sinDODE23，故二面角 ABCD 的正弦值为23 (3)当 90时，四面体 ABCD 的体积最大 18 证明：(1)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E 为 D1C1的中点 DD1E为等腰直角三角形，D1ED45同理C1EC4590DEC，即 DEEC 在长方体 ABCD1111DCBA中，BC平面11DCCD，又 DE平面11DCCD，BCDE又CBCEC，DE平面 EBC平面 DEB 过 DE，平面

20、DEB平面 EBC (2)解：如图，过 E 在平面11DCCD中作 EODC于 O在长方体 ABCD1111DCBA中，面 ABCD面11DCCD，EO面ABCD过 O 在平面 DBC 中作 OFDB 于 F，连结EF，EFBD EFO 为二面角EDBC 的平面角 利用平面几何知识可得 OF51，(第 18 题)又 OE1，所以，tanEFO5 10/10 19*解：(1)直角梯形 ABCD 的面积是 M底面ABADBC)(214312211，四棱锥 SABCD 的体积是 V31SAM底面3114341(2)如图，延长 BA，CD 相交于点 E，连结 SE，则 SE 是所求二面角的棱 ADBC

21、，BC2AD，EAABSA，SESB SA面 ABCD，得面 SEB面 EBC，EB 是交线 又 BCEB，BC面 SEB，故 SB 是 SC 在面 SEB 上的射影，CSSE，BSC 是所求二面角的平面角 SB22ABSA2，BC1，BCSB，tanBSC22SBBC，(第 19 题)即所求二面角的正切值为22 20*解：如图，设斜三棱柱 ABCA1B1C1的侧面 BB1C1C的面积为 10，A1A和面 BB1C1C的距离为6，在AA1上取一点P作截面PQR，使 AA1截面PQR，AA1CC1，截面 PQR侧面 BB1C1C，过P作POQR于O，则PO侧面 BB1C1C，且 PO6 V斜SPQRAA121QRPOAA1 21POQRBB1 21106 30 (第20题)