数学竞赛题精讲复杂的因式分解问题.pdf

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1、 数学竞赛题精讲复杂的因式分解问题 Prepared on 21 November 2021 轮换对称式的因式分解问题 林达 多元高次轮换对称式的因式分解问题往往是因式分解中的难点，很多初中学生感到棘手。但笔者却认为，这类问题往往是有迹可循的。我们今天就通过几个例子讲一讲把“求根”和“待定系数”相结合进行因式分解的方法。例 1 分解因式：【分析与解答】首先观察发现，当时，原式的值为 0。即，如果将原式看作 a 的函数，将 b 看作常数，则是函数的一个根。故是原式的因式，同理及也是原式的因式。故是原式的因式，观察发现原式是的三次式，也是三次式，故两式必然只差一个常数。用待定系数法，设 代入，得到

2、，故原式的因式分解结果是 例 2 分解因式：【分析与解答】和例 1 类似，首先观察发现，当时，原式的值为0。故是原式的因式，同理及也是原式的因式。故是原式的因式，观察发现原式是的五次式，是三次式。两者都是的轮换对称式，故原式一定可以表示成如下结果：代入，得到 代入，得到 解得故原式的因式分解结果是 例 3 化简：【分析与解答】这里虽然是化简而非因式分解，但我们发现分别展开以上四个式子太过复杂，耗时且易错，所以我们仿照例1 和例 2 的方法首先用观察法“求根”以发现因式。观察发现，当时，原式为 故，是原式的一个因式，同理也是原式的因式。故是原式的因式。观察发现原式是的三次式，也是三次式，两式必然

3、只差一个常数。用待定系数法，设 代入，得到，故原式的化简结果是 配方法及其应用 林达 复杂的因式分解不仅可以是轮换对称式的因式分解，很多难以直接提出因式的高次多项式也难以分解。对于这类多项式，配方法往往能出奇效。相对于更一般的待定系数法，配方法的计算要简单很多。配方法，顾名思义，就是将多项式或其中的某些项配成平方式或更高次方式（一般配成平方式，有时也可能直接配成三次方式，但更高次的配方很少出现）。下面我们看几道例题。例1 分解因式：【分析与解答】通过观察或一般的十字相乘法，难以发现这个多项式的因式，这时我们根据这两项想到了配方法配出平方项。最后一步用了平方差公式。例2 分解因式：【分析与解答】看到想到故可以用配方法。下面看一道配方法的经典应用。例3 证明：具有如下性质的自然数 a 有无穷多个：对任意自然数 n，都不是质数。【分析与解答】利用配方法，取，其中 k 是正整数且 k1。则，因为 k1，故 故对于这样的，必为合数。又 k 的任意性知这样的 k 有无穷多个。【点评】这个配方公式在代数计算、数论等领域都有较广泛的应用。