2023届福建省宁德市五校教学联合体高三毕业班3月质量检测数学试题含答案、.pdf

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1、高三数学第 1页共 6 页福宁古五校教学联合体 2023 届高三毕业班三月质量监测数学试题（满分（满分 150 分，分，120 分钟完卷）一、单选题：分钟完卷）一、单选题：1集合2|6Ax yxx，2|0 xaBxxa，若|23ABxx，则a的值为（）A.0B.1C.2D.32已知复数i2i,R1 ixyx y，则xy（）A2B3C4D53.已知5sin(45),451355，则cos的值为（）A3 1010B30101C1010D10104.恩格尔系数100%n 食品消费支出总额消费支出总额，国际上常用恩格尔系数 n 来衡量一个地区家庭的富裕程度，恩格尔系数越低，人民生活越富裕某地区家庭 2

2、022 年底恩格尔系数 n 为 50%，刚达到小康，预计从 2023 年起该地区家庭每年消费支出总额增加 30%，食品消费支出总额增加 20%，依据以上数据，预计该地区家庭恩格尔系数 n 满足 30%n40%达到富裕水平，至少经过（）年（参考数据：lg0.60.22，lg0.80.10，lg121.08，lg131.11）A8 年B7 年C4 年D3 年5.如图，圆O半径为1，圆外一点P到圆心O的距离为2，过P引圆O的两条切线，切点分别记为A、B，M为圆O上的一个动点，则PA PM 的最小值为（）A.31B.33C.32D.3高三数学第 2页共 6 页6已知双曲线22:1124xyC，点 F

3、是 C 的右焦点，若点 P 为 C 左支上的动点，设点 P 到C 的一条渐近线的距离为 d，则|dPF的最小值为（）A24 3B6 3C8D107.如图 1 所示，四边形 ABCD 是边长为 2的正方形，点 E、F、M 分别为线段 BC、CD、BE 的中点，分别沿 AE、AF 及 EF 所在直线把AEB，AFD 和EFC 折起，使B、C、D 三点重合于点 P，得到如图 2 所示的三棱锥 PAEF，则下列结论中正确的有（）A点P在平面AEF上的投影为AEF的外心B直线 AM 与平面 PEF 所成角的正切值为 2C三棱锥 PAEF 的内切球半径为12D过点 M 的平面截三棱锥 PAEF 的外接球所

4、得截面的面积的取值范围为3,428已知0.2ae，7log 8b，6log 7c，则（）A.abcB.bacC.acbD.cab二、多选题：二、多选题：9.如图，在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，点,M N分别是11,A D BD的中点，则（）A四点1,A M N C共面B直线1AD与平面1BCD平行C异面直线CN与11DC所成角的余弦值为33D过,M B C三点的平面截正方体所得图形面积为5高三数学第 3页共 6 页10已知函数32()(,)f xxaxbxc a b cR，则下列说法正确的是（）A.若函数()f x的图象关于点(1,(1)f中心对称，则3a B.当0c 时

5、，函数()f x过原点的切线有且仅有两条C.函数()f x在1,1上单调递减的充要条件是23abD.若实数1x，2x是()f x的两个不同的极值点，且满足1212xxx x，则0a 或6a 11已知函数()2sin|sin2|f xxx，则A.()f x的最小正周期为2B.()f x的图象关于2x对称C.()f x在0,2上有四个零点D.()f x的值域为3 32,212.已知抛物线 C：y24x，过焦点 F 的直线 l 与 C 交于11(,)A x y，22(,)B xy两点，12y，E 与 F 关于原点对称，直线 AB 与直线 AE 的倾斜角分别是与，则（）AsintanBAEFBEFCA

6、EB90D2三、填空题：三、填空题：135(2)xy展开式中23x y的系数为_（用数字作答）14 已知圆221:()(2)9Oxmy与圆222:()(2)1Oxny内切，则22mn的最小值为15已知某批零件的质量指标(单位：毫米)服从正态分布225.40,N，且25.450.1P，现从该批零件中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值不位于区间25.35,25.45的产品件数，则()D X 16已知函数 23 e,0e,0 xxxf xxa x，若 12f xf x，且12xx的最大值为 4，则实数a的值为_高三数学第 4页共 6 页四、解答题：四、解答题：17在数列 na中，121aa，

7、且2(1)4nnnaa.(1)令21nnba，证明：数列 nb为等差数列，并求数列 nb的通项公式；(2)记数列 na的前 n 项和为nS，求23S.18记锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sin()sin()coscosABACBC（1）求证：BC；（2）若 asinC2，求2211ab的最大值19如图，在三棱柱111ABCABC-中，ABC为边长为 2 的正三角形，D 为BC的中点，12AA，且160C CB，平面11BBC C 平面ABC.(1)证明：1C DAB；(2)求二面角11AACD的正弦值.高三数学第 5页共 6 页20.某购物中心准备进行扩大规模，

8、在制定未来发展策略时，对中心的现有顾客满意度进行了一个初步的现场调查，分别调查顾客对购物中心的商品质量、服务质量、购物环境、广告宣传的满意程度。调查时将对被抽中的每个顾客从这四个问题中随机抽取两个问题来提问，统计顾客的满意情况。假设，有三名顾客被抽到，且这三名顾客对这四个问题的满意情况如下表：商品质量服务质量购物环境广告宣传顾客甲满意不满意满意不满意顾客乙不满意满意满意满意顾客丙满意满意满意不满意每得到一个满意加 10 分，最终以总得分作为制定发展策略的参考依据。（1）求购物中心得分为 50 分的概率；（2）若已知购物中心得分为 50 分，则顾客丙投出一个不满意的概率为多少？（3）列出该购物中

9、心得到满意的个数 X 的分布列，并求得分的数学期望。高三数学第 6页共 6 页21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22，过点2(1,)2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆的右焦点为 F，定直线:2m x，过点 F 且斜率不为零的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点，过 A，B 两点分别作APm于P，BQm于Q，直线AQ、BP交于点M，证明：M点为定点，并求出M点的坐标.22已知函数()21xf xeax，其中a为实数，e为自然对数底数，2.71828e.（1）已知函数xR，()0f x，求实数a取值的集合；（2）已知函数2()()F xf xax有两个不同极值点1x、2

10、x，证明12122()3a xxx x1 福宁古五校教学联合体 2023 届高三毕业班三月质量监测 数学参考答案 一一、单单选题：选题：1 2 3 4 5 6 7 8 B A D C B A D C 二二、多选题：、多选题：9 9 1010 1111 1212 ACAC ADAD ABDABD BCDBCD 三三、填空题：、填空题：13.13.2014.215.0.4816.2e16.【详解】令()()23 exg xx=，()()()2e23 e21 exxxgxxx=+=令()()21 e0 xgxx=解得12x，因此()g x在10,2单调递减，1,2+单调递增()03g=，()3g x

11、=的另一个根在1 3,2 2，因为()()12f xf x=，若12xx的最大值为4，则1x和2x不能同时大于零；令()eh xxa=，()h x在(,0单调递增设10 x，20 x，12xx的最大值为 4，即0 x 时，()()23 exg xx=上的一点切线和()eh xxa=平行，此时这一切点的横坐标为2x，而()ehx=，因此()1ehx=，由此可得()()22221 eexgxx=，解得21x=，故()1eg=()()()()1212efxfxh xg x=，即11ee1eaxax=12max1 1e4xax=，解得2ae=或6ea=，因为110eax=，所以2ae=故答案为：2e

12、2 四四、解答题：、解答题：17.【答案】(1)证明见解析，43nbn=(2)297【详解】（1）因为2(1)4nnnaa+=，所以212121(1)4nnnaa+=，即21214nnaa+=，1又21nnba=，所以121214nnnnbbaa+=，又111ba=，所以，数列 nb为以 1 为首项，4 为公差的等差数列，3 所以1(1)443nbnn=+=.5（2）因为2(1)4nnnaa+=，所以2222(1)4nnnaa+=，即2224nnaa+=6所以231223Saaa=+()()13232422aaaaaa=+7()()()()12122468102022bbbaaaaaaa=+8

13、 12(145)(14 5)2972+=+=.10 18.【答案】（1）证明见解析；（2）2564【解答】解：（1）证明：由于sin()sin()coscosABACBC=，所以sincoscossinsincoscossincoscosABABACACBC=，2 整理的 cosA（sinBcosCcosBsinC）0，即 cosAsin（BC）0，3 因为 A 为锐角，所以 cosA0，4 故 sin（BC）0，由 B，C 为锐角可得 BC；5（2）由（1）得 bc，3 因为 asinC2，且由正弦定理得 asinCcsinAbsinAasinB2，6 所以2sinaB=，2sinbA=，7

14、 则2222111(sinsin)4ABab+=+221sinsin()4BBC=+8221sinsin 24BB=+21 1 cos2(sin 2)42BB=+2113cos 2cos2488BB=+，10 因为02022BB，所以42B，则22B，所以1cos2B0，11 根据二次函数的性质可知，当1cos24B=时，2211ab+取得最大值256412 19.【答案】(1)证明见解析(2)105【详解】（1）证明：因为2BC=，且 D 为BC的中点，所以1CD=,因为112CCAA=，160CCB=，所以2211112cos4122 1 cos603C DCCCDCC CDCCD=+=，

15、1所以22211CCCDC D=+，所以1C DBC.2因为平面11BBCC 平面ABC，且平面11BBCC平面ABCBC=，1C D平面11BBCC，所以1C D平面ABC，4 又AB平面ABC，所以1C DAB.5（2）因为ABAC=，D 为BC的中点，所以ADBC,因为平面11BBCC 平面ABC，且平面11BBCC平面ABCBC=，AD 平面ABC，4 所以AD 平面11BBCC，又1C D平面11BBCC，所以1ADC D.所以AD，DB，1C D两两垂直，故以AD，DB，1C D所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图所示），.6 则(3,0,0)A，(0,1

16、,0)C，1(0,0,3)C，所以1(3,0,3)AC=，11(3,1,0)C ACA=,7设平面11AAC的一个法向量()111,xny z=，则11100n ACn C A=,即111133030 xzxy+=+=,令11x=，解得13y=，11z=，所以(1,3,1)n=；9平面1ADC的一个法向量可取(0,1,0)m=，10设二面角11AACD的大小为，0,，则|315|cos|5|5 1m nmn=，所以2210sin1cos55=.12 20.解：（1）将得分为 50 分记为事件 A；得分为 50 分即在六个问题的结果中，有五个满意，一个不满意，5 可能的结果共有：11222122

17、21223323323354C C C CC C CC C C+=（种）1 三名顾客产生的反馈结果总共有：2 34()216C=（种）2则541()2164P A=购物中心得分为 50 分的概率为143（2）将顾客丙投出一个不满意记为事件 B，则 2212332 341()()24C C CP ABC=5 1()124(|)1()64P ABP B AP A=6（3）X 可能的取值为 2、3、4、5、67 2112332 341(2)()24C C CP XC=111121222122332332332 341(3)()4C C C CC C CC C CP XC+=2221112112121

18、1233223322332332 345(4)()12C C CC C C CC C C CC C CP XC+=1(5)4P X=2222332 341(6)()24C C CP XC=11 X23456P124145121412411511()23456424412424E X=+=10X=，()10()40EE X=12 6 21.【答案】（1）2212xy+=；（2）证明见解析，3(,0)2.（1）由题知，解得22a=，21b=，所以椭圆C的方程为2212xy+=；4（2）设11(,)A x y，22(,)B x y因为直线l的斜率不为零，令l的方程为：1xmy=+，由22112xmy

19、xy=+=得22(2)210mymy+=，则12222myym+=+，12212yym=+，6 APPQ，则2(2,)Qy，则1212AQyykx=，故AQ的方程为：1221(2)2yyyyxx=，7 由椭圆的对称性，则定点必在x轴上，所以令0y=，则 2121212221211(2)(1)222yxy mymy yyxyyyyyy+=+=+=+，而12222myym+=+，12212yym=+，12122yymy y+=，所以212211322222yyyxyy+=+=+=，11 故直线AQ恒过定点，且定点为3(,0)2，同理直线BP也过定点3(,0)2.12 22.解：（1）由()21xf

20、 xeax=+，得()2xfxea=+，1 当0a 时，因为1(1)120fae=，不合题意；2 当0a 时，当(),ln(2)xa 时，()0fx，()f x单调递减，3当()ln(2),xa+时，()0fx，()f x单调递增，47 所以()min()ln(2)22 ln(2)1f xfaaaa=+，要()0f x，只需min()22 ln(2)10f xaaa=+，5令()ln1g xxxx=，则()lng xx=，当(0,1)x时，()0g x，()g x单调递增；当(1,)x+时，()0g x，()g x单调递减；所以()(1)0g xg=，则由(2)22 ln(2)10gaaaa=

21、+得21a=所以12a=，故实数a取值的集合126（2）由已知2()21xF xeaxax=+，()22xF xeaxa=+，因为函数()F x有两个不同的极值点1x，2x，所以()22xF xeaxa=+有两个不同零点，若0a 时，则()F x在R上至多一个零点，与已知矛盾，舍去；7 当0a 时，由220 xeaxa+=，得112xxae=，令1()xxxe=，所以2()xxxe=，当(,2)x 时，()0 x，()x单调递增；当(2,)x+，()0 x，()x单调递减；所以max21()(2)xe=，8 因为(1)0=，1lim0 xxxe+=，所以21102ae，所以22ea，故实数a的

22、取值范围为21,2e+9 设12xx，则1212xx，8 因为12()()0 xx=，所以1122xeaxa=，2222xeaxa=，则212111xxxeex=，取对数得2121ln(1)ln(1)xxxx=，令111xt=，221xt=，则2121lnlntttt=，即221112lnln(01)tttttt=，令()lnu ttt=，则12()()u tu t=，因为1()u ttt=，所以()lnu ttt=在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增，10 令11()()2lnv tu tutttt=，则22(1)()0tv tt=，()v t在(0,)+上单调递增，又(1)0v=，所以当(0,1)t时，()(1)0v tv=，即1()u tut ，11 因为21t，121t，()lnu ttt=在(1,)+上单调递增，所以211tt，所以21111xx，即1 212x xxx+，所以212121212212()()323x xxxexxa xx+故121232()x xa xx+成立。12