2020届吉林省长春市高三质量监测(二)数学(理)试题解析.pdf

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1、第1页共20页 绝密启用前 2020 届吉林省长春市高三质量监测（二）数学（理）试题 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 答题卡上 一、单选题 1.已知集合A x|x(x 1,0,1,2,3，贝U AI B 答案：B 答案：A 答案：C 1 分析函数y 丁的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由 此确定正确选项A.1,3 B.0,1,2 C.1,2 D.0,1,2,3 2、请将答案正确填写在 解一元二次不等式求得集合 A,由此求得 AI B.解:由x x 2。解得0 X 2,所以A 0,2，所以 AI B 0,1,2.故选：B 点评:本小题主要考查一元二

2、次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算,属于基础题 2.若 z 1(1 a)i(a A.0 或 2 B.C.1 或 2 D.利用复数的模的运算列方程,解方程求得 a的值.解:由于 z 1(1 a)i(a R),|z|匹，所以 J12 1 a 42.，解得 0 或 a 2.故选：A 点评:本小题主要考查复数模的运算，属于基础题 3.下列与函数 1 一 .-丁定义域和单调性都相同的函数是（A.y 22x-:1 B y log2-C.y log D.1 X第2页共20页 解:函数y 1 一-了的定义域为 0,在0,上为减函数.A选项,2log2x的定义域为0,上为增函数，不符合.B选项,x log

3、2 的定义域为 R，不符合.C选项,D选项,1 log2 的定义域为 0,，在0,1 盘的定义域为 0,，不符合.x 上为减函数，符合.故选：C 点 评:本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题 4.已知等差数列 an中，若3a5 2a7，贝 U 此数列中一定为 0的是（）A.a B.a3 C.a8 D.a10 答案：A 将已知条件转化为 a,d的形式，由此确定数列为。的项.解:由于等差数列an 中 3a5 2a7，所以 3 a1 4d 6d，化简得a 0,所以 a为 0.故选：A 点 评:本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题 5.若单位向量 ur ur r ir ur e,e

4、2夹角为60,a q e2，且 A.1 B.2 C.0 或一1 D.2 或一 答案：D 利用向量模的运算列方程，结合向量数量积的运算,求得实数 的值.解:r 由于a 2；陌，所以 a2 ur ur m2 3,即 o cos60 3,3,即2 2 0,解得 第3页共20页 故选：D 点评：本小题主要考查向量模的运算，考查向量数量积的运算，属于基础题 6.普通高中数学课程标准（2017版）提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测 验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为 5分，分值高者为优），则下面叙述正 确的是（）A

5、.甲的数据分析素养高于乙 B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C.乙的六大素养中逻辑推理最差 D.乙的六大素养整体平均水平优于甲 答案：D 根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项 解：对于A选项，甲的数据分析 3分，乙的数据分析 5分，甲低于乙，故 A选项错误.对于B选项，甲的建模素养 3分，乙的建模素养 4分，甲低于乙，故 B选项错误.对于C选项，乙的六大素养中，逻辑推理 5分，不是最差，故 C选项错误.对于D选项，甲的总得分4 5 3 3 4 3 22分，乙的总得分 5 4 5 4 5 4 27分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故 D选项正确.故选：D 点评：本小题主要考

6、查图表分析和数据处理，属于基础题 第4页共20页 7.命题P:存在实数xo,对任意实数x,使得sin x xo sinx恒成立；q:a 0,第5页共20页 f(x).a x ln a 为奇函数，则下列命题是真命题的是(x A.p B.(p)(q)C.p(q)D.(p)q 答案:分别判断命题 p 和q的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选 解:对于命题 p,由于sin x sin x,所以命题 P为真命题.对于命题q，由于a 0,0 解得 a x ln a x In a x ln a x f x,所以f x是奇函数，故 真命题.所以 p q 为真命题.(p)(q)、(q)、(p

7、)q都是假命题.故选：A 点 评:本小题主要考查诱导公式,考查函数的奇偶性,考查含有逻辑联结词命题真假性的判断,属于基础题.8.在 ABC 中，C 30,cosA 2,则AC边上的高为(B.D.口5 2 答案：C 结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式,求得BC边长，由此求得 AC 边上的高.解:过 B 作BD CA,交CA的延长线于.由于cosA 2，-，所以A为钝角，且 3 sin A 1 cos2 A,所以 3 sin CBA sin CBA sin A C sin AcosC cosAsin C 后 2.在三角形ABC中，由正弦 6 第6页共20页 u BC 15 2 a

8、b 正理碍 -，即J5 J15 2，所以BC 2 J5.在Rt BCD中有 sinA sinB -3 6 1 BD BC sin C 2J5 云 J5,即AC边上的高为 际.故选：C 点评：本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属 于中档题.9.2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁 4名 干部派遣到 A、B、C三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣 到A县的分法有（）A.6 种 B.12 种 C.24 种 D.36 种 答案：B 分成甲单独到 A县和甲与另一人一同到 A县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派

9、 遣到A县的分法数.解：如果甲单独到 A县，则方法数有 C；A 6种.如果甲与另一人一同到 A县，则方法数有 C3 A 6种.故总的方法数有6 6 12种.故选：B 点评：本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题 10.在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E,F,G分别为棱A1D1,D1D,AB1的中 第7页共20页 点，给出下列命题：ACI EG;GC/ED；BIF 平面BGCI；EF和BBI 成角为一.正确命题的个数是（4 第8页共20页 答案：C 建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数 解：设正方体边长为 2,建立空间直角坐标系如下图所示，A

10、 2,0,0,Ci 0,2,2,G 2,1,2,C 0,2,0,E 1,0,2,D 0,0,0，昌 2,2,2,F 0,0,1,B 2,2,0 成立，故错误.uuin uuu uuun，B1F 2,2,1,BG 0,1,2,BC1 2,0,2,uuur uur uuu ULUU B)F BG 0,BF BG 2 0，故BF 平面BGC不成立，故错误 urn uLir，EF 1,0,1,BB1 0,0,2，设 EF 和 BB成角为，贝U riur uuir EF BB rur 综上所述，正确的命题有 2个.故选：C 点评：A.0 B.1 C.2 D.3 uum，AC1 uuur 2,2,2,EG

11、 uuur uiur 1,1,0,AC1 EG 2 2 0 0,所以 AC EG,故 正确.uuur ，GC uuu 2,1,2,ED 1,0,2，不存在实数/士 uuu 使GC uuu ED,故 GC/ED 不 cos 0,所以 2 uur EF BB1 2 -,由于 2 ti 第9页共20页 本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中第10页共20 11.已知抛物线C:y2 2px（p 0）的焦点为F,M 1,y0为该抛物线上一点,以M为圆心的圆与C的准线相切于点 A,AMF 120，则抛物线方程为（）A.y2 2x B.y2 4x C.y2 6x D.y

12、2 8x 答案：C 根据抛物线方程求得 M点的坐标，根据MA/x轴、AMF 120列方程，解方程求 得 P 的值.解：不妨设M在第一象限，由于 M在抛物线上，所以 M 1,而，由于以M为圆心的 F-,0.由于 2 AMF 120，所以直线 MF的倾斜角 为120,所以 kMF tan120o；P 0 2 2 扼，解得p 3,或p-3 1 p 八.（由于一一0,p 1,故 2 2 舍去）.所以抛物线的方程为 y2 6x.故选：C 点评：本小题主要考查抛物线的定义，考查直线的斜率，考查数形结合的数学思想方法，属于 中档题.12.已知 f(x)ex 1 e1 x x,则不等式f(x)f(3 2x)2

13、的解集是（A.1,B.0,C.,0 D.,1 圆与C的准线相切于点A,根据抛物线的定义可知,MA MF、MA/x轴，且 第11页共20 答案：A 构造函数g x f x 1，通过分析g x的单调性和对称性，求得不等式 f(x)f(3 2x)2 的解集.解：1 构造函数g x f x 1 e T x 1,x 1 e g x是单调递增函数，且向左移动一个单位得到 h x g x 1 ex 二 e h x的定义域为R,且h x exx h x,e 所以h x为奇函数，图像关于原点对称，所以 g x图像关于1,0对称.不等式 f(x)f(3 2x)2 等价于 f x 1 f 3 2x 10,等价于g

14、x g 3 2x 0,注意到g 1 0,结合g x图像关于1,0对称和g x单调递增可知x 3 2x 2 x 1.所以不等式f(x)f(3 2x)2的解集是1,故选：A 点评：本小题主要考查根据函数的单调性和对称性解不等式，属于中档题 二、填空题 2x y 2 13.若x,y满足约束条件 y 2 0,则 z x y 的最大值为 2x y 2 答案：4 解：第12页共20 则的取值范围是 5 11 答案：5,11 6 12 首先根据x的取值范围，求得 x 的取值范围，由此求得函数 f x的值域，结合 6 f x区间,2 上的值小于0恒成立列不等式组，解不等式组求得 解:2x y 由 2 2，解得

15、A 2,2.目标函数 x y，即为y x z,平移斜率为-1的直线，经过点 A 2,2时,zmax 2 4.i 14.若 0 2.5,x dx 一，贝U a 3 答案：2 直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出 a 的值.解:一 4 1 2 5 解：右(a x)dx-,则 0 3 ax 点评:本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算 能力和转换能力及思维能力，属于基础题.15.已知函数f(x)sin x 6 0）在区间，2 上的值小于0恒成立,的取值范围.第13页共20 由于 x 2,0,所以 由于f x区间,2 上的值小于0恒成立,所以 2k

16、 x 2-2k 2（k Z）6 6 6 归与转化的数学思想方法，属于中档题 三、双空题 16.三棱锥A BCD的顶点都在同一个球面上，满足 BD过球心O,且BD 2J2，则三棱锥 A BCD体积的最大值为;三棱锥A BCD体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为.答案:气 由于BD是球的直径，故当OC BD,OA BD时，三棱锥A BCD体积取得最大值，由此求得体积的最大值.求得三棱锥 A BCD体积最大时，等边三角形 ABC的外接圆 半径，由此求得等边三角形 ABC的外接圆的面积，也即求得平面 ABC截球所得的截 面圆的面积.解：依题意可知，BD是球的直径，所以当 OC BD,OA

17、BD,即OC OA J2时，2k 所以 6 2k 由于 2 2k 2 6 2k 11 k U 12 0,所以 2k 11 12 1 12,_ 5 由于k Z,所以令k 0得-11 12-，5 11 所以的取值范围是 一，一 6 12 故答案为:5 11,点评:本小题主要考查三角函数值域的求法,考查三角函数值恒小于零的问题的求解,考查化 第14页共20 故答案为：(1).2-2(2).点评：本小题主要考查几何体外接球的有关计算,力，属于中档题.四、解答题 17.2019年入冬时节，长春市民为了迎接 2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开 展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出 100名参与者

18、，并由专业的评估机构对他们 的锻炼成果进行评估打分(满分为 100分)并且认为评分不低于 80分的参与者擅长冰 上运动，得到如图所示的频率分布直方图:(2)将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列 2 2 列联 表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过 0.01的前提下认为擅长冰上运动与JD.娜(1)求m的值;三棱锥A BCD体积取得最大值为1 s OA 3 BCD 3*竟.2孝.此时BC AC AB 2,即三角形 ABC是等边三角形，设其外接圆半径为 r,由正 曰2r 弦定理得 21 sin 1 r .ABC截球所得的截面圆的面积为 4 r2 4 2 1 4_ 3

19、 3 考查球的截面面积的计算，考查空间想象能 第15页共20 性别有关系?擅长 不擅长 合计 男性 30 女性 50 合计 100 _ 2 P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 z 2 n(ad bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)八 n a C 答案：(1)m 0.025(2)填表见解析；不能在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认 为擅长冰上运动与性别有关系(1)利用频率分布直方图小长方形的面积和为 1列方程，解方程求得 m的值.(2)根

20、据表格数据填写 2 2列联表，计算出 K2的值，由此判断不能在犯错误的概率 不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系 解：(1)由题意 0.005 2 0.015 0.02 m 0.03 10 1,解得 m 0.025.(2)由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为 0.025+0.003 10 100 30.完善列联表如下：擅长 不擅长 合计 男性 20 30 50 女性 10 40 50 合计 30 70 100 第16页共20 lx2 n(ad bc)2 K(a b)(c d)(a c)(b d)100(800 300)2 50 50 30 70 4.762,第17页共20

21、对照表格可知，4.762 6.635,不能在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.点评：本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高，考查 2 2 列联表独立性检验，属于基础题.18.如图，直三棱柱 ABC AB中，底面ABC为等腰直角三角形，AB BC,AA 2AB 4,M,N分别为CCi,BBi的中点，G为棱AAi上一点，若AB平 面 MNG.(1)求线段AG的长；(2)求二面角B MG N的余弦值.答案：(1)AG 1(2)晅 5(1)先证得AB1 GN，设AB与GN交于点E,在 BE,AE，由此求得AG的值.(2)建立空间直角坐标系，利用平面 BMG和平

22、面NMG的法向量，计算出二面角 B MG N的余弦值.解：J AB 半向MNG(1)由题怠，十工 A1B GN,GN 平面MNG 设AB与GN交于点 E,在 BNE 中，可求得 BE 4，则 A1 E 6,5 5 可求得AG 3,则 AG 1(2)以B1为原点，B1B方向为x轴，B1C方向为y轴，B1A1方向为z轴，建立空间直角坐标系.BNE中解直角三角形求得 第18页共20 B(4,0,0),M(2,2,0),G(3,0,2),N(2,0,0)第19页共20 uuuu uiur ir BM(2,2,0),BG(1,0,2)，易得平面 BMG 的法向量为 n1(2,2,1).uuuir uuu

23、r uu NM(0,2,0)，NG(1,0,2),易得平面 NMG 的法向量为 n2(2,0,1).设二面角B MG N为，由图可知 为锐角，所以 ur uu C0S 部/5：.即二面角B MG N的余弦值为半.点评：本小题主要考查根据线面垂直求边长，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推 理能力，属于中档题.19.已知数列 an 满足，a1 1,a2 4,且 an 2 4an 1 3an 0 n N.(1)求证：数列 an 1 an为等比数列，并求出数列 an的通项公式;(2)设bn 2n a”，求数列 a的前n项和Sn.答案：(1)证明见解析;3n 1(2n an(2)Sn 1)4 3

24、n 1 2 3 n(n 1)2*y IOM I 第20页共20页 (2)由(1)得：bn n 3n n,_ _1 _ _2 _n Tn 1 3 2 3 n 3,3Tn 1 32 2 33(n 1)3n n 3n 1,3n 1 3 一可得 2Tn 31 32 3n n 3n1 33 n 3n 1,2 n 1 (2n 1)3 3 n(n 1)4 2 点评:位相减求和法，属于中档题 2。1(a b 0)的左、右顶点分别为 A、B,b2,.一，.，一，一、3 B 的点，且直线 PA和PB的斜率之积为 一 4(1)求C的方程;(2)设直线AP与y轴的交点为Q,过坐标原点 O作OM/AP交椭圆于点M，试探

25、 I AP I I AQ I .I 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由 2 利用错位相减求和法求得数列 bn的前n项和Sn 解：(1)已知 an 2 4an 1 3an 0,则 an 2 an 1 3 an 1 an,且 a?ai 3,贝u an1 an为以3为首相，3为公比的等比数列,所以 an 1 an 3n,an an an 1 an 1 an 2 3n 1 a?a a-则Tn 3n 3n1 2 n 1 (2n 1)3 3 4 即Sn 本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列,考查累加法求数列的通项公式，考查错 2 .X 20.已知椭圆 C:点 P 为椭圆上异于A、焦距为2

26、,第21页共20页|OM|2 答案：(1)匕 1(2)是定值，且定值为 2 4 3 2(1)设出 P 点坐标并代入椭圆方程，根据 kAP kBP 列方程，求得一的值，结合 4 a2 2c 2求得a,b的值，进而求得椭圆 C的方程.(2)设出直线AP,OM的方程，联立直线AP的方程和椭圆方程，求得 P 点的横坐标，联立直线 OM 的方程和椭圆方程，求得 xM，由此化简求得IAPI 容 2为定值.第22页共20页 解:2(1)已知点P在椭圆C:二 a 2 2 可设P Sy。，即与尊1,a b 又kAP 哈土 W 工 x。a x0 a x。a 且2c 2,可得椭圆C的方程为-y-1.4 3|AP|A

27、Q|_ 2|OM|2 点评：本小题主要考查本小题主要考查椭圆方程的求法，考查椭圆中的定值问题的求解，考查 直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题 21.已知函数f(x)ex.(1)求曲线y f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若对任意的 m R,当x 0时，都有m2 2f(x)1 2km 1恒成立，求 x 最大的整数k.答案：(1)y ex(2)2(1)先求得切点坐标，利用导数求得切线的斜率，由此求得切线方程(2)对m分成，m 0,m 0两种情况进行分类讨论.当m 0时，将不等式 2 匕1 b2 1 a b 0)上,(2)设直线AP的方程为:y k(x 2)，则直线 OM

28、 的方程为y kx.联立直线AP与椭圆C的方程可得:-22.2 _2_ 3 4k2 x2 16k2x 16k2 12 0,由XA 2,可得XP 6 8k2 3 4k2 联立直线 OM 与椭圆C的方程可得:2 2 2 3 4k x 12 0，即 xM 12 2 即|AP|AQ|OM|2 XP XA XQ 2|0 2|2 XM 为定值，且定值为 2.(参考数据:e3 1.78)XA 第23页共20页 m2 2 f(x)1/2km 1 转化为 2f(x)1 272，构造函数._一.1 h(x)2f(x),利用导数求得h x的最小值(设为a)的取值范围，由 a 2 依m 1的得am2 2j2km 1

29、0在m R上恒成立，结合一元二次不等式恒 成立，判别式小于零列不等式，解不等式求得 k的取值范围.解：(1)已知函数f(x)ex,则(1,f(1)处即为(1,e),又 f(x)ex,k f(1)e,可知函数f(x)ex过点(1,f(1)的切线为y e e(x 1)，即y ex.(2)注意到x 0,不等式 m2 2f(x)1 2j2km 1 中,x 0时，显然成立;1 当m 0时，不等式可化为2f(x)x 1 v 1 v 1 令 h(x)2 f(x)2ex,则 h(x)2ex,1 _ 1 1 _ 1 h()2e27 2e2 4 0 2 2，2 使 h x 2ex%0.x 1 .由于y 2e在0,

30、上递增，y/在0,上递减，所以 x是h x的唯一零 点.且在区间0,x0上h(x)0,h(x)递减，在区间 x0,上h(x)0,h x递增,2、2km 1 2 m 所以存在x。2 3 第24页共20页 x第18页共2o页 一 一 1 1 1 1-_ 即 h(x)的最小值为 h Xo 2e ，令t(J3,2),X。Xo Xo Xo 112-_ 则t t(3 V3,6)，将h(X)的最小值设为a,则a(3 J3,6),Xo X。因此原式需满足a 221，即am 2j2km 1 o在m R上恒成立,又a o,可知判别式 8k 4a o即可，即k宣，且a(3 73,6)k可以取到的最大整数为 2.点评

31、:X y 8 o(2)4(72 1)(1)消去曲线C1,C2参数方程中的参数，求得 C1和C2的普通方程(2)设出过原点。的直线的极坐标方程，代入曲线 C1,C2的极坐标方程，求得 一，一，一一r|ON|皿曰任 ON,OM的表达式，结合三角函数值域的求法，求得|OM|的最小值.解：(1)曲线C的普通方程为：(X 2)2 y2 4；曲线C2的普通方程为：X y 8 o.本小题主要考查利用导数求切线方程,考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归 与转化的数学思想方法，属于难题 X 2 2cos 22.已知曲线G的参数方程为 为参数)，曲线C2的参数方程为 3 8 t cos 4 .(t为参数)(

32、1)求G和C2的普通方程;(2)过坐标原点 O作直线交曲线C1于点M M异于O)，交曲线C2于点N,求|ON|OM|的最小值.答案：(1)曲线G的普通方程为:(X 2)2 y2 4;曲线C2的普通方程为:第26页共20页 (2)设过原点的直线的极坐标方程为 在曲线C1中，|OM|4 cos.由x y 8 0得曲线C2的极坐标方程为 cos sin 8 0,所以 而O到直线与曲线C2的交点 N的距离为|ON|sin 8，|ON|sin cos 因此J-L -|OM|4cos 2 sin cos cos.2sin 2-1 4|ON|4 即1 1的最小值为|OM|,2 1 4(、2 1).点 评:本

33、小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐 标系下距离的有关计算，属于中档题 23.已知函数 f(x)|ax 1|x 1|.(1)若a 2,解关于x的不等式f(x)9；(2)若当x 0时，f(x)1 恒成立，求实数 a 的取值范围.答案：(1)x|3 x 3(2)a 0,(1)利用零点分段法将 f x表示为分段函数的形式,由此求得不等式的解集(2)对a分成a 0,a 0,a 0三种情况,求得 的最小值，由此求得 a 的取值 范围.解:3x,(1)当a 2时,f(x)2x 3x,由此可知，f(x)9的解集为 x|3 由(x 2)2 y2 4 得 x2 y2 4x

34、0,所以曲线 Ci的极坐标方程为 4cos 第27页共20页 1 .-,_,f(x)的取小值为f 和f 1中的取小值，其中 本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范 围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题(1)根据题目所给递推关系式得到 an 2 an 1 3 an 1 an,由此证得数列 an 1 an 为等比数列，并求得其通项公式.然后利用累加法求得数列 an的通项公式.3 4 1 彳 h(W)2e3 -2 2e 3 3 2 1.78 3 0 3*3 x,(2)当 a 0时，f(x)ax 1 2,1 x,f(1)a 1 1.当a 0时,f(x)当a 0时，f 1 若2 a 0,则 若a 综上，点2,a 则 0,f ,且 f(1)1，f(x)1 不恒成立,不符合题意 1 1 1 a,f 1 a a 1 不恒成立，不符合题意;1，故 f(x)1 不恒成立，不符合题意 1 a.所以 f(x)f 1 1,故 f(x)x 1 1 1