福建省南平市2022-2023学年高三下学期3月四校联考数学试题含答案.pdf

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1、第 1页/共 6页2022-2023 学年高三下学期学年高三下学期 3 月四校联考试卷数学学科月四校联考试卷数学学科本试卷分四大题，共本试卷分四大题，共 4 页满分页满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟一、单选题：本题共分钟一、单选题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合|12Axx，0|Bxxa，若13ABxx，则AB（）A.|20 xx B.02xxC.13xxD.02xx2.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，

2、若复数2i iza（其中Ra）为“等部复数”，则复数2 iza在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知函数 3sin 2f xx的图象关于直线3x 对称，则的最小值是（）A.6B.3C.23D.564.设0.440.24,0.4,log0.03abc，则 a，b，c 的大小关系为（）A.abcB.acbC.bacD.cab5.已知向量a，b满足abab，则ab在a方向上的投影向量为（）A.aB.bC.2aD.2b6.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为 1

3、的线段 AB，作一个等边三角形 ABC，然后以点 B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段 CB 的延长线于点 D（第一段圆弧），再以点 C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段 AC 的延长线于点 E，再以点 A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧.以此类推，当得到的“蚊香”恰好有 9 段圆弧时，“蚊香”的长度为（）A.14B.18C.24D.30第 2页/共 6页7.过抛物线2:2C ypx（p0）的焦点 F 的直线交抛物线 C 于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，设FAm，FBn，若 n，12xx，mn成等比数列，则mn（）A.13B.3C.3 或13D.1038.已知三棱锥P

4、ABC，Q为BC中点，2PBPCABBCAC，侧面PBC底面ABC，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（）A.5,3B.2,23C.2,23D.,2二、多选题：本题共二、多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9.下列说法正确的是（）A.已知随机变量 X，Y，满足24XY，且 X 服从正态分布31N,，则 12E Y B.已知随机变量 X 服从二项分布15,

5、3B，则803243P X C.已知随机变量 X 服从正态分布4,1N，且50.1587P X，则350.6826PXD.已知一组数据123456,x xx xx x的方差是 3，则数据12345641,41,41,41,41,41xxxxxx的标准差是 1210.如图，在正方体1111ABCDABC D中，点 P 是底面1111DCBA（含边界）内一动点，且/AP平面1DBC，则下列选项正确的是（）A.1ACAPB.三棱锥1PBDC的体积为定值C.PC 平面1BDC第 3页/共 6页D.异面直线 AP 与 BD 所成角的取值范围为,6 211.已知圆22:1C xy，点 P 为直线:240l

6、 xy上一动点，下列结论正确的是（）A.直线 l 与圆 C 相离B.圆 C 上有且仅有一个点到直线 l 的距离等于 1C.过点 P 向圆 C 引一条切线 PA，A 为切点，则PA的最小值为555D.过点 P 向圆 C 引两条切线 PA 和 PB，A、B 为切点，则直线 AB 过定点12.已知定义在R上的奇函数，当0,1x时，sin22f xax，若函数1yf x是偶函数，则下列结论正确的有（）A.f x的图象关于1x 对称B.20220fC.20232021ffD.100logyf xx有 100 个零点三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20

7、 分分13.2022 年 4 月 24 日是第七个“中国航天日”，今年的主题是“航天点亮梦想”.某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班 8 位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉 m，该组数据的第 25 百分位数保持不变，则整数110mm的值可以是_（写出一个满足条件的 m 值即可）.14.已知为锐角，311tan80sin，则_15.设,P x y是曲线22:12516xyC上的点，13,0F，23,0F，则12PFPF的最大值等于_16.111222333,P x yPxyP xy是函数 f x的图象上不重合的三点，若函数 f x满足：当1230 xxx时，总有123,P

8、 P P三点共线，则称函数 f x是“零和共线函数”若3yxax是“零和共线函数”，则 a 的范围是_四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 4页/共 6页17.已知数列 na的前 n 项和为nS，121,(N)nnaSn，23a（1）求数列 na的通项公式；（2）设141nnbS，数列 nb的前 n 项和为nT，求nT的取值范围18.某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形促销活动区域（即ABC区域），地面形状如图所示已知已有两面墙的夹角4,ACBCBA为锐角，假设墙,CA CB

9、的可利用长度（单位：米）足够长（1）在ABC中，若BC边上的高等于14BC，求sin CAB；（2）当AB的长度为 6 米时，求该活动区域面积的最大值19.如图，在四棱锥PABCD中，PC底面 ABCD，ABCD 是直角梯形，ADDC，ABDC，AB=2AD=2CD=2，点 E 是 PB 的中点.（1）证明：平面 EAC平面 PBC；（2）若直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为33，求二面角 P-AC-E 的余弦值.20.在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注这种起搏器体积只有传统起搏器的110，其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋

10、及导线引发的相关并发症在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检测包括智能检测与人工抽检智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测等三项指第 5页/共 6页标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，四项指标均达标的产品才能视为合格品已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率约为99100，9899，9798，设人工抽检的综合指标不达标率为p（01p）（1）求每个芯片智能检测不达标的概率；（2）人工抽检 30 个芯片，记恰有 1 个不达标的概率为()p，求()p的极大值点0p；（3）若芯片的合格率不

11、超过96%，则需对生产工序进行改良以（2）中确定的0p作为 p 的值，判断该企业是否需对生产工序进行改良21.已知双曲线2222:10,0 xyCabab的虚轴长为2，右焦点为F，点M、N分别为双曲线C的左、右顶点，过点F的直线l交双曲线的右支于P、Q两点，设直线MP、NP的斜率分别为1k、2k，且1213k k（1）求双曲线C的方程：（2）当点P在第一象限时，且tan1tan2MPNMQN时，求直线l的方程22.已知aR，函数 ln1f xxax（1）若 f xa恒成立，求 a 的取值范围；（2）过原点分别作曲线 yf x和exy 的切线1l和2l，试问：是否存在0a，使得切线1l和2l的斜

12、率互为倒数?请说明理由第 1页/共 24页2022-2023 学年高三下学期学年高三下学期 3 月四校联考试卷数学学科月四校联考试卷数学学科本试卷分四大题，共本试卷分四大题，共 4 页满分页满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟一、单选题：本题共分钟一、单选题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合|12Axx，0|Bxxa，若13ABxx，则AB（）A.|20 xx B.02xxC.13xxD.02xx【答案】B【解析】【分析】根据给定的并

13、集结果求出 a 值，再利用交集的定义求解作答.【详解】因为集合|12Axx，0|Bxxa，13ABxx，因此3a，即|03Bxx，所以02ABxx.故选：B2.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数2i iza（其中Ra）为“等部复数”，则复数2 iza在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据新定义求得 a 的值，代入求得复数2 iza的代数形式，可得复数所对应的点的坐标，进而可得结果.【详解】2i i2izaa ，又“等部复数”的实部和虚部相等，复数z为“等部复数”，2a，解得2a，22iz，第 2页/共

14、 24页22iz，即：2 i22iza，复数2zai在复平面内对应的点是2,2，位于第一象限.故选：A.3.已知函数 3sin 2f xx的图象关于直线3x 对称，则的最小值是（）A.6B.3C.23D.56【答案】A【解析】【分析】根据正弦型函数的对称轴可构造方程求得的取值，进而可确定的最小值.【详解】f x关于直线3x 对称，232kkZ，解得：6kkZ，当0k 时，取得最小值6.故选：A.4.设0.440.24,0.4,log0.03abc，则 a，b，c 的大小关系为（）A.abcB.acbC.bacD.cab【答案】C【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的知识确定正确答案.【详解】

15、00.40.514442，400.41，20.20.2log0.03log0.22，所以bac.故选：C5.已知向量a，b满足abab，则ab在a方向上的投影向量为（）A.aB.bC.2aD.2b【答案】A【解析】【分析】根据向量的数量积运算，对abab两边同时平方得到0a b ，再由投影向量的定义即可求第 3页/共 24页解.【详解】由已知条件得：22abab，即0a b ，又ab在a方向上的投影向量为2cos,abaaa baaaabab aaaaaaa ，故选：A.6.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图，为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平

16、直线上取长度为 1 的线段 AB，作一个等边三角形 ABC，然后以点 B 为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧交线段 CB 的延长线于点 D（第一段圆弧），再以点 C 为圆心，CD 为半径逆时针画圆弧交线段 AC 的延长线于点 E，再以点 A 为圆心，AE 为半径逆时针画圆弧.以此类推，当得到的“蚊香”恰好有 9 段圆弧时，“蚊香”的长度为（）A.14B.18C.24D.30【答案】D【解析】【分析】根据题意得到第一段圆弧到第 n 段圆弧的半径构成等差数列，结合圆心角，利用求和公式求出答案.【详解】依题意，每段圆弧的圆心角为23，第一段圆弧到第 n 段圆弧的半径构成等差数列：1，2，3，n.，所以

17、当得到的“蚊香”恰好有 9 段圆弧时，“蚊香”的长度为(1 9)292330.故选：D.7.过抛物线2:2C ypx（p0）的焦点 F 的直线交抛物线 C 于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，设FAm，FBn，若 n，12xx，mn成等比数列，则mn（）A.13B.3C.3 或13D.103【答案】B第 4页/共 24页【解析】【分析】由抛物线的定义及等比中项的性质计算可得结果.【详解】由 n，12xx，mn成等比数列，得212xxn mn由抛物线的定义知，12pmx，22pnx，所以12mnxx，所以2mnn mn，又因为0m，0n，所以3mn故选：B.8.已知三棱锥PABC，Q为B

18、C中点，2PBPCABBCAC，侧面PBC底面ABC，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为（）A.5,3B.2,23C.2,23D.,2【答案】A【解析】【分析】连接PQ，QA，OA，设三棱锥PABC外接球的球心为O，设过点Q的平面为，则当OQ时，此时所得截面的面积最小，当点Q在以O为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，再结合球的截面的性质即可得解.【详解】连接PQ，QA，由2PBPCABBCAC，可知：ABC和PBC是等边三角形，设三棱锥PABC外接球的球心为O，所以球心O到平面ABC和平面PBC的射影是ABC和PBC的中心F，E，PBC是等边三角形，Q为BC中点，所以PQ

19、BC，又因为侧面PBC底面ABC，侧面PBC底面ABCBC，所以PQ底面ABC，而AQ 底面ABC，因此PQAQ，所以OFQE是矩形,ABC和PBC是边长为2的等边三角形，所以两个三角形的高2212232h，第 5页/共 24页在矩形OFQE中，1322 33333OEFQhAEh，连接OA，所以221415333OAOEEA，设过点Q的平面为，当OQ时，此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，222211226333333OQOFFQhhh，因此圆Q的半径为：22156199OAOQ，所以此时面积为21，当点Q在以O为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：215533，所以截面的面积范围

20、为5,3.故选：A【点睛】关键点点睛：几何体的外接球问题和截面问题，考查空间想象能力，难度较大二、多选题：本题共二、多选题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9.下列说法正确的是（）A.已知随机变量 X，Y，满足24XY，且 X 服从正态分布31N,，则 12E Y B.已知随机变量 X 服从二项分布15,3B，则803243P X C.已知随机变量 X 服从正态分布4,1N，且

21、50.1587P X，则350.6826PX第 6页/共 24页D.已知一组数据123456,x xx xx x的方差是 3，则数据12345641,41,41,41,41,41xxxxxx的标准差是 12【答案】AC【解析】【分析】根据离随机变量的正态分布、二项分布的性质，以及方差和标准差的概念，逐项分析判断即可得解.【详解】对于 A，因为 X 服从正态分布31N,，所以3E X，因为24XY，则122YX，所以111()22()222E YEXE X，故 A 正确；对于 B，因为 X 服从二项分布15,3B，所以32351240(3)C33243P X ，故 B 错误；对于 C，因为X服从

22、正态分布4,1N，则其正态分布曲线的对称轴为4x，所以(5)(3)0.1587P XP X，所以(35)1(5)(3)0.6826PXP XP X，故 C 正确；对于 D，令123456,x xx xx x的平均数为x，方差2216236xxxxs，所以12345641,41,41,41,41,41xxxxxx的方差为22162141(41)41(41)6xxxxs221616486xxxx，故所求标准差14 3s，故 D 错误.故选：AC.10.如图，在正方体1111ABCDABC D中，点 P 是底面1111DCBA（含边界）内一动点，且/AP平面1DBC，则下列选项正确的是（）第 7页/

23、共 24页A.1ACAPB.三棱锥1PBDC的体积为定值C.PC 平面1BDCD.异面直线 AP 与 BD 所成角的取值范围为,6 2【答案】AB【解析】【分析】由已知条件，通过面面平行，得点P在线段11B D上，建立空间直角坐标系，利用空间向量解决垂直、夹角等问题.【详解】连接1111ABADB D，11/DDBB，11=DDBB，四边形11BDD B是平行四边形，11/B DBD，又11B D 平面1DBC，BD平面1DBC，11/B D平面1DBC，同理可证1/AB平面1DBC，1111B DABB，平面11/AB D平面1DBC，则点P在线段11B D上，以D为坐标原点，1DADCDD

24、，所在直线分别为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则0,0,01,1,01,0,0DBA，110,1,10,1,01,0,1CCA，设,10,1P，第 8页/共 24页1(1,1,1)AC ，(1,1)AP，1110AC AP ，1ACAP，A 选项正确；11/B D平面1DBC，则点P到平面1DBC的距离为定值，1BDC面积也为定值，所以三棱锥1PBDC的体积为定值，B 选项正确；(,1,1)PC ，(1,1,0)DB ，11 2PC DB ，12时，0PC DB ，PCDB 不一定成立，故 C 选项错误；(1,1,0)DB ，(1,1)AP，21DB AP

25、 ，2DB ，2222AP，设异面直线AP与BD所成的角为，则22222211(21)1313cos4421212132124DB APDBAP ，当12时，cos取得最小值 0，当0或 1 时，cos取得最大值12，10cos2，则32，即异面直线AP与BD所成角的取值范围为,3 2，D 选项错误.故选：AB11.已知圆22:1C xy，点 P 为直线:240l xy上一动点，下列结论正确的是（）A.直线 l 与圆 C 相离B.圆 C 上有且仅有一个点到直线 l 的距离等于 1C.过点 P 向圆 C 引一条切线 PA，A 为切点，则PA的最小值为555D.过点 P 向圆 C 引两条切线 PA

26、 和 PB，A、B 为切点，则直线 AB 过定点【答案】ACD【解析】【分析】根据圆心到直线的距离判断 A，由圆心到直线的距离与圆的半径差判断 B，根据勾股定理转化为求直线上点到圆心距离最小值判断 C，求出过AB的直线方程，根据方程求定点判断 D.【详解】对于 A，圆心(0,0)C到直线240 xy的距离415dr，所以直线与圆相离，故 A 正确；第 9页/共 24页对于 B，由 A 知45d，401 15dr ，故圆 C 上有 2 个点到直线 l 的距离等于 1，故 B 错误；对于 C，22255|15PAPCrd，当且仅当 PC 与直线240 xy垂直时等号成立，所以PA的最小值为555，

27、故 C 正确；对于 D，设点00(,)P xy，则00240 xy，即00122yx，由切线性质可知,C A B P四点共圆，且圆的直径为CP，所以圆的方程为22220000()()224xyxyxy，两圆的方程作差，得公共弦AB所在直线方程为001xxyy，即001(2)12xxyx，整理可得01()2102xy xy，解方程102210 xyy，解得1412xy，所以直线 AB 过定点11,42，故 D 正确.故选：ACD12.已知定义在R上的奇函数，当0,1x时，sin22f xax，若函数1yf x是偶函数，则下列结论正确的有（）A.f x的图象关于1x 对称B.20220fC.202

28、32021ffD.100logyf xx有 100 个零点【答案】ABD【解析】第 10页/共 24页【分析】根据条件可得1a，()(2)fxf x，()(4)f xf x，即函数()f x关于直线1x 对称且周期为 4的奇函数，利用周期性求出(2021),(2022),(2023)fff，判断选项A,B,C；再画出函数()f x与100logyx的函数部分图象，数形结合判断它们的交点情况判断选项D.【详解】因为函数1yf x是偶函数，则(1)(1)f xfx，即()(2)fxf x，所以函数()f x关于直线1x 对称，故选项A正确；又函数()f x为R上的奇函数，所以()()fxf x，则

29、()(2)(4)f xf xf x，即函数()f x是周期为 4的奇函数，由(0)sin(0)102faa，即1a.所以 20224 5052200ffff，故选项B正确；(2023)(4 5053)(3)(1)1ffff，(2021)(4 505 1)(1)1fff，所以(2023)(2021)ff，故选项C错误；综上：sin()1 cos222fxaxx，作出()f x与100logyx的函数部分图象如下图所示：当0 x 时，函数100logyx=过点(100,1)，故100 x 时，函数()f x与100logyx无交点；由图可知：当04x时，函数()f x与100logyx有一个交点；

30、当4100 x时，函数()f x的每个周期内与100logyx有两个交点，共24 248个交点，而(100)0f且100log1001y，即100 x 时，函数()f x与100logyx无交点；当0 x 时，100log()yx过点(100,1)，故当100 x 时，函数()f x与100logyx无交点；由图可知：当40 x 时，函数()f x与100logyx有 3 个交点；第 11页/共 24页当1004x 时，函数()f x的每个周期内与100logyx有两个交点，共24 248个交点，而(100)0f 且100log1001y，即100 x 时，函数()f x与100logyx无交

31、点；综上，函数 100logyf xx共有148348100 个零点，故选项D正确，故选：ABD.【点睛】关键点点睛：对于本题选项 D，正确作出函数的大致图象，利用关键点处的函数值以及周期是解题关键.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.2022 年 4 月 24 日是第七个“中国航天日”，今年的主题是“航天点亮梦想”.某校组织学生参与航天知识竞答活动，某班 8 位同学成绩如下：7，6，8，9，8，7，10，m.若去掉 m，该组数据的第 25 百分位数保持不变，则整数110mm的值可以是_（写出一个满足条件的 m 值即可）.【答案

32、】7 或 8 或 9 或 10（填上述 4 个数中任意一个均可）【解析】【分析】由百分位数的概念即可得出答案.【详解】7，6，8，9，8，7，10，m，若去掉 m，该组数据从小到大排列为：6，7，7，8，8，9，10，则7 0.25=1.75，故第 25 百分位数为第二个数即 7，所以 7，6，8，9，8，7，10，m，第 25 百分位数为 7，而8 0.25=2，所以 7 为第二个数与第三个数的平均数，所以110mm的值可以是 7 或 8 或 9 或 10.故答案为：7 或 8 或 9 或 10.14.已知为锐角，311tan80sin，则_【答案】50【解析】【分析】利用三角恒等变换求得3

33、11tan80sin50，从而得到sinsin50，由此结合角的范围即可得解.【详解】因为3sin803cos802sin(8060)2sin1401tan80sin80sin802sin40 cos40sin40111sin40 cos40cos40sin50sin，所以sinsin50，第 12页/共 24页又因为为锐角，所以50.故答案为：5015.设,P x y是曲线22:12516xyC上的点，13,0F，23,0F，则12PFPF的最大值等于_【答案】10【解析】【分析】作出曲线C和椭圆2212516xy的图象，延长1FP交椭圆于点M，可得出1210MFMF，由三角形三边关系得出1

34、21210PFPFMFMF，当且仅当点P为椭圆的顶点时，等号成立，由此可得出12PFPF的最大值.【详解】由22:12516xyC可得，154xy作出椭圆2212516xy和曲线C(去绝对值后，可得图象为四条线段)的图象如下图所示：则点1F、2F分别为椭圆2212516xy的左、右焦点，由椭圆定义得1210MFMF.延长1FP交椭圆于点M，当点P不在坐标轴上时，由三角形三边关系得22MPMFPF，所以，12121210PFPFPFMPMFMFMF；第 13页/共 24页当点P为椭圆C的顶点时1210PFPF.综上所述，1210PFPF，因此，12PFPF的最大值为10.故答案为：10.【点睛】

35、本题考查曲线与方程之间的关系，同时也考查了椭圆定义的应用，建立不等关系是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力.16.111222333,P x yPxyP xy是函数 f x的图象上不重合的三点，若函数 f x满足：当1230 xxx时，总有123,P P P三点共线，则称函数 f x是“零和共线函数”若3yxax是“零和共线函数”，则 a 的范围是_【答案】R【解析】【分析】判断函数的奇偶性，利用奇函数的对称性判断()yf x符合“零和共线函数”的定义对应的 a 取值.【详解】由3()yf xxax的定义域为 R，又33()()()()()fxxaxxaxf x ，所以，Ra有()yf

36、x均为奇函数，且(0)0f，即()yf x图象在 y 轴一侧的点，在其另一侧一定存在关于原点对称的点，所以，上述 y 轴两侧关于原点的对称点与原点可构成满足题设的123,P P P三点，综上，对于Ra，都有3yxax是“零和共线函数”.故答案为：R四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知数列 na的前 n 项和为nS，121,(N)nnaSn，23a（1）求数列 na的通项公式；（2）设141nnbS，数列 nb的前 n 项和为nT，求nT的取值范围【答案】（1）21nan（2）

37、11,32【解析】【分析】（1）将11nnnaSS代入已知式子可得nS是等差数列，进而得到 nS的通项公式，再由na第 14页/共 24页与nS的关系求出 na的通项公式.（2）由裂项相消求和可得nT，再由nT的单调性可求得其范围.【小问 1 详解】因为11nnnaSS，所以由121nnaS，得121nnnSSS，所以21211nnnnSSSS，所以11nnSS，即11nnSS在121nnaS中，令 n=1，得21121213aSa ，所以 a1=1所以数列nS是首项为 1，公差为 1 的等差数列，所以nSn，即：2nSn当2n时，221121nnnaSSnnn，11a 也适合上式，所以数列

38、na的通项公式为21nan【小问 2 详解】由（1）知，2111111414121 212 2121nnbSnnnnn，所以1111111111112133557212122121nnTnnnn，因为 bn0，所以nT随着 n 的增大而增大，所以113nTT，又显然12nT，所以1132nT，即nT的取值范围为1 1,)3 218.某商场计划在一个两面靠墙的角落规划一个三角形促销活动区域（即ABC区域），地面形状如图所示已知已有两面墙的夹角4,ACBCBA为锐角，假设墙,CA CB的可利用长度（单位：米）足够长第 15页/共 24页（1）在ABC中，若BC边上的高等于14BC，求sin CAB

39、；（2）当AB的长度为 6 米时，求该活动区域面积的最大值【答案】（1）2 55（2）99 2平方米【解析】【分析】（1）过点A作ADBC交BC于D设ADx，则CDx，334BDBCx，在ABD中，求得sin,cosCBACBA，由sinsinCABCBAACB计算即可得解；（2）设02CBA，则6cosBD，6sinCDAD，从而得出16sin6cos6sin2ABCS，利用三角恒等变换、辅助角公式及三角函数的性质即可得到答案【小问 1 详解】过点A作ADBC交BC于D设ADx米，0 x，则CDx米，334344BDBCxx米在ABD中，22221033 10sin,cos101099xxC

40、BACBAxxxx故2sinsinsincos2CABCBAACBCBACBA2103 102 5210105【小问 2 详解】设02CBA，则6cosBD米，6sinCDAD米，216sin6cos6sin9 2sin cos2sin2ABCS9 sin21 cos299 2sin24 第 16页/共 24页因为0,2，所以32,444，所以，当32,428时，该活动区域的面积取得最大值，最大值为99 2平方米19.如图，在四棱锥PABCD中，PC底面 ABCD，ABCD 是直角梯形，ADDC，ABDC，AB=2AD=2CD=2，点 E 是 PB 的中点.（1）证明：平面 EAC平面 PBC

41、；（2）若直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为33，求二面角 P-AC-E 的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质及勾股定理的逆定理可证出线面垂直，再由面面垂直的判定定理求证即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问 1 详解】PC 平面ABCD，AC平面ABCD，PCAC.2AB，由1ADCD，ADDC且ABCD是直角梯形，22222,()2ACADDCBCADABDC，即222ACBCAB，ACBC.PCBCC，PC 平面PBC，BC平面PBC，AC 平面PBC.第 17页/共 24页AC平面EAC，平面EAC平面PBC

42、【小问 2 详解】PC 平面ABCD，BC平面ABCD，PCBC.由（1）知ACBC.PCACC，PC 平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC，BPC即为直线PB与平面PAC所成角.23sin3BCBPCPBPB，6PB，则2PC 取AB的中点 G，连接CG，以点 C 为坐标原点，分别以CG CD CP 为 x 轴y 轴z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则0,0,0C，00 2P,，1,1,0A，1,1,0B，11,122E，1,1,0CA ，0,0,2CP uur，11,122CE 设111,mx y z为平面PAC的法向量，则111020m CAxym CPz ，令11x

43、，得10z，11y ，得1,1,0m 设222,xny z为平面ACE的法向量，第 18页/共 24页则22222011022n CAxyn CExyz ，令21x，则21y ，21z ，得1,1,1n .1 111016cos,323m n .由图知所求二面角为锐角，所以二面角PACE的余弦值为63.20.在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注这种起搏器体积只有传统起搏器的110，其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检测包括智能检测与人

44、工抽检智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测等三项指标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，四项指标均达标的产品才能视为合格品已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率约为99100，9899，9798，设人工抽检的综合指标不达标率为p（01p）（1）求每个芯片智能检测不达标的概率；（2）人工抽检 30 个芯片，记恰有 1 个不达标的概率为()p，求()p的极大值点0p；（3）若芯片的合格率不超过96%，则需对生产工序进行改良以（2）中确定的0p作为 p 的值，判断该企业是否需对生产工序进行改良【答案】（1）3100（2）130（3

45、）该企业需对生产工序进行改良，理由见解析【解析】【分析】（1）设每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记为1P，2P，3P，并记芯片智能检测不达标为事件A，视指标的达标率为任取一件新产品，该项指标达标的概率，根据对立事件的性质及事件独立性的定义即可求解；（2）根据条件得到112930()(1)pC pp（01p），利用导数对 p进行讨论即可；（3）设芯片人工抽检达标为事件B，工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件C，根据条件概率得到|P CP B A，再由乘法公式得到P BA，即可判断.第 19页/共 24页【小问 1 详解】每个芯片智能检测中安

46、全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记为1P，2P，3P，并记芯片智能检测不达标为事件A.视指标的达标率为任取一件新产品，该项指标达标的概率，则有199100P，29899P，39798P，由对立事件的性质及事件独立性的定义得：1239998973()111009998100P APP P ，所以每个芯片智能检测不达标的概率为3100.【小问 2 详解】人工抽检 30 个芯片恰有 1 个不合格品的概率为112930()(1)pC pp（01p），因此129281283030()(1)29(1)(1)(1 30)pCpppCpp令()0p，得130p.当10,30p时，()0p；当1

47、,130p时，()0p.则 p在10,30上单调递增，在1,130上单调递减，所以()p有唯一的极大值点0130p.【小问 3 详解】设芯片人工抽检达标为事件B，工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件C，由（2）得：29(|)130P CP B Ap，由（1）得：97()1100P AP A，所以2997()()(|)93.8%96%30100P ABP AP B A，因此，该企业需对生产工序进行改良.21.已知双曲线2222:10,0 xyCabab的虚轴长为2，右焦点为F，点M、N分别为双曲线C的左、右顶点，过点F的直线l交双曲线的右支于P、Q两点，设直线MP、NP的斜率

48、分别为1k、2k，且1213k k（1）求双曲线C的方程：第 20页/共 24页（2）当点P在第一象限时，且tan1tan2MPNMQN时，求直线l的方程【答案】（1）2213xy（2）112 110 xy【解析】【分析】（1）设点11,P x y，其中10y，利用点差法可得出2213ba，由已知条件可得出b、a的值，即可得出双曲线C的方程；（2）分析可知，直线l不与x轴重合，设点11,P x y、22,Q xy，设直线PQ的方程为2xmy，将直线l的方程与双曲线C的方程联立，列出韦达定理，由两角差的正切公式以及已知条件分析得出122yy，将此关系式代入韦达定理可求得m的值，即可得出直线l的方

49、程.【小问 1 详解】解：设点11,P x y，其中10y，则2211221xyab，可得2222112a yxab，易知,0Ma、,0N a，则222111112222221111213yyyybk ka yxa xaxaab，由已知22b，可得1b，3a，因此，双曲线C的方程为2213xy.【小问 2 详解】解：由（1）可知222cab，则点2,0F，易知3,0M、3,0N，若直线l与x轴重合，此时直线l交双曲线C于M、N两点，不合乎题意，设点11,P x y、22,Q xy，设直线PQ的方程为2xmy，联立22233xmyxy可得223410mymy，由题意可得2223016430mmm

50、，可得3m ，由韦达定理可得12243myym，12213y ym，第 21页/共 24页因为过点F的直线l交双曲线的右支于P、Q两点，则212122241244033mxxm yymm，可得33m，2221212121222731222244033mmx xmymym y ym yymm，可得33m，因为点P在第一象限，则212112tantantantan41tantan13kkkkFNPFMPMPNFNPFMPFNPFMPk k111122111113 33 33342 322333yyyyyyxxx，同理可得tantantan41tantan13NQMQMQNQMQNQkkkkFNQF