四川省成都市石室中学2022-2023学年高三下学期二诊模拟考试理科数学试题含答案.pdf

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1、成都石室中学成都石室中学 2022-2023 学年度下期高学年度下期高 2023 届二诊模拟考试届二诊模拟考试理科数学理科数学第第卷（选择题，共卷（选择题，共 60 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目分在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的要求的1已知集合230Ax xx，33xBx，则AB（）A10,2B1,32C(0,)D1,22已知 z 的共轭复数是z，且|12izz（i 为虚数单位），则复数 z 的虚部为（）A32B32C2iD23下图是我国跨境电商在 20

2、162022 年的交易规模与增速统计图，则下列结论正确的是（）A这 7 年我国跨境电商交易规模的平均数为 8.0 万亿元B这 7 年我国跨境电商交易规模的增速越来越大C这 7 年我国跨境电商交易规模的极差为 7.6 万亿元D图中我国跨境电商交易规模的 6 个增速的中位数为 13.8%4设实数 x，y 满足约束条件20,20,2360,xyxyxy则2zxy的最小值为（）A8B6C4D25412(12)xx的展开式中，常数项为（）A10B8C6D46我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”刘徽从圆内接正六边形逐次分割

3、，一直分割到圆内接正 3072 边形，用正多边形的面积逼近圆的面积 利用该方法，由圆内接正 n 边形与圆内接正2n边形分别计算出的圆周率的比值为（）A180sinnB180cosnC3602sinnD3602cosn7从 0，2，4 中选一个数字，从 1，3，5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A24B27C30D368已知双曲线22221xyab的右焦点为(5,0)F，点 P，Q 在双曲线上，且关于原点 O 对称若PFQF，且PQF的面积为 4，则双曲线的离心率为（）A52B2C5D39已知函数()f x满足()()0f xfx，(1)(1)0fxfx，当(0,1)

4、x时，()25xf x，则4log 80f（）A55B4 55C5D5510已知抛物线2:8C yx与直线(2)(0)yk xk相交于 A，B 两点，F 为抛物线 C 的焦点，若|2|FAFB，则AB的中点的横坐标为（）A52B3C5D611设121a，ln1.05b，0.05e1c，则下列关系正确的是（）AabcBbacCcbaDcab12 已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，M 为1DD的中点，N 为正方形ABCD所在平面上一动点，1N为正方形1111ABC D所在平面上一动点，且1NN 平面ABCD，则下列命题正确的个数为（）若MN与平面 ABCD 所成的角为4，则动点 N

5、 的轨迹为圆；若三棱柱111NADN AD的侧面积为定值，则动点 N 的轨迹为椭圆；若1D N与 AB 所成的角为3，则动点 N 的轨迹为双曲线；若点 N 到直线1BB与直线 DC 的距离相等，则动点 N 的轨迹为抛物线A4B3C2D1第第卷（非选择题，共卷（非选择题，共 90 分）分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13平面向量a，b满足(3,2)ab，(1,)abx，且0a b，则 x 的值为_14 已知直线1:(23)lyx，2:(23)lyx，圆 C 与1l，2l都相切，则圆 C 的一个方程为_（写出满足题意的任意一个

6、即可）15已知三棱锥 P-ABC 的体积为2 33，各顶点均在以 PC 为直径的球面上，2 3AC，2AB，2BC，则该球的表面积为_16已知函数()2sin()0,02f xx，04f，44fxfx，且()f x在2,189上单调，则的最大值为_三三、解答题解答题：共共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤第第 1721 题为必考题题为必考题，每个试题考生都每个试题考生都必须作答；第必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分17（本小题满分 12 分）针对我国老

7、龄化问题日益突出，人社部将推出延迟退休方案 某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示支持保留不支持50 岁以下80004000200050 岁以上（含 50 岁）100020003000（）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取 n 个人，已知从持“不支持”态度的人中抽取了 30 人，求 n 的值；（）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 10 人看成一个总体，从这 10 人中任意选取 3 人，求 50 岁以下人数的分布列和期望18（本小题满分 12 分）已知数列 na的前 n 项和为nS，12a，12nnSa（）求数列 na的

8、通项公式；（）令2lognnba，从nnncba，2141nncb，2(1)nnncb 三个条件中任选一个，求数列 nc的前 n 项和nT19（本小题满分 12 分）如图 1，在ABC中，B=90，AB=4，BC=2，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，现将ADE沿着 DE 折起，使点 A 到达点 P 的位置，连接 PB，PC，得到四棱锥 P-BCED，如图 2 所示，设平面PDE 平面 PBC=l（）求证：l 平面 PBD；（）若点 B 到平面 PDE 的距离为3，求平面 PEC 与平面 PBD 夹角的正弦值20（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab经过点13,2

9、，其右焦点为(3,0)F（）求椭圆 C 的标准方程；（）椭圆 C 的右顶点为 A，若点 P，Q 在椭圆 C 上，且满足直线 AP 与 AQ 的斜率之积为120，求APQ面积的最大值21（本小题满分 12 分）已知函数2()2 ln2(1)(0)f xaxxax a（）讨论()f x的零点个数；（）若()f x有两个零点1x，212xxx，求证：122xx（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，那么按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做，那么按所做的第一题计分22选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在平面直角坐

10、标系 xOy 中，已知直线:1l xy与曲线222,1:21xtCtyt（t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线 C 的普通方程；（）在极坐标系中，射线3:08m与直线 l 和曲线 C 分别交于点 A，B，若|(31)|OAOB，求的值23选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分）已知存在0 x R，使得0024xaxb成立，0a，0b（）求2ab的取值范围；（）求22ab的最小值成都石室中学成都石室中学 2022-2023 学年度下期高学年度下期高 2023 届二诊模拟考试届二诊模拟考试理科数学参考答案理科数学参考答案答案及解析答案及解析1C【解析

11、】由题意可得，集合03Axx，12Bx x，所以0ABx x故选 C2D【解析】设i(,)zxy x yR因为|12izz，所以22i12i(1)(2)ixyxyxy，所以221,20,xyxy，解得3,22,xy 则32i2z，所以复数 z 的虚部为2故选 D3D【解析】这 7 年我国跨境电商交易规模的平均数为5.56.37.1 8.039.711.5 12.18.07（万亿元），故 A 错误；这 7 年我国跨境电商交易规模的增速有升有降，故 B 错误；这 7 年我国跨境电商交易规模的极差为12.15.56.6（万亿元），故 C 错误；我国跨境电商交易规模的 6 个增速的中位数为13.1%1

12、4.5%13.8%2，故 D 正确故选 D4B【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，2zxy可化简为1122yxz，即斜率为12的平行直线由20,20,xyxy解得2,4,xy则(2,4)A结合图形可知，当直线2zxy过点(2,4)A时，z 取最小值min2246z，故选 B5A【解析】4(12)x展开式的通项公式为144C(2)C(2)rrrrrrTxx，所以412(12)xx的展开式中，常数项为1044C(2)(2)C8210 故选 A6 B【解析】对于正 n 边形，其圆心角为360n，面积为211360360sinsin22nSnr rrnn 对于正2n边形，其圆心角为3602n，面积为

13、2213601802sinsin22Snr rnrnn 由此可得，221222360180180sinsincos1802cos180180sinsinnrnrSnnnSnnrnrnn故选 B7C【解析】第一类，从 0，2，4 中选一个数字，若选 0，则 0 只能排在十位，故有23A6个奇数；第二类，从 0，2，4 中选一个数字，若不选 0，则先把奇数排个位，再排其他，故有21123222C C C A24个奇数由加法原理可得，奇数的个数为62430故选 C8C【解析】因为双曲线的右焦点为(5,0)F，所以5c 设其左焦点为1F因为PFQF，点 P，Q 关于原点 O 对称，所以|2|2 5PQ

14、OF由PQF的面积为 4，得1|42SPFQF，则|8PFQF又222|20PFQFPQ，所以|2PFQF又由双曲线的对称性可得1|QFPF，则由双曲线的定义可得1|22PFPFa，所以1a，则离心率5cea故选 C9D【解析】因为()f x满足()()0f xfx，所以()f x为奇函数，又因为(1)(1)0fxfx，所以(2)1(1)1(1)()()f xfxfxfxf x ，所以()f x是周期为 2 的奇函数又因为(0,1)x时，()25xf x，所以4442log 802log 5log 5log5ffff22 log52245log522log525555ff 故选 D10A【解析

15、】如图，设AB的中点为 G，抛物线2:8C yx的准线为:2l x ，焦点为(2,0)F，直线(2)(0)yk xk过定点(2,0)P，过点 A，B 分别作AMl于点 M，BNl于点 N 由|2|FAFB，得|2|AMBN，所以点 B 为AP的中点，连接OB，则1|2OBFAFB，故点 B 的横坐标为 1，则点 A 的横坐标为 4，所以AB的中点 G 的横坐标为14522故选 A11 C【解析】令()e1(0)xf xx x，则()e1xfx，当0 x 时，()0fx，所以()f x在(0,)上 单 调 递 增，所 以 当0 x 时，()e1(0)0 xf xxf，即e1xx，取0.05x，所

16、 以0.05e10.05 令()ln(1)(0)g xxx x，则1()111xg xxx，当0 x 时，()0g x，所以()g x在(0,)上单调递减，所以当0 x 时，()(0)0g xg，即ln(1)xx，取0.05x，所以ln1.050.05，故0.05ln1.05e1令()ln(1)(0)1xh xxxx，则2211()1(1)(1)xh xxxx，当0 x 时，()0h x，所以()h x在(0,)上单调递增，所以当0 x 时，()(0)0h xh，即ln(1)1xxx，取0.05x，所以0.0551ln1.0510.0510521故选 C12A【解析】如图所示对于，因为MN与平

17、面ABCD所成的角为4，所以1DNMD，所以动点 N 的轨迹为圆，故正确；对于，当三棱柱111NADN AD的侧面积为定值时，因为高为 2，则|NAND为定值，且大于|AD，所以动点 N 的轨迹为椭圆，故正确；对于，因为ABCD，11CDC D，所以11ABC D，于是满足条件的1D N运动成圆锥面，又11C D平面ABCD，所以圆锥面被平面ABCD所截的交线为双曲线，故正确；对于，因为点 N 到直线1BB与直线DC距离相等，所以动点 N 的轨迹为点 N 到点 B 与直线DC的距离相等的轨迹，即抛物线，故正确故选 A132 3【解析】因为(3,2)ab，(1,)abx，所以22,2xa，21,

18、2xb 又因为0a b，所以222 1022xx ，解得2 3x 1422(2)(2)2xy，22(2)(2)6xy等（答案不唯一，写出一个即可）【解析】由题意可得，直 线1l，2l关 于 直 线yx 对 称 当 圆 心 C 在 直 线yx上 时，圆 C 的 方 程 形 如222(2)(2)2(0)xayaaa；当 圆 心 C 在 直 线yx 上 时，圆 C 的 方 程 形 如222(2)(2)6(0)xayaaa1520【解析】由2 3AC，2AB，2BC，得23ABC，所以242sin3ACr，得2r（r为ABC外接圆半径）又1sin32ABCSAB BCABC，则132 3333P AB

19、CABCVShh，所以2h，即点 P 到平面ABC的距离为 2，所以外接球球心 O（PC的中点）到平面ABC的距离1d，所以外接球半径2225Rrd，所以2420SR球165【解析】因为函数()2sin()f xx，04f，所以,4mmZ又因为44fxfx，所以直线4x是()f x图象的对称轴，所以,42nnZ由可得，()24mn又02，所以4，则41,nnZ又()f x在2,189上单调，()f x的最小正周期为2，所以2918，即116，解得6，故的最大值为 517解：（）参与调查的总人数为80004000200010002000300020000，其中从持“不支持”态度的人数200030

20、005000中抽取了 30 人，所以30200001205000n（）在持“不支持”态度的人中，50 岁以下及 50 岁以上人数之比为 23，因此抽取的 10 人中，50 岁以下与 50 岁以上的人数分别为 4 人，6 人，故0,1,2,3，则36310C1(0)C6P，1246310C C1(1)C2P，2146310C C3(2)C10P，34310C1(3)C30P的分布列为：0123P1612310130期望113101231.2621030E 18解：（）因为12nnSa，所以12(2)nnSan将上述两式相减，得12(2)nnaa n因为12a，122Sa，即122aa，所以24a

21、，所以212aa，所以12nnaanN因为120a，所以12nnanaN，所以数列 na是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，所以2nna（）由（）可知，22loglog 2nnnban若选：2nnnncban，则1231 22 23 22nnTn ，23121 22 2(1)22nnnTnn 将上述两式相减，得123112222222212nnnnnTnn，所以1(1)22nnTn若选：221111114141(21)(21)2 2121nncbnnnnn，则111 111 111111111232 352 572 212122121nnTnnnn若选：22(1)(1)nnnncbn 当

22、n 为偶数时，222222(1)1234(1)122nn nTnnn ；当 n 为奇数时，211(1)(2)(1)(1)22nnnnnn nTTcn 综上，(1)(1)2nnn nT 19（）证明：因为90B，所以BCBD因为 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，所以DEBC，所以 DEBD，DEPD又 BD，PD 平面 PBD，BDPDD，所以 DE平面 PBD因为DEBC，DE 平面 PBC，BC 平面 PBC，所以DE平面 PBC又DE 平面 PDE，平面PDE 平面PBCl，所以lDE，所以l 平面 PBD（）解：如图，过点 B 作BFPD，垂足为 F由（）可知，平面 PDE平面 P

23、BD又平面PDE 平面 PBD=PD，所以 BF平面 PDE，所以点 B 到平面 PDE 的距离即为 BF 的长，则3BF 在RtBDF中，3sin2BFPDBBD，所以60PDB又 BD=PD=2，所以PBD是边长为 2 的等边三角形取 BD 的中点 O，连接 OP，则OPBD，3OP 由（）可知，DE平面 PBD又OP 平面 PBD，所以 DEOP又BDDED，BD，DE 平面 BCED，所以 OP平面 BCED以 D 为坐标原点，DB，DE 所在直线分别为 x 轴、y 轴，且以过点 D 与 OP 平行的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则(0,0,0)D，(1,0,3)P，(0

24、,1,0)E，(2,2,0)C，所以(1,1,3)PE ，(2,1,0)EC ，(0,1,0)DE 设平面 PEC 的法向量为(,)mx y z，则30,20.PE mxyzEC mxy 令1x，得2y ，3z ，所以(1,2,3)m 是平面 PEC 的一个法向量易知(0,1,0)DE 是平面 PBD 的一个法向量，所以|22|cos,|2|1 2 2m DEm DEm DE ，所以平面PEC与平面PBD夹角的正弦值为2220解：（）依题意，得222223,311,4,cababc解得2,1,3,abc所以椭圆 C 的标准方程为2214xy（）易知直线AP与AQ的斜率同号，所以直线PQ不垂直于

25、 x 轴，故可设PQ：ykxm，11,P x y，22,Q xy由221,4,xyykxm得222148440kxmkxm，所以122814mkxxk，21224414mx xk，2216 410km，即2241km 由120APAQkk，得121212220yyxx，消去1y，2y得12122022kxmkxmxx，即221212121220202024k x xkm xxmx xxx，所以222222224484482020202414141414mmkmmkkkmmkkkk，整理得2260mkmk，所以2mk 或3mk，所以直线PQ：(2)yk x或(3)yk x又因为直线PQ不经过点(

26、2,0)A，所以直线PQ经过定点(3,0)，所以直线PQ的方程为(3)yk x，易知0k，设定点(3,0)B，则APQABPABQSSS121|2AByy125|2kxx212125|42kxxx x22225844|421414kmmkkk 22216 415|214kmkk 222101514kkk因为0即2241km，且3mk，所以21 50k，所以2105k，所以22222222210152159159555143143143APQkkkkkkSkkk，当且仅当2114k 时取等号，所以APQ面积的最大值为5321（）解：2222(1)22()(1)()22(1)axaxaxaxfxx

27、axxx因为0a，所以当(0,1)x时，()0fx，()f x单调递减；当(1,)x时，()0fx，()f x单调递增所以min()(1)12f xfa 当120a，即12a 时，()f x的零点个数为 0当120a，即12a 时，()f x的零点个数为 1当120a，即102a时，注意到10e1a，121211e2e2(1)ee2 e2 1e0aaaaaafaa因为22()2(1)2(1)22f xa xxaxxxa，所以(2)20fa 因此，11e,1ax，2(1,2)x，使得120fxfx，所以此时()f x的零点个数为 2综上，当12a 时，()f x的零点个数为 0；当12a 时，(

28、)f x的零点个数为 1；当102a时，()f x的零点个数为 2（）证明：（证法一）由（）可知，当1,02a 时，函数()f x有两个零点，且1201xx 令2()(2)()2ln22xF xfxf xaxx，(0,1)x，则2(1)()4(2)xF xaxx当(0,1)x时，()0F x，所以()F x在区间(0,1)上单调递增，所以1112(1)0F xfxfxF所以1122fxfxfx因为1201xx，所以121x又由（）可知，()f x在区间(1,)上单调递增，所以122xx，故122xx（证法二）由120fxfx，得211122222(1)2 ln,2(1)2 ln,xaxaxxa

29、xax 则121212lnln2(1)2xxxxaaxx 由对数平均不等式121212lnln2xxxxxx，得121212(1)4xxaaxx，所以212122(1)40 xxaxxa，所以1212220 xxxxa又1220 xxa，所以122xx22解：（）曲线 C 的普通方程为22(1)1xy，(0,2x（）直线 l 的极坐标方程为(sincos)1，易得1|sincosOA曲线 C 的极坐标方程为2cos，易得|2cosOB由已知，得12(31)cossincos，231sin22cos2，31sin21cos22，31sin2cos22，两边平方并整理得3sin42 又308，即3042，所以443，则323解：（）由题意，知|2|()(2)|2|2xaxbxaxbabab因为存在0 x R，使得0024xaxb，所以只需24ab，即2ab的取值范围是4,)（）由柯西不等式，得2222212(2)16abab，当45a，85b 时，22ab取得最小值165