上海市复旦附中2023年高三第四次模拟考试数学试卷含解析.pdf

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1、2023 年高考数学模拟试卷 注意事项 1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回 2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 05 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置 3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符 4作答选择题，必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用 05 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效 5如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题

2、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1函数 1log1axf xxx（01a）的图象的大致形状是（）A B C D 2已知函数32,0()ln,0 xxxf xx x，则1()f fe（）A32 B1 C-1 D0 3已知函数 lnafxxax在 1,ex上有两个零点，则a的取值范围是（）Ae,11e Be,11 e Ce,11e D1,e 4执行如图所示的程序框图，若输入ln10a，lgbe，则输出的值为（）A0 B1 C2lge D2lg10 5随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一

3、级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（）A1 月至 8 月空气合格天数超过20天的月份有5个 B第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了 C8 月是空气质量最好的一个月 D6 月份的空气质量最差.6已知函数(2)3,(ln2)()32,(ln2)xxxexf xx x，当,)xm时，()f x的取值范围为(,2e，则实数 m 的取值范围是（）A1,2e B(,1 C1,12e Dln2,1 7函数2()ln(1)xxeef xx在 3,3的图象大致为()A B C D 8已知双曲线C：22221xyab（0a，0b）的右焦点与圆M：22(2)5xy的圆心重合，

4、且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2 2，则双曲线的离心率为（）A2 B2 C3 D3 9已知不重合的平面,和直线l，则“/”的充分不必要条件是（）A内有无数条直线与平行 Bl 且l C 且 D内的任何直线都与平行 10若复数21 iz，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）Az的虚部为i B2z Cz的共轭复数为1i D2z为纯虚数 11 在三棱锥SABC中，4SBSAABBCAC，2 6SC，则三棱锥SABC外接球的表面积是（）A403 B803 C409 D809 12函数 sin0,0f xx 的图象如图所示，为了得到 cosg xx的图象，可将 f x的图象（）A向右平移6个单

5、位 B向右平移12个单位 C向左平移12个单位 D向左平移6个单位 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13某校共有师生 1600 人，其中教师有 1000 人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为 80 的样本，则抽取学生的人数为_ 14 若奇函数 fx满足 2f xf x，g x为 R 上的单调函数，对任意实数xR都有 g221xgx，当 0,1x时，f xg x，则2log 12f_.15在平行四边形ABCD中，已知1AB，2AD，60BAD，若CEED，2DFFB，则AE AF_ 16如图,在梯形ABCD中，AD24BCABBCAD，EF，分别是BCC

6、D，的中点，若1AE DE，则AF CD的值为_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）已知数列 na的前n项和为nS，*21nnSanN.（1）求数列 na的通项公式；（2）若11111nnncaa，nT为数列 nc的前n项和.求证：123nTn.18（12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，PD 平面ABCD，且4PDCD，2AD （1）求AP与平面CMB所成角的正弦（2）求二面角MCBP的余弦值 19（12 分）如图，三棱锥PABC中，点D，E分别为AB，BC的中点，且平面PDE 平面ABC 1求证：/AC平面

7、PDE；2若2PDAC，3PE，求证：平面PBC 平面ABC.20（12 分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸.呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 5 女 10 合计 50 已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为35.（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？请说明你的理由；（2）已知在不患心肺疾病的5位男性中，有2位从事的是户外作业的工作.为了指导市民尽可能地减少因雾霾

8、天气对身体的伤害，现从不患心肺疾病的5位男性中，选出3人进行问卷调查，求所选的3人中至少有一位从事的是户外作业的概率.下面的临界值表供参考：2P Kk 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式22n adbcKabcdacbd，其中nabcd ）21（12 分）据人民网报道，美国国家航空航天局（NASA）发文称，相比 20 年前世界变得更绿色了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿.据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在去年

9、植树造林的相关数据.（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷 地区 造林总面积 造林方式 人工造林 飞播造林 新封山育林 退化林修复 人工更新 内蒙 618484 311052 74094 136006 90382 6950 河北 583361 345625 33333 13507 65653 3643 河南 149002 97647 13429 22417 15376 133 重庆 226333 100600 62400 63333 陕西 297642 184108 33602 63865 16067 甘肃 325580 260144 5743

10、8 7998 新疆 263903 118105 6264 126647 10796 2091 青海 178414 16051 159734 2629 宁夏 91531 58960 22938 8298 1335 北京 19064 10012 4000 3999 1053（1）请根据上述数据分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（2）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区新封山育林面积占造林总面积的比值超过50%的概率；（3）在这十个地区中，从退化林修复面积超过一万公顷的地区中，任选两个地区，记 X 为这两个地区中退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数，求 X 的

11、分布列及数学期望.22（10 分）已知数列 na是各项均为正数的等比数列，数列 nb为等差数列，且111ba，331ba，557ba.（1）求数列 na与 nb的通项公式；（2）求数列nna b的前n项和nA；（3）设nS为数列 2na的前n项和，若对于任意nN，有123nbnSt，求实数t的值.参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】对 x 分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.【详解】log11loglog101log0.aaaaxxxfxxxxxxx ，故选 C【点睛】识图常用的方法 (1)定性

12、分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题 2A【解析】由函数32,0()ln,0 xxxf xx x，求得11()ln1fee，进而求得1()f fe的值，得到答案.【详解】由题意函数32,0()ln,0 xxxf xx x，则11()ln1fee，所以1313()(1)2(1)2f ffe，故选 A.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了

13、推理与运算能力，属于基础题.3C【解析】对函数求导，对 a 分类讨论，分别求得函数 f x的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.【详解】21afxxx 2xax，1,ex.当1a时，0fx，f x在 1,e上单调递增，不合题意.当ae 时，0fx，f x在 1,e上单调递减，也不合题意.当1ea 时，则1,xa时，0fx，f x在1,a上单调递减，,exa 时，0fx，f x在,a e上单调递增，又 10f，所以 f x在 1,ex上有两个零点，只需 10af eae 即可，解得11eae.综上，a的取值范围是e,11e.故选 C.【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了

14、函数的单调性及极值问题，属于中档题 4A【解析】根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解.【详解】输入ln10a，lgbe，因为ln101lge，所以由程序框图知，输出的值为11ln10ln10ln100lgabe.故选：A【点睛】本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题.5D【解析】由图表可知5月空气质量合格天气只有13天，5月份的空气质量最差故本题答案选D 6C【解析】求导分析函数在ln2x 时的单调性、极值，可得ln2x 时，f x满足题意，再在ln2x 时，求解 2f xe 的x 的范围，综合可得结果.【详解】当ln2x 时，12xfxxe，令 0fx，则ln21

15、x；0fx，则1x，函数 f x在ln2,1单调递增，在1,单调递减.函数 f x在1x 处取得极大值为 12fe，ln2x 时，f x的取值范围为,2e，ln2m1 又当ln2x 时，令 3 22f xxe ，则12ex，即1xln22e，1 e22mln 综上所述，m的取值范围为1,12e.故选 C.【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.7C【解析】先根据函数奇偶性排除 B，再根据函数极值排除 A；结合特殊值即可排除 D，即可得解.【详解】函数2()ln(1)xxeef xx，则2()()ln(1)xxeefxf xx，所以()f x为奇函数，排除

16、B 选项；当x时，2()lnxef xx，所以排除 A 选项；当1x 时，112.720.37(1)3.4ln(1 1)ln20.69eeeef，排除 D 选项；综上可知，C 为正确选项，故选：C.【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题.8A【解析】由已知，圆心 M 到渐近线的距离为3，可得2223bab，又222cab，解方程即可.【详解】由已知，2c，渐近线方程为0bxay，因为圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2 2，所以圆心 M 到渐近线的距离为22(2)3r 2222bbbcab，故221acb，所以离心率为2cea.故选：A

17、.【点睛】本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题.9B【解析】根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】A.内有无数条直线与平行，则,相交或/，排除；B.l 且l，故/，当/，不能得到l 且l，满足；C.且，/，则,相交或/，排除；D.内的任何直线都与平行，故/，若/，则内的任何直线都与平行，充要条件，排除.故选：B.【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力.10D【解析】将复数z整理为1i的形式，分别判断四个选项即可得到结果.【详解】2 1211

18、11iziiii z的虚部为1，A错误；1 12z ，B错误；1zi，C错误；2212zii，为纯虚数，D正确 本题正确选项：D【点睛】本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识，属于基础题.11B【解析】取AB的中点D，连接SD、CD，推导出90SDC，设设球心为O，ABC和SAB的中心分别为E、F，可得出OE 平面ABC，OF 平面SAB，利用勾股定理计算出球O的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果.【详解】取AB的中点D，连接SD、CD，由SAB和ABC都是正三角形，得SDAB，CDAB，则342 32SDCD，则 2222222 32 32 6SDCDSC，由勾股定理

19、的逆定理，得90SDC.设球心为O，ABC和SAB的中心分别为E、F.由球的性质可知：OE 平面ABC，OF 平面SAB，又312 34233OEDFOEOF，由勾股定理得222 63ODOEDE.所以外接球半径为22222 660233RODBD.所以外接球的表面积为2260804433SR.故选：B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12C【解析】根据正弦型函数的图象得到 sin 23fxx，结合图像变换知识得到答案.【详解】由图象知：7212122TT，2.又12x时函数值最大，

20、所以2221223kk.又0,，3，从而 sin 23fxx，cos2sin 2sin 22123g xxxx，只需将 f x的图象向左平移12个单位即可得到 g x的图象，故选 C.【点睛】已知函数sin(0,0)yAxB A的图象求解析式 (1)maxminmaxmin,22yyyyAB.(2)由函数的周期T求2,.T(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。131【解析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案.【详解】分层抽样的抽取比例为801160020，抽取学生的人数为 6001201 故答案为：1【点睛】

21、本题考查了分层抽样的计算，属于简单题.1413【解析】根据 2f xf x 可得,函数 f x是以4为周期的函数，令 g22xxk，可求 21xg x，从而可得 21xf xg x，22log 122log 3ff 代入解析式即可求解.【详解】令 g22xxk，则 g22xxk，由 g221xgx，则 1g k，所以 g221kkk，解得1k，所以 21xg x，由 0,1x时，f xg x，所以 0,1x时，21xf x；由 2f xf x，所以 42f xf xf x，所以函数 f x是以4为周期的函数，22222log 12log 3log 4log 32log 32ffff，又函数 f

22、 x为奇函数，所以22 log 3221log 122log 3213ff .故答案为：13【点睛】本题主要考查了换元法求函数解析式、函数的奇偶性、周期性的应用，属于中档题.1552【解析】设,ABa ADb，则1,2ab，得到12AEba，2133AFab，利用向量的数量积的运算，即可求解【详解】由题意，如图所示，设,ABa ADb，则1,2ab，又由CEED，2DFFB，所以E为CD的中点，F为BD的三等分点，则12AEba，221()333AFbabab，所以22121151()()233363AE AFababaa bb 202151511 2cos6023632 【点睛】本题主要考查

23、了向量的共线定理以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题 162【解析】建系，设设A，由1AE DE 可得3，进一步得到CF、的坐标，再利用数量积的坐标运算即可得到答案.【详解】以 A 为坐标原点，AD 为 x 轴建立如图所示的直角坐标系，设A，则(4,0),(2cos,2sin),(12cos,2sin),(22cos,2sin)DBEC，所以AE(12cos,2sin)，DE(2cos3,2sin)，由1AE DE，得2(12cos)(2cos3)4sin1，即1cos

24、2，又0,，所以 3，故73(3,3),(,)22CF,73(1,3),(,)22CDAF,所以733222AF CD.故答案为：2【点睛】本题考查利用坐标法求向量的数量积，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）13nna（2）证明见解析【解析】（1）利用11,1,2nnnS naSSn求得数列 na的通项公式.（2）先将nc缩小即111233nnnc，由此结合裂项求和法、放缩法，证得不等式成立.【详解】（1）*21nnSanN，令1n，得113a.又11212nnSan，两式相减，得113nnaa.13nna.（2）

25、111111133nnnc1113311231313131nnnnnn 11123131nn.又11313nn，1111313nn，111233nnnc.22311111112333333nnnTn 111122333nnn.123nTn.【点睛】本小题主要考查已知nS求na，考查利用放缩法证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.18(1)45.(2)3 1010.【解析】分析：（1）直接建立空间直角坐标系，然后求出面的法向量和已知线的向量，再结合向量的夹角公式求解即可；（2）先分别得出两个面的法向量，然后根据向量交角公式求解即可.详解：（1）ABCD是矩形，ADCD，又PD 平

26、面ABCD，PDAD，PDCD，即PD，AD，CD两两垂直，以D为原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系，由4PDCD，2AD，得2,0,0A，2,4,0B，0,4,0C，0,0,0D，0,0,4P，1,0,2M，则2,0,4AP ，2,0,0BC ，1,4,2MB，设平面CMB的一个法向量为1111,nx y z，则1100BC nMB n，即111120420 xxyz，令11y，得10 x，12z，10,1,2n，11184cos,52 55AP nAP nAP n，故AP与平面CMB所成角的正弦值为45（2）由（1）可得0,4,4PC，设平面PBC的一个法向

27、量为2222,nxy z，则2200BC nPC n，即22220440 xyz，令21y，得20 x，21z，20,1,1n，1233 10cos,1052n n，故二面角MCBP的余弦值为3 1010 点睛：考查空间立体几何的线面角，二面角问题，一般直接建立坐标系，结合向量夹角公式求解即可，但要注意坐标的正确性，坐标错则结果必错，务必细心，属于中档题.19 1证明见解析；2证明见解析.【解析】1利用线面平行的判定定理求证即可；2D为AB中点，E为BC中点，可得112DEAC，2PD，3PE，可知222PDPEDE，故PDE为直角三角形，PEDE，利用面面垂直的判定定理求证即可.【详解】解：

28、1证明：D为AB中点，E为BC中点，/ACDE，又AC 平面PDE，DE 平面PDE，/AC平面PDE；2证明：D为AB中点，E为BC中点，112DEAC，又2PD，3PE，则222PDPEDE，故PDE为直角三角形，PEDE，平面PDE 平面ABC，平面PDE平面ABCDE，PEDE，PE 平面PDE，PE 平面ABC，又PE 平面PBC，平面PBC 平面ABC.【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的应用，属于基础题.20（1）列联表见解析，有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关，理由见解析；（2）910.【解析】（1）结合题意完善列联表，计算出2K的观测值，对照临界值表可得出结

29、论；（2）记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为A、B，其余三人分别为a、b、c，利用列举法列举出所有的基本事件，并确定事件“所选的3人中至少有一位从事的是户外作业”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.【详解】（1）由于在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为35，所以50人中患心肺疾病的人数为30人，故可将列联表补充如下：患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 男 20 5 25 女 10 15 25 合计 30 20 50 225020 155 10258.3337.87925 25 30 203K.故有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关

30、；（2）记不患心肺疾病的五位男性中从事户外作业的两人分别为A、B，其余三人分别为a、b、c.从中选取三人共有以下10种情形：,A B a、,A B b、,A B c、,A a b、,A a c、,A b c、,B a b、,B a c、,B b c、,a b c.其中至少有一位从事的是户外作业的有9种情形，分别为：,A B a、,A B b、,A B c、,A a b、,A a c、,A b c、,B a b、,B a c、,B b c，所以所选的3人中至少有一位从事的是户外作业的概率为910P.【点睛】本题考查利用独立性检验的基本思想解决实际问题，同时也考查了利用列举法求解古典概型的概率问题

31、，考查计算能力，属于中等题.21（1）人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省；（2）110；（3）分布列见详解，数学期望为1【解析】（1）通过数据的观察以及计算人工造林面积与造林总面积比值，可得结果.（2）通过数据的观察以及计算新封山育林面积与造林总面积比值，得出比值超过50%的地区个数，然后可得结果.（3）计算退化林修复面积超过一万公顷的地区中选两个地区总数26C，退化林修复面积超过六万公顷的地区的个数为3，列出X所有取值并计算相应概率，然后可得结果.【详解】（1）人工造林面积与总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积与总面积比最小的地区为青海省.

32、（2）记事件 A：在这十个地区中，任选一个地区，该地区 新封山育林面积占总面积的比值超过50%根据数据可知：青海地区人工造林面积占总面积比超过50%，则 110P A （3）退化林修复面积超过一万公顷有 6 个地区：内蒙、河北、河南、重庆、陕西、新疆，其中退化林修复面积超过六万公顷有 3 个地区：内蒙、河北、重庆，所以 X 的取值为 0，1，2 所以23263015CP XC，1133269115C CP XC，23263215CP XC 随机变量 X 的分布列如下：X 0 1 2 P 315 915 315 3930121151515E X 【点睛】本题考查数据的处理以及离散型随机变量的分布

33、列与数学期望，审清题意，细心计算，属基础题.22（1）12nna，21nbn（2）(23)23nnnA（3）23t 【解析】（1）假设公差d，公比q，根据等差数列和等比数列的通项公式，化简式子，可得d，q，然后利用公式法，可得结果.（2）根据（1）的结论，利用错位相减法求和，可得结果.（3）计算出nS，代值计算并化简，可得结果.【详解】解：（1）依题意：2114112147bda qbda q，即24248dqdq，解得：22dq 所以12nna，21nbn（2）121 2nnna b(n)，2113 25 2(21)2nnAn ，231 23 25 2(21)22nnnA ，上面两式相减，得：2112(222)(21)2nnnnA 则12(12)12(21)212nnnAn 即nA(32)23nn 所以，(23)23nnnA（3）2222nna14n 23114444nnS，所以1441143nnnS 由123nbnSt得，21411233nnt，即22121223233nnt【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，以及利用错位相减法求和，属基础题.