高等数学教案定积分.pdf

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1、 第五章 定积分 教学目的：1、理解定积分的概念;2、掌握定积分的性质及定积分中值定理,掌握定积分的换元积分法与分部积分法;3、理解变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,掌握牛顿莱布尼茨公式;4、了解广义积分的概念并会计算广义积分;教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法;3、牛顿莱布尼茨公式;教学难点：1、定积分的概念 2、积分中值定理 3、定积分的换元积分法分部积分法;4、变上限函数的导数;5 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 1 曲边梯形的面积 曲边梯形 设函数 yfx 在区间 a b 上非负、连续 由直线 xa、xb、y0 及曲线 yf

2、x 所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边 求曲边梯形的面积的近似值 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间 a b 中任意插入若干个分点 ax0 x1 x2 xn1 xn b 把 a b 分成 n 个小区间 x0 x1 x1 x2 x2 x3 xn1 xn 它们的长度依次为 x1 x1x0 x2 x2x1 xn xn xn1 经过每一个分点作平行于 y 轴的直线段 把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形 在每个小区间 xi1 xi 上任取一点i 以

3、 xi1 xi 为底、f i为高的窄矩形近似替代第 i 个窄曲边梯形 i1 2 n 把这样得到的 n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积 A 的近似值 即 Af 1x1 f 2x2 f n xnniiixf1)(求曲边梯形的面积的精确值 显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积 A 的近似值就越接近曲边梯形面积 A 的精确值 因此 要求曲边梯形面积 A 的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记 maxx1 x2 xn 于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令 0 所以曲边梯形的面积为 niiixfA10)(lim 2 变速直线运动的路

4、程 设物体作直线运动 已知速度 vvt 是时间间隔 T 1 T 2上 t 的连续函数 且 vt0 计算在这段时间内物体所经过的路程 S 求近似路程 我们把时间间隔T 1 T 2分成n 个小的时间间隔ti 在每个小的时间间隔ti内 物体运动看成是均速的 其速度近似为物体在时间间隔 ti内某点i的速度 vi 物体在时间间隔 ti内 运动的距离近似为Si viti 把物体在每一小的时间间隔ti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔T 1 T 2内所经过的路程 S 的近似值 具体做法是 在时间间隔 T 1 T 2内任意插入若干个分点 T 1t 0 t 1 t 2 t n1 t nT 2 把 T 1 T

5、 2分成 n 个小段 t 0 t 1 t 1 t 2 t n1 t n 各小段时间的长依次为 t 1t 1t 0 t 2t 2t 1 t n t n t n1 相应地 在各段时间内物体经过的路程依次为 S 1 S 2 S n 在时间间隔 t i1 t i上任取一个时刻 i t i1 i t i 以 i时刻的速度 v i来代替 t i1 t i上各个时刻的速度 得到部分路程 S i的近似值 即 S i v it i i1 2 n 于是这 n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程 S 的近似值 即 niiitvS1)(求精确值 记 maxt 1 t 2 t n 当 0 时 取上述和式的极

6、限 即得变速直线运动的路程 niiitvS10)(lim 设函数 yfx 在区间 a b 上非负、连续 求直线 xa、xb、y0 及曲线 yf x 所围成的曲边梯形的面积 1 用分点 ax0 x1x2 xn1xn b 把区间 a b 分成 n 个小区间 x0 x1 x1 x2 x2 x3 xn1 xn 记 xixixi1 i1 2 n 2 任取ixi1 xi 以 xi1 xi为底的小曲边梯形的面积可近似为 iixf)(i1 2 n 所求曲边梯形面积 A 的近似值为 niiixfA1)(3 记 maxx1 x2 xn 所以曲边梯形面积的精确值为 niiixfA10)(lim 设物体作直线运动 已

7、知速度 vvt 是时间间隔 T 1 T 2上 t 的连续函数 且 vt0 计算在这段时间内物体所经过的路程 S 1 用分点 T1t0t1t2 t n1tnT2把时间间隔 T 1 T 2分成 n 个小时间 段 t0 t1 t1 t2 tn1 tn 记 ti titi1 i1 2 n 2 任取iti1 ti 在时间段 ti1 ti内物体所经过的路程可近似为 viti i1 2 n 所求路程 S 的近似值为 niiitvS1)(3 记 maxt1 t2 tn 所求路程的精确值为 niiitvS10)(lim 二、定积分定义 抛开上述问题的具体意义 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括 就抽象

8、出下述定积分的定义 定义 设函数 fx 在 a b 上有界 在 a b 中任意插入若干个分点 a x0 x1 x2 xn1 xnb 把区间 a b 分成 n 个小区间 x0 x1 x1 x2 xn1 xn 各小段区间的长依次为 x1x1x0 x2x2x1 xn xn xn1 在每个小区间 xi1 xi上任取一个点 i xi1 i xi 作函数值 f i与小区间长度 xi的乘积 f ixi i1 2 n 并作出和 niiixfS1)(记 maxx1 x2 xn 如果不论对 a b 怎样分法 也不论在小区间 xi1 xi上点 i 怎样取法 只要当 0时 和 S 总趋于确定的极限 I 这时我们称这个

9、极限 I 为函数 f x 在区间 a b 上的定积分 记作badxxf)(即 niiibaxfdxxf10)(lim)(其中 f x 叫做被积函数 f xdx 叫做被积表达式 x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 a b 叫做积分区间 定义 设函数 fx 在 a b 上有界 用分点 ax0 x1x2 xn1xnb 把 a b 分成 n 个小区间 x0 x1 x1 x2 xn1 xn 记 xixixi1i1 2 n 任 ixi1 xi i1 2 n 作和 niiixfS1)(记maxx1 x2 xn 如果当0时 上述和式的极限存在 且极限值与区间a b的分法和 i的取法无关 则称

10、这个极限为函数 fx 在区间 a b 上的定积分 记作badxxf)(即 niiibaxfdxxf10)(lim)(根据定积分的定义 曲边梯形的面积为badxxfA)(变速直线运动的路程为dttvSTT)(21 说明 1 定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即 bababaduufdttfdxxf)()()(2 和niiixf1)(通常称为 f x 的积分和 3 如果函数 f x 在 a b 上的定积分存在 我们就说 f x 在区间 a b 上可积 函数 fx 在 a b 上满足什么条件时 f x 在 a b 上可积呢 定理 1 设 f x 在区间 a b 上连续 则

11、 f x 在 a b 上可积 定理 2 设 f x 在区间 a b 上有界 且只有有限个间断点 则 f x 在 a b 上可积 定积分的几何意义 在区间 a b 上 当 fx0 时 积分badxxf)(在几何上表示由曲线 yf x、两条直线 xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积 当 fx0 时 由曲线 y f x、两条直线 xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x轴的下方 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值 baniiiniiibadxxfxfxfdxxf)()(lim)(lim)(1010 当 f x 既取得正值又取得负值时 函数 fx 的图形某些部分在 x 轴的上方 而

12、其它部分在 x 轴的下方 如果我们对面积赋以正负号 在 x 轴上方的图形面积赋以正号 在 x 轴下方的图形面积赋以负号 则在一般情形下 定积分badxxf)(的几何意义为 它是介于 x 轴、函数 fx 的图形及两条直线xa、xb 之间的各部分面积的代数和 用定积分的定义计算定积分 例 1.利用定义计算定积分dxx210 解 把区间 0 1 分成 n 等份分点为和小区间长度为 nixii1 2 n1 nxi1i1 2 n 取niii1 2 n 作积分和 niiniiiniinnixxf121211)()()12)(1(61113123nnnninni)12)(11(61nn 因为n1 当 0 时

13、 n 所以 31)12)(11(61lim)(lim10210nnxfdxxnniii 利定积分的几何意义求积分:例 2 用定积分的几何意义求10)1(dxx 解:函数 y1x 在区间 0 1 上的定积分是以 y1x 为曲边以区间 0 1 为底的曲边梯形的面积 因为以 y1x 为曲边以区间 0 1 为底的曲边梯形是一直角三角形 其底边长及高均为 1 所以 211121)1(10dxx 三、定积分的性质 两点规定 1 当 ab 时 0)(badxxf 2 当 ab 时 abbadxxfdxxf)()(性质 1 函数的和差的定积分等于它们的定积分的和差 即 bababadxxgdxxfdxxgxf

14、)()()()(证明:badxxgxf)()(niiiixgf10)()(lim niiiniiixgxf1010)(lim)(lim babadxxgdxxf)()(性质 2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即 babadxxfkdxxkf)()(这是因为niiibaxkfdxxkf10)(lim)(baniiidxxfkxfk)()(lim10 性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性 值得注意的是不论 a b c 的相对位置如何总有等式 bccabadx

15、xfdxxfdxxf)()()(成立 例如 当 abc 时 由于 cbbacadxxfdxxfdxxf)()()(于是有 cbcabadxxfdxxfdxxf)()()(bccadxxfdxxf)()(性质 4 如果在区间 a b 上 f x1 则 abdxdxbaba1 性质 5 如果在区间 ab 上 f x0 则 badxxf0)(ab 推论 1 如果在区间 ab 上 f x gx 则 babadxxgdxxf)()(ab 这是因为 g xf x0 从而 bababadxxfxgdxxfdxxg0)()()()(所以 babadxxgdxxf)()(推论 2 babadxxfdxxf|)(

16、|)(|ab 这是因为|f x|f x|f x|所以 bababadxxfdxxfdxxf|)(|)(|)(|即 babadxxfdxxf|)(|)(|性质 6 设 M 及 m 分别是函数 fx 在区间 ab 上的最大值及最小值 则 baabMdxxfabm)()()(ab 证明 因为 m f x M 所以 bababaMdxdxxfmdx)(从而 baabMdxxfabm)()()(性质 7 定积分中值定理 如果函数 fx 在闭区间 ab 上连续 则在积分区间 ab 上至少存在一个点 使下式成立 baabfdxxf)()(这个公式叫做积分中值公式 证明 由性质 6 baabMdxxfabm)

17、()()(各项除以 ba 得 baMdxxfabm)(1 再由连续函数的介值定理 在 ab 上至少存在一点 使 badxxfabf)(1)(于是两端乘以 ba 得中值公式 baabfdxxf)()(积分中值公式的几何解释 应注意 不论 ab 积分中值公式都成立 5 2 微积分基本公式 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动 在 t 时刻所经过的路程为 St 速度为 vvtStvt0 则在时间间隔T1 T2内物体所经过的路程 S 可表示为 )()(12TSTS及dttvTT)(21 即 )()()(1221TSTSdttvTT 上式表明 速度函数 vt 在区

18、间 T1 T2上的定积分等于 vt 的原函数 St 在区间 T1 T2上的增量 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢 二、积分上限函数及其导数 设函数 fx 在区间 a b 上连续 并且设 x 为 a b 上的一点我们把函数 fx 在部分区间 a x 上的定积分 dxxfxa)(称为积分上限的函数 它是区间 a b 上的函数 记为 xdxxfxa)(或 xdttfxa)(定理 1 如果函数 fx 在区间 a b 上连续 则函数 xdxxfxa)(在 a b 上具有导数 并且它的导数为 x)()(xfdttfdxdxaax0 则同理可证 x fa 若 xb 取 x0 证明函数xxdttfd

19、tttfxF00)()()(在 0 内为单调增加函数 证明)()(0 xxfdtttfdxdx)()(0 xfdttfdxdx 故 2000)()()()()()(xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF200)()()()(xxdttfdttftxxf 按假设 当 0tx 时 f t0 xtf t 0 所以 0)(0dttfx 0)()(0dttftxx 从而 F x0 x0 这就证明了 F x 在 0 内为单调增加函数 例 7.求21cos02limxdtextx 解 这是一个零比零型未定式 由罗必达法则 exxexdtexdtexxxtxxtx212sinlimlimlim222c

20、os02cos1021cos0 提示 设xtdtex12)(则xtdtexcos12)(cos xuxtexxedxduududxdxddtedxd222coscos1sin)sin()()(cos 5 3 定积分的换元法和分部积分法 一、换元积分法 定理 假设函数 fx 在区间 a b 上连续 函数 xt 满足条件 1a b 2t 在 或 上具有连续导数 且其值域不越出 a b 则有 dtttfdxxfba)()()(这个公式叫做定积分的换元公式 证明 由假设知 fx在区间a b上是连续 因而是可积的 f tt在区间 或 上也是连续的 因而是可积的 假设 Fx 是 f x 的一个原函数 则

21、dxxfba)(FbFa 另一方面 因为FtF tt f tt 所以 Ft 是 f tt 的一个原函数 从而 dtttf)()(F F FbFa 因此 dtttfdxxfba)()()(例 1 计算adxxa022a0 解 20sin022coscos tdtatadxxataxa令 2022022)2cos1(2cosdttatdta 2202412sin212atta 提示 tataaxacossin22222 dxa cos t 当 x0 时 t0 当 xa 时2t 例 2 计算xdxxsincos520 解 令 tcos x 则 xxdxdxxcoscossincos520520 61

22、61 106105015costdttdtttx令 提示 当 x0 时 t1 当2x时 t0 或 xxdxdxxcoscossincos520520 610cos612cos61cos6166206x 例 3 计算053sinsindxxx 解 dxxxdxxx|cos|sinsinsin230053 2232023cossincossinxdxxxdxx 2232023sinsinsinsinxxdxxd 54)52(52sin52sin522252025xx 提示|cos|sin)sin1(sinsinsin232353xxxxxx 在2,0 上|cos x|cos x 在,2上|cos

23、x|cos x 例 4 计算dxxx40122 解 3123121240)3(21221 122dtttdtttdxxxtx令 322)331()9327(2133121313tt 提示 212tx dxtdt 当 x0 时 t1 当 x4 时 t3 例 5 证明 若 f x 在 a a 上连续且为偶函数 则 aaadxxfdxxf0)(2)(证明 因为dxxfdxxfdxxfaaaa)()()(00 而 aaatxadxxfdttfdttfdxxf0000)()()()(令 所以 aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(aaaadxxfdxxfdxxfxf00)(2)(2)()(讨论

24、 若 fx 在 a a 上连续且为奇函数 问aadxxf)(提示 若 f x 为奇函数 则 f xf x 0 从而 0)()()(0aaadxxfxfdxxf 例 6 若 f x 在 0 1 上连续 证明 12020)(cos)(sindxxfdxxf 200)(sin2)(sindxxfdxxxf 证明 1 令tx2 则 dttfdxxf)2sin()(sin0220 2020)(cos)2sin(dxxfdttf 2 令 xt 则 00)sin()()(sindttftdxxxf 00)(sin)()sin()(dttftdttft 00)(sin)(sindtttfdttf 00)(si

25、n)(sindxxxfdxxf 所以 00)(sin2)(sindxxfdxxxf 例 7 设函数01 cos110 )(2xxxxexfx 计算41)2(dxxf 解 设 x2t 则 200121412cos11)()2(dttedttdttfdxxft 212121tan212tan420012eett 提示 设 x2t 则 dxdt 当 x1 时 t1 当 x4 时 t2 二、分部积分法 设函数 ux、vx 在区间 a b 上具有连续导数 ux、vx 由 uvuv u v 得 u vu vuv 式两端在区间 a b 上积分得 vdxuuvdxvubababa 或vduuvudvbabab

26、a 这就是定积分的分部积分公式 分部积分过程 vdxuuvvduuvudvdxvubabababababa 例 1 计算xdxarcsin210 解 xdxarcsin210 xxdxxarcsinarcsin210210 dxxx22101621 )1(11211222210 xdx 2102112x12312 例 2 计算10dxex 解 令tx 则 10102tdtedxetx 102ttde 101 0 2 2dtetett 2 221 0 tee 例 3 设20sinxdxInn 证明 1 当 n 为正偶数时 22143231 nnnnIn 2 当 n 为大于 1 的正奇数时 325

27、4231 nnnnIn 证明 20sinxdxInn201cossinxxdn 2012 0 1sincossincosxxdxxnn 2022sincos)1(xdxxnn202)sin(sin)1(dxxxnnn 20202sin)1(sin)1(xdxnxdxnnn n1I n 2n1I n 由此得 21nnInnI 02214342522232212ImmmmmmIm 112325432421222122ImmmmmmIm 而2200dxI 1sin201xdxI 因此 22143425222322122 mmmmmmIm 32543242122212212 mmmmmmIm 例 3

28、设20sinxdxInnn 为正整数 证明 22143425222322122 mmmmmmIm 32543242122212212 mmmmmmIm 证明 20sinxdxInn201cossinxxdn 20222 0 1sincos)1(sincosxdxxnxxnn 202)sin(sin)1(dxxxnnn 20202sin)1(sin)1(xdxnxdxnnn n1I n 2n1I n 由此得 21nnInnI 02214342522232212ImmmmmmIm 112325432421222122ImmmmmmIm 特别地 2200dxI 1sin201xdxI 因此 2214

29、3425222322122 mmmmmmIm 32543242122212212 mmmmmmIm 5 4 反常积分 一、无穷限的反常积分 定义 1 设函数 fx 在区间 a 上连续 取 ba 如果极限 dxxfbab)(lim 存在 则称此极限为函数 fx 在无穷区间 a 上的反常积分 记作dxxfa)(即 dxxfdxxfbaba)(lim)(这时也称反常积分dxxfa)(收敛 如果上述极限不存在 函数fx在无穷区间a 上的反常积分dxxfa)(就没有意义 此时称反常积分dxxfa)(发散 类似地 设函数 fx 在区间 b 上连续 如果极限 dxxfbaa)(lima0 解 0001ptp

30、tpttdepdttedtte 011dteptepptpt 0211ptpteptep 2221111limppeptepptptt 提示 01limlimlimpttpttpttpeette 例 3 讨论反常积分dxxpa1a0 的敛散性 解 当 p1 时 dxxpa1dxxa1 lnax 当 p1 时 11111 1paxpdxxpappa 因此 当 p1 时 此反常积分收敛 其值为11pap 当 p1 时 此反常积分发散 二、无界函数的反常积分 定义 2 设函数 fx 在区间 a b 上连续 而在点 a 的右邻域内无界 取0 如果极限 dxxfbtat)(lim 存在 则称此极限为函数

31、 fx 在 a b 上的反常积分 仍然记作dxxfba)(即 dxxfdxxfbtatba)(lim)(这时也称反常积分dxxfba)(收敛 如果上述极限不存在 就称反常积分dxxfba)(发散 类似地 设函数 fx 在区间 a b 上连续 而在点 b 的左邻域内无界 取0 如果极限 dxxftabt)(lim 存在 则称此极限为函数 fx 在 a b 上的反常积分 仍然记作dxxfba)(即 dxxfdxxftabtba)(lim)(这时也称反常积分dxxfba)(收敛 如果上述极限不存在 就称反常积分dxxfba)(发散 设函数 fx 在区间 a b 上除点 cacb 外连续 而在点 c

32、的邻域内无界 如果两个反常积分 dxxfca)(与dxxfbc)(都收敛 则定义 dxxfdxxfdxxfbccaba)()()(否则 就称反常积分dxxfba)(发散 瑕点 如果函数 fx 在点 a 的任一邻域内都无界 那么点 a 称为函数 fx 的瑕点 也称为无界 定义 2 设函数 fx 在区间 a b 上连续 点 a 为 fx 的瑕点 函数 fx 在 a b 上的反常积分定义为 dxxfdxxfbtatba)(lim)(在反常积分的定义式中 如果极限存在 则称此反常积分收敛否则称此反常积分发散 类似地函数 fx 在 a bb 为瑕点上的反常积分定义为 dxxfdxxftabtba)(li

33、m)(函数 fx 在 a cc b c 为瑕点上的反常积分定义为 dxxfdxxfdxxfbtcttactba)(lim)(lim)(反常积分的计算 如果 Fx 为 fx 的原函数 则有 btatbtatbaxFdxxfdxxf)(lim)(lim)()(lim)()(lim)(xFbFtFbFaxat 可采用如下简记形式 )(lim)()()(xFbFxFdxxfaxbaba 类似地 有 )()(lim)()(aFxFxFdxxfbxbaba 当 a 为瑕点时)(lim)()()(xFbFxFdxxfaxbaba 当 b 为瑕点时)()(lim)()(aFxFxFdxxfbxbaba 当 c

34、 acb 为瑕点时 )(lim)()()(lim)()()(xFbFaFxFdxxfdxxfdxxfcxcxbccaba 例 4 计算反常积分adxxa0221 解 因为221limxaax 所以点 a 为被积函数的瑕点 aaaxdxxa 0 022arcsin120arcsinlimaxax 例 5 讨论反常积分1121dxx的收敛性 解 函数21x在区间 1 1 上除 x0 外连续 且201limxx 由于1)1(lim1100 1012xxdxxx 即反常积分0121dxx发散 所以反常积分1121dxx发散 例 6 讨论反常积分baqaxdx)(的敛散性 解 当 q1 时 bababaqaxaxdxaxdx )ln()(当 q1 时 baqbaqaxqaxdx 1)(11)(当 q1 时 qbaqbaqabqaxqaxdx1 1)(11)(11)(因此 当 q1 时 此反常积分收敛 其值为qabq1)(11 当 q1 时 此反常积分发散