2023年高考数学专项练习导数解密通关基础篇专题09 函数的最值含解析.docx

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1、2023年高考数学专项练习导数解密通关基础篇专题09函数的最值 考点一求已知函数的最值【方法总结】导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f(x)的导数f(x)；(2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；(3)求f(x)在给定区间上的端点值；(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；(5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范【例题选讲】例1(1)函数f(x)lnxx在区间(0，e上的最大值为_(2)函数f(x)x2x2lnx的最小值为 (3)已知函数f(x)x3mx2nx2，其导函数f(x)为偶函数，f(1)，则函数g(x)f(x)ex

2、在区间0，2上的最小值为 2023年高考数学专项练习(4)已知函数f(x)2sinxsin2x，则f(x)的最小值是_(5)设正实数x，则f(x)的值域为_(6)已知函数f(x)elnx和g(x)x1的图象与直线ym的交点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2的取值范围是()2023年高考数学专项练习A1，)B2，)CD2023年高考数学专项练习(7)已知不等式ex1kxlnx对于任意的x(0，)恒成立，则k的最大值为_2023年高考数学专项练习(8)(多选)设函数f(x)，则下列选项正确的是()Af(x)为奇函数Bf(x)的图象关于点(0，1)对称Cf(x)的最大值为1Df(x

3、)的最小值为12023年高考数学专项练习例2已知函数f(x)excos xx(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值2023年高考数学专项练习例3(2017浙江)已知函数f(x)(x)ex2023年高考数学专项练习(1)求f(x)的导函数；(2)求f(x)在区间上的取值范围2023年高考数学专项练习例4(2021北京)已知函数f(x)(1)若a0，求yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)若函数f(x)在x1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值例5已知函数f(x)2023年高考数学专项练习(1)求f(x)在区间(，

4、1)上的极小值和极大值；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值【对点训练】1函数y在0，2上的最大值是()ABC0D2023年高考数学专项练习2函数f(x)2xlnx的最小值为_3已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2，2上有最大值3，那么此函数在2，2上的最小值是()2023年高考数学专项练习A37B29C5D以上都不对4已知函数f(x)x2sinx，x0，2，则f(x)的值域为()ABCD0，22023年高考数学专项练习5设0x，则函数y的最小值是_2023年高考数学专项练习6若曲线yxex(x0)的导函数f(x)的两个零点为3和02023年高考数学专项练习(1)求f

5、(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值13(2019全国)已知函数f(x)2x3ax22(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0a0)在1，)上的最大值为，则a的值为()2023年高考数学专项练习A1BCD12023年高考数学专项练习专题09函数的最值 考点一求已知函数的最值【方法总结】导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f(x)的导数f(x)；(2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；(3)求f(x)在给定区间上的端点值；(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；(5)反思回顾，查看关键点，

6、易错点和解题规范【例题选讲】例1(1)函数f(x)lnxx在区间(0，e上的最大值为_答案1解析f(x)1，令f(x)0得x1当x(0，1)时，f(x)0；当x(1，e时，f(x)0当x1时，f(x)取得最大值，且f(x)maxf(1)ln 1112023年高考数学专项练习(2)函数f(x)x2x2lnx的最小值为 答案解析因为f(x)x1(x0)，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以f(x)minf(1)12023年高考数学专项练习(3)已知函数f(x)x3mx2nx2，其导函数f(x)为偶函数，f(1)，则函数g(x)f(x)ex在区间0，2上的最小值为 2023

7、年高考数学专项练习答案2e解析由题意可得f(x)x22mxn，f(x)为偶函数，m0，故 f(x)x3nx2，f(1)n2，n3f(x)x33x2，则f(x)x23故g(x)ex(x23)，则g(x)ex(x232x)ex(x1)(x3)，据此可知函数g(x)在区间0，1)上单调递减，在区间(1，2上单调递增，故函数g(x)的极小值，即最小值为g(1)e1(123)2e2023年高考数学专项练习(4)已知函数f(x)2sinxsin2x，则f(x)的最小值是_答案解析f(x)的最小正周期T2，求f(x)的最小值相当于求f(x)在0，2上的最小值f(x)2cosx2cos2x2cosx2(2co

8、s2x1)4cos2x2cosx22(2cosx1)(cosx1)令f(x)0，解得cosx或cosx1，x0，2由cosx1，得x；由cosx，得x或x函数的最值只能在导数值为0的点或区间端点处取到，f()2sinsin20，f 2sinsin，f ，f(0)0，f(2)0，f(x)的最小值为2023年高考数学专项练习(5)设正实数x，则f(x)的值域为_答案解析令ln xt，则xet，g(t)，令t2m，m0，h(m)，h(m)，令h(m)0，解得m1，当0m0，函数h(m)单调递增，当m1时，h(m)0令h(x)xeln x1(x0)，则h(x)1当xe时，h(x)0，当0xe时，h(x

9、)0)，则(x)，当x(0，1)时，(x)0，(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，(x)min(1)e1，ke12023年高考数学专项练习(8)(多选)设函数f(x)，则下列选项正确的是()Af(x)为奇函数Bf(x)的图象关于点(0，1)对称Cf(x)的最大值为1Df(x)的最小值为12023年高考数学专项练习答案BCD解析f(x)1，不满足f(x)f(x)，故A项错误；令g(x)，则g(x)g(x)，所以g(x)为奇函数，则f(x)关于点(0，1)对称，B项正确；设f(x)1的最大值为M，则g(x)的最大值为M1，设f(x)1的最小值为N，则g(x)的最小值为N1，当x0时

10、，g(x)，所以g(x)，当0x1时，g(x)0，当x1时，g(x)0，所以当0x1时，g(x)单调递增，当x1时，g(x)单调递减，所以g(x)在x1处取得最大值，最大值为g(1)，由于g(x)为奇函数，所以g(x)在x1处取得最小值，最小值为g(1)，所以f(x)的最大值为M1，最小值为N1，故C、D项正确故选B、C、D2023年高考数学专项练习例2已知函数f(x)excos xx(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值2023年高考数学专项练习解析(1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(

11、0)02023年高考数学专项练习又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1(2)设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x2023年高考数学专项练习当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减2023年高考数学专项练习所以对任意x，有h(x)h(0)0，即f(x)0所以函数f(x)在区间上单调递减2023年高考数学专项练习因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f2023年高考数学专项练习例3(2017浙江)已知函数f(x)(x)ex2023年高考数学专项练习(1)求f(x)的

12、导函数；(2)求f(x)在区间上的取值范围2023年高考数学专项练习解析(1)f(x)(x)ex(x)(ex)ex(x)ex2023年高考数学专项练习ex(1x)ex2023年高考数学专项练习(2)令f(x)(1x)ex0，解得x1或2023年高考数学专项练习当x变化时，f(x)，f(x)的变化如下表：x1f(x)00f(x)e0e又fe，f(1)0，fe，则f(x)在区间上的最大值为e2023年高考数学专项练习又f(x)(x)ex(1)2ex02023年高考数学专项练习综上，f(x)在区间上的取值范围是2023年高考数学专项练习例4(2021北京)已知函数f(x)(1)若a0，求yf(x)在

13、(1，f(1)处的切线方程；(2)若函数f(x)在x1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值解析(1)当a0时，f(x)，则f(x)2023年高考数学专项练习当x1时，f(1)1，f(1)4，故yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为y14(x1)，整理得4xy50(2)已知函数f(x)，则f(x)2023年高考数学专项练习若函数f(x)在x1处取得极值，则f(1)0，即0，解得a42023年高考数学专项练习经检验，当a4时，x1为函数f(x)的极大值，符合题意此时f(x)，其定义域为R，f(x)，2023年高考数学专项练习令f(x)0，解得x11，x24f(x)，f(x)随x的

14、变化趋势如下表：x(，1)1(1，4)4(4，)f(x)00f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间为(，1)，(4，)，单调递减区间为(1，4)由上表知f(x)的极大值为f(1)1，极小值为f(4)又因为x0；x时，f(x)0，2023年高考数学专项练习所以函数f(x)的最大值为f(1)1，最小值为f(4)例5已知函数f(x)2023年高考数学专项练习(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值解析(1)当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(

15、，0)0f(x)00f(x)极小值极大值故当x0时，函数f(x)取到极小值，极小值为f(0)0，当x时，函数f(x)取到极大值，极大值为f2023年高考数学专项练习(2)当1x0时，f(x)在1，e上单调递增则f(x)在1，e上的最大值为f(e)a故当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a2时，f(x)在1，e上的最大值为2【对点训练】1函数y在0，2上的最大值是()ABC0D2023年高考数学专项练习1答案A解析易知y，x0，2，令y0，得0x1，令y0，得1x2，所以函数y2023年高考数学专项练习在0，1上单调递增，在(1，2上单调递减，所以y在0，2上的最大值是ymax，故选A2

16、023年高考数学专项练习2函数f(x)2xlnx的最小值为_2答案1ln 2解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)2，当0x时，f(x)时，2023年高考数学专项练习f(x)0f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(x)minf1ln 1ln 22023年高考数学专项练习3已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2，2上有最大值3，那么此函数在2，2上的最小值是()2023年高考数学专项练习A37B29C5D以上都不对3答案A解析f(x)6x212x6x(x2)，f(x)在(2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，2023年高考数学专项练习x0为极大值点，也为最大值点，f(0)m3，m3

17、f(2)37，f(2)5最小值是37故选A2023年高考数学专项练习4已知函数f(x)x2sinx，x0，2，则f(x)的值域为()ABCD0，22023年高考数学专项练习4答案D解析f(x)12cosx，x0，2，令f(x)0，得cosx，x或x，又f2023年高考数学专项练习，f，f(0)0，f(2)2，ff20，f(0)fff(2)，f(x)maxf(2)2，f(x)minf(0)0，f(x)的值域为0，22023年高考数学专项练习5设0x，则函数y的最小值是_2023年高考数学专项练习5答案解析y因为0x，所以当x0；当0x2023年高考数学专项练习时，y0所以当x时，ymin6若曲线

18、yxex(x1)存在两条垂直于y轴的切线，则m的取值范围为_2023年高考数学专项练习6答案解析由题意可得，y(x1)ex0，即m(x1)3ex在(，1)上2023年高考数学专项练习有两个不同的解设f(x)(x1)3ex(x1)，f(x)(x1)2ex(x4)当x4时，f(x)0；当4x0所以f(x)minf(4)，当x1时，f(x)0，故m2023年高考数学专项练习7已知实数x，y满足4x9y1，则2x13y1的取值范围是_7答案(2，解析由4x9y1得22x32y1，3y，其中22x(0，1)，所以2x(0，2023年高考数学专项练习1)，所以2x13y122x33y22x3，令t2x，则

19、f(t)2t3(0t1)，则f(t)2，令f(t)20得t，所以函数f(t)在上单调递增，在上单调递减，且f(0)3，f，f(1)2，所以2x13y1的取值范围为(2，2023年高考数学专项练习8已知函数f(x)lnxax，其中x，若不等式f(x)0恒成立，则实数a的取值范围为()2023年高考数学专项练习ABCD2023年高考数学专项练习8答案C解析当x时，不等式f(x)0恒成立等价于a在上恒成立，2023年高考数学专项练习令g(x)，则g(x)当0x0；当xe时，g(x)0)的导函数f(x)的两个零点为3和02023年高考数学专项练习(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e

20、3，求f(x)在区间5，)上的最大值12解析(1)f(x)2023年高考数学专项练习令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0，所以f(x)的零点就是g(x)ax2(2ab)xbc的零点，且f(x)与g(x)符号相同2023年高考数学专项练习又因为a0，所以当3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)5f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e513(2019全国)已知函数f(x)2x3ax22(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0a0，则当x(，0)时，f(x)0，当x时，f(x)0，2023年高考数学专项练习故f(x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减；2023

21、年高考数学专项练习若a0，则f(x)在(，)上单调递增；若a0，当x时，f(x)0，2023年高考数学专项练习故f(x)在，(0，)上单调递增，在上单调递减2023年高考数学专项练习(2)当0a3时，由(1)知，f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)在0，1的最小值为f2，最大值为f(0)2或f(1)4a2023年高考数学专项练习于是m2，M所以Mm2023年高考数学专项练习当0a2时，可知y2a单调递减，所以Mm的取值范围是2023年高考数学专项练习当2a3时，y单调递增，所以Mm的取值范围是2023年高考数学专项练习综上，Mm的取值范围是2023年高考数学专项练习考点二已知函数的

22、最值求参数的值(范围)【例题选讲】例1(1)函数f(x)x33x29xk在区间4，4上的最大值为10，则其最小值为_2023年高考数学专项练习答案71解析f(x)3x26x93(x3)(x1)由f(x)0得x3或x1又f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20由f(x)maxk510，得k5，f(x)mink76712023年高考数学专项练习(2)若函数f(x)asin xsin3x在x处有最值，则a等于()2023年高考数学专项练习A2B1CD02023年高考数学专项练习答案A解析f(x)在x处有最值，x是函数f(x)的极值点又f(x)acos xcos 3x，facos

23、cos 0，解得a22023年高考数学专项练习(3)函数f(x)3xx3在区间(a212，a)上有最小值，则实数a的取值范围是_2023年高考数学专项练习答案(1，2解析f(x)33x23(x1)(x1)，令f(x)0，得x11，x21当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：2023年高考数学专项练习x(，1)1(1，1)1(1，)f(x)00f(x)极小值2极大值2又由3xx32，得(x1)2(x2)0x31，x42f(x)在开区间(a212，a)上有最小值，最小值一定是极小值解得1a22023年高考数学专项练习(4)已知函数f(x)lnxax存在最大值0，则a_答案解析f(x)a，

24、x0当a0时，f(x)a0恒成立，函数f(x)单调递增，不存在最大值；当a0时，令f(x)a0，解得x当0x时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x时，f(x)0，函数f(x)单调递减f(x)maxf ln 10，解得a2023年高考数学专项练习(5)(多选)若函数f(x)2x3ax2(a0)在上有最大值，则a的取值可能为()2023年高考数学专项练习A6B5C4D3答案ABC解析令f(x)2x(3xa)0，解得x10，x2(a0)，当x0时，f(x)0；当x或x0时，f(x)0，则f(x)的单调递增区间为，(0，)，单调递减区间为，从而f(x)在x处取得极大值f，由f(x)，得20，解得x

25、或x，又f(x)在上有最大值，所以，解得a4所以选项A，B，C符合题意2023年高考数学专项练习(6)设函数f(x)excos x2a，g(x)x，若存在x1，x20，使得f(x1)g(x2)成立，则x2x1的最小值为1时，实数a()2023年高考数学专项练习A1BCD12023年高考数学专项练习答案B解析令F(x)f(x)g(x)excos xx2a，由f(x1)g(x2)得x2ex1cos x12a，则x2x1ex1cos x1x12a，则x2x1的最小值即F(x)在0，上的最小值F(x)exsin x10恒成立，x0，F(x)在0，上单调递增，F(x)minF(0)2a(x2x1)min

26、1，a2023年高考数学专项练习【对点训练】1已知函数f(x)2x36x2a在2，2上有最小值37，则a的值为_， f(x)在2，2上2023年高考数学专项练习的最大值为_1答案33解析f(x)6x212x6x(x2)由f(x)0，得x0或x2当x变化时，f(x)，f(x)2023年高考数学专项练习的变化情况如下表：x2(2，0)0(0，2)2f(x)00f(x)40a极大值a8a所以当x2时，f(x)min40a37，所以a3所以当x0时，f(x)取得最大值32若函数yx3x2m在2，1上的最大值为，则m等于()2023年高考数学专项练习A0B1C2D2答案C解析y3x23x3x(x1)，易知当1x0时，y0，当2x1或0x0，2023年高考数学专项练习所以函数yx3x2m在(2，1)，(0，1)上单调递增，在(1，0)上单调递减，又当x1时，ym，当x1时，ym，所以最大值为m，解得m22023年高考数学专项练习2已知函数f(x)x33x29x1，若f(x)在区间k，2上的最大值为28，则实数k的取值范围为()2023年高考数学专项练习A3，)B(3，)C(，3)D(，32答案D解析由题意知f(x)3x26x9，令f(x)0，解得x1或x3，所以f(x)，f(x)随x2023年高考数学专项练习的变化情况如下表：x(，3)3(3，1)1(1，)f(x)00